偏导数和全微分.pptx

l 对一元函数：对一元函数：导数导数描述了函数在描述了函数在处的瞬时处的瞬时变化率变化率，它的几何意义就是函数曲线上点它的几何意义就是函数曲线上点处的处的切线的斜率切线的斜率.l 对于多元函数，我们同样感兴趣它在某处的瞬时变化率问题，对于多元函数，我们同样感兴趣它在某处的瞬时变化率问题，6-4 偏导数与全微分偏导数与全微分以二元函数以二元函数 为例，为例，将自变量将自变量 固定时，固定时，就是就是 的一个一元函数的一个一元函数,这函数求得的对这函数求得的对 导数，称导数，称作作对对 的的偏导数偏导数，类似地，可考虑，类似地，可考虑对对 的的偏导偏导数数.1.一阶偏导数一阶偏导数(偏微商偏微商)的定义的定义定义定义 设函数设函数 在点在点 的某一邻域内有定义，的某一邻域内有定义，若若 存在，则称此存在，则称此极限极限为为若若存在，则称此存在，则称此极限极限为为函数函数在点在点处处对对 的偏导数的偏导数，记作，记作函数函数在点在点处处对对 的偏导数的偏导数，记作，记作或或或或如果函数如果函数在区域在区域 D 内每一点内每一点处对处对 和对和对 的的的偏导数都存在，那么我们就说函数的偏导数都存在，那么我们就说函数在在 D 内可导，内可导，它在它在 D 内的偏导数仍是内的偏导数仍是和和的二元函数，称为的二元函数，称为偏导函数偏导函数，简称，简称偏导数偏导数，记为，记为或或求偏导方法求偏导方法：只需将：只需将其它变量视为常数其它变量视为常数，按一元函数求导则可，按一元函数求导则可.例例1解解例例2 设解解例例3解法解法1 解法解法2(先代后求)(先求后代)例例4 设解解例如例如,三元函数 u=f(x,y,z)在点(x,y,z)处对 x 的偏导数的概念可以推广到二元以上的函数.偏导数定义为(请自己写出)例例5解解二元函数偏导数的几何意义二元函数偏导数的几何意义:是曲线在点 M0 处的切线对 x 轴的斜率.在点M0 处的切线斜率.是曲线对 y 轴的函数在某点各偏导数都存在,显然例如例如,注意：注意：但在该点不一定连续不一定连续.在上节已证 f(x,y)在点(0,0)并不连续!一元函数在某一元函数在某点可导，则在点可导，则在该点连续该点连续.偏导数的几何意义说明了偏导数的几何意义说明了:二元函数的偏导数存在二元函数的偏导数存在,只是表明函数沿只是表明函数沿 x 和和 y 轴方向是连续的轴方向是连续的,而二元函而二元函数在一点处连续必须是沿空间的任何方向均连续数在一点处连续必须是沿空间的任何方向均连续,故由偏导数存在不能推出函数连续故由偏导数存在不能推出函数连续.2.高阶偏导数高阶偏导数设 z=f(x,y)在域 D 内存在连续的偏导数若这两个偏导数仍存在偏导数，则称它们是z=f(x,y)的二阶偏导数.按求导顺序不同,有下列四个二阶偏导数:若函数若函数 的两个混合偏导数的两个混合偏导数和和 在区域在区域D内连续内连续,则在该区域内这则在该区域内这两个二阶两个二阶偏导数必相等偏导数必相等,即即:定理定理1及及称为称为混合偏导数混合偏导数.例例6 设 ，求二阶偏导数.解解注意注意:此处类似可以定义更高阶的偏导数.例如，例如，z=f(x,y)关于 x 的三阶偏导数为z=f(x,y)关于 x 的 n 1 阶偏导数,再关于 y 的一阶偏导数为例例7 证明 满足平面拉普拉斯方程.证证利用对称性,有 一个含有未知函数的偏导数的方程式称作偏微分方一个含有未知函数的偏导数的方程式称作偏微分方程，显然，上述程，显然，上述拉普拉斯方程是一个偏微分方程偏微分方程.例例8 证明函数满足拉普拉斯证证利用对称性,有方程拉普拉斯算子内容小结内容小结1.偏导数的概念及有关结论 定义;记号;几何意义 函数在一点偏导数存在函数在此点连续 混合偏导数连续与求导顺序无关2.偏导数的计算方法 求一点处偏导数的方法先代后求先求后代利用定义 求高阶偏导数的方法逐次求导法(与求导顺序无关时,应选择方便的求导顺序)应用 一元函数 y=f(x)的微分近似计算估计误差3.全微分设二元函数为设二元函数为 全增量全增量：称：称 为函数在点为函数在点 处的全增量处的全增量.是是 与与 的二次以上的的二次以上的多项式多项式所以有所以有 可用可用 与与 的线性函数近似的线性函数近似代替代替.是关于是关于 与与 的线性函数的线性函数定义定义为函数在为函数在 处的处的全微分全微分,记为：记为：设设 在点在点 的某个邻域内的某个邻域内有定义有定义,其中其中 只与点只与点 有关而与自变量的改有关而与自变量的改变量变量 无关无关,则称则称 在在 处处可微可微，并称，并称-全增量全增量 的的线性主线性主要要部部分分当当 在区域在区域 内每一点都可微时内每一点都可微时,称函数在称函数在 可微可微.若若 的的全增量全增量可写成可写成 (6.3)对于一般的二元函数，我们也希望能用 的一个线性函数来近似代替 为此，引进全微分的概念全微分的概念.(2)偏导数连续下面两个定理给出了可微与偏导数的关系:(1)函数可微函数 z=f(x,y)在点(x,y)可微由微分定义:得函数在该点连续偏导数存在 函数可微 即定理定理2若若 在在 处可微处可微,定理定理3若若 在在 处可微处可微,则它在则它在 处的两个偏导数存在处的两个偏导数存在,且且 则则 在在 处必连续处必连续.证证 由全增量公式 若若 在区域在区域D 内可微内可微,则在则在D内任一点内任一点的全微分可写成的全微分可写成或写成或写成定理定理3告诉我们偏导数存在是二元函数全微分存在的必告诉我们偏导数存在是二元函数全微分存在的必要条件，但不是充分条件要条件，但不是充分条件.例例 函数易知 它在(0,0)点的偏导数存在,注意注意:定理1 的逆定理不成立.偏导数存在函数 不一定可微 !即:但它在但它在(0,0)点并不连续点并不连续.另一方面，连续是可微的必另一方面，连续是可微的必要条件要条件.由此可见，这个函数在由此可见，这个函数在(0,0)点不可微点不可微.若若 的偏导数的偏导数 与与 在点在点 的某个邻域内存在的某个邻域内存在,且这两个偏导数在且这两个偏导数在处连续处连续,则则 在点在点 处可微处可微.定理定理4 (可微的充分条件可微的充分条件)证 考察函数的全增量(应用拉格日中值定理)故有代入到（*）式得事实上由夹逼定理得因此推论推论 若若 是是 中的一个区域中的一个区域,而而也即也即 在区域在区域 中有连续的一阶偏导数中有连续的一阶偏导数,则则 在在 内可微内可微.初等函数在其定义域内是连续的,所以对于初等函数,只要偏导数存在就一定可微.例例9解解内容小结内容小结1.微分定义:2.重要关系:函数可导函数可导函数可微函数可微偏导数连续偏导数连续函数连续函数连续一元函数在某点的导数存在一元函数在某点的导数存在 微分存在微分存在多元函数的各偏导数存在多元函数的各偏导数存在 全微分存在全微分存在说明说明：多元函数的各偏导数存在并不能保证全：多元函数的各偏导数存在并不能保证全 微分存在，微分存在，习题习题6-4 1.单数；单数；2.(1);5.(2)(4);6.7.8.10.(1)(4);12.14.17.