1、题目:用MATLAB求解偏微分方程主讲人:班级:时间:基础知识预习微分方程的求解包含:常微分方程的求解(上节课已经讲过)这里不再赘述。:偏微分方程的求解(本次教学内容)偏微分方程概念偏微分方程(Partial Differential Equation,简称PDE)指含有未知函数及其偏导数的方程。描述自变量、未知函数及其偏导数之间的关系。偏微分方程分为线性偏微分方程式与非线性偏微分方程式,常常有几个解而且涉及额外的边界条件。常微分方程:在微分方程中,若自变量的个数只有一个的微分方程。偏微分方程:自变量的个数有两个或两个以上的微分方程。求解偏微分方程的方法求解偏微分方程的数值方法:1.有限元法(
2、Finite Element Method,FEM)-hp-FEM2.有限体积法(Finite Volume Method,FVM)3.有限差分法(Finite Difference Method,FDM)。其它:广义有限元法(Generalized Finite Element Method,FFEM)、扩展有限元法(eXtended Finite Element Method,XFEM)、无网格有限元法(Meshfree Finite Element Method)、离散迦辽金有限元法(Discontinuous Galerkin Finite Element Method,DGFEM)等
3、。MATLAB解偏微分方程MATLAB提供了两种方法解决PDE 问题:pdepe()函数,它可以求解一般的PDEs,具有较大的通用性,但只支持命令行形式调用。PDE 工具箱,可以求解特殊PDE 问题,PDEtool 有较大的局限性,比如只能求解二阶PDE 问题,并且不能解决偏微分方程组,但是它提供了GUI界面,从繁杂的编程中解脱出来了,同时还可以通过File-Save As直接生成M代码使用pdeval()直接计算某个点的函数值?一般偏微分方程组(PDEs)的MATLAB求解直接求解一般偏微分方程(组),它的调用格式为sol=pdepe(m,pdefun,pdeic,pdebc,x,t)问题描
4、述函数初值条件边界条件输出参数自变量参数【输入参数】(1)pdefun:是PDE 的问题描述函数,它必须换成下面的标准形式PDE 就可以编写下面的入口函数c,f,s=pdefun(x,t,u,du)m,x,t就是对应于(式1)中相关参数和自变量,du是u的一阶导数,由给定的输入变量即可表示出出c,f,s这三个函数【输入参数】(2)pdeic:是PDE 的初值条件,必须化为下面的形式我们使用下面的简单的函数来描述为u0=pdeic(x)【输入参数】(3)pdebc:是PDE的边界条件描述函数,必须先化为下面的形式于是边值条件可以编写下面函数描述为pa,qa,pb,qb=pdebc(x,t,u,d
5、u)其中a 表示下边界,b 表示下边界【输入参数】(4)m:就是对应于(式1)中相关参数x,t:就是对应于(式1)中自变量【输出参数】sol:是一个三维数组,sol(:,:,i)表示ui的解,换句话说uk对应x(i)和t(j)时的解为sol(i,j,k)实例讲解(题目)例:初值条件边界条件实例讲解(解法)【解】第一步根据(1)对照给出的偏微分方程,则原方程可以改写为输入参数(1)目标PDE函数%目标PDE函数function c,f,s=pdefun(x,t,u,du)c=1;1;f=0.024*du(1);0.17*du(2);temp=u(1)-u(2);s=-1;1.*(exp(5.73
6、*temp)-exp(-11.46*temp);输入参数(2)初值条件初值条件改写为%初值条件函数function u0=pdeic(x)u0=1;0;输入参数(3)边界条件边界条件改写为%边界条件函数function pa,qa,pb,qb=pdebc(xa,ua,xb,ub,t)%a表示左边界,b表示右边界pa=0;ua(2);qa=1;0;pb=ub(1)-1;0;qb=0;1;(4)主调函数clcx=0:0.05:1;t=0:0.05:2;m=0;sol=pdepe(m,pdefun,pdeic,pdebc,x,t);figure(numbertitle,off,name,PDE De
7、moby Matlabsky)%创建个窗口,窗口名字是name后边的名字NumberTitle,off是关掉默认显示名字。subplot(211)surf(x,t,sol(:,:,1)%sol(:,:,i)表示ui的解title(The Solution of u_1)xlabel(X)ylabel(T)zlabel(U)subplot(212)surf(x,t,sol(:,:,2)%sol(:,:,i)表示ui的解title(The Solution of u_2)xlabel(X)ylabel(T)zlabel(U)PDEtool求解特殊PDE问题MATLAB的偏微分工具箱(PDE too
8、lbox)可以比较规范的求解各种常见的二阶偏微分方程(特殊二阶的PDE)典型偏微分方程的描述 (3)双曲线型偏微分方程的一般形式 (4)特征值型偏微分方程的一般形式,注 意它是(1)的变形,不能算独立的一类 MATLAB 采用有限元的方法求解各种PDEMATLAB 为我们提供一个pdetool(在command window 中键输pdetool打开)的交互界面,可以求解二元偏微分u(x1,x2)(注意只能求解二元)。方程的参数由a、c、d和f确定,求解域由图形确定,求解域确定好后,需要对求解域进行栅格化(这个是自动)。偏微分方程边界条件的描述Dirichlet(狄利克莱)条件Neumann(
9、纽曼)条件 求解实例【解】由给定的PDE,可以得出d=1,c=1,a=2,f=10step1:点击工具栏的【PDE】按钮,如下输入PDE的参数,注意选择Hyperbolic step2:绘制求解域对坐标轴的操作可以在【Options】主菜单中操作,包括设置网格、坐标系范围等(1)【Options】-Axis Limits设置如下 (2)点击工具栏上的第三个按钮【绘制椭圆】,任意绘制一个椭圆,双击椭圆,设置如下 重复上面的操作,参数如下 得到 (3)在set formula 中如下输入,“+”表示求并集,“-”表示求差集,注意没有直接求交接的操作符step3:边界条件和初值条件初值条件可以通过【
10、Solve】-【Parameters】设置边值条件设置如下(1)点击工具栏的第6 个按钮【区域边界】,显示如下(2)【Boundary】-【Remove All Subdomain Borders】移除所有子域的边界,将得到所有子域合并成一个求解域(3)【Boundary】-【Secify Boundary Conditons】设置边界如下,注意我们这里只有Dirichlet条件step4:生成使用有限元方法求解方程所需的栅格点击工具栏的第8/9 个按钮,对求解域生成栅格,多次点击可以在原来基础上继续细化栅格,直到自己觉得满意为止,当然可以通过【Mesh】主菜单进行精确控制 step5:求解方
11、程点解工具栏的第10 个按钮“=”【求解方程】step6:求解结果绘图 点击第11 个按钮【绘制图形】,里面的选项很丰富,可以绘制等高线等好多,甚至播放动画,具体大家可以自己慢慢摸索动画播放设置:(1)【Solve】-【Parameters】设置合适的时间向量Time(2)【Plot】-【Parameters】选中【Animation】,点击后面的【Options】,设置播放速度和次数,比如6fps表示每秒6 帧(3)【Plot】-【Export Movie】输入动画保存的变量名,比如M(4)在CommandWindows 中直接输入movie(M)即可播放(5)使用movie2ve(M,demo.avi)命令可以将动画保存为avi 文件播放完毕 谢谢大家!