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中值定理构造辅助函数

微分中值定理证明中辅助函数的构造
1 原函数法
此法是将结论变形并向罗尔定理的结论靠拢，凑出适当的原函数作为辅助函数，主要思想分为四点：(1)将要证的结论中的换成；(2)通过恒等变形将结论化为易消除导数符号的形式；(3)用观察法或积分法求出原函数（等式中不含导数符号），并取积分常数为零；(4)移项使等式一边为零，另一边即为所求辅助函数．
例1：证明柯西中值定理．
分析：在柯西中值定理的结论中令，得，先变形为再两边同时积分得，令，有故为所求辅助函数．
例2：若,,,…,是使得的实数．证明方程在（0，1）内至少有一实根．
证：由于
并且这一积分结果与题设条件和要证明的结论有联系，所以设
（取），则
1）在[0，1]上连续
2）在（0，1）内可导
3）=0，
故满足罗尔定理的条件，由罗尔定理，存在使，即亦即．
这说明方程在（0，1）内至少有实根．
2 积分法
对一些不易凑出原函数的问题，可用积分法找相应的辅助函数．
例3：设在[1，2]上连续，在（1，2）内可导，，．证明存在使．
分析：结论变形为，不易凑成．我们将换为，结论变形为，积分得：，即，从而可设辅助函数为，有．本题获证．
例4：设函数，在上连续，在内可微，．证明存在，使得：．
证：将变形为，将换为，则，两边关于积分，得： ，所以，其中，由可得．由上面积分的推导可知，为一常数，故其导数必为零，从整个变形过程知，满足这样结论的的存在是不成问题的．因而令，易验证其满足罗尔定理的条件，原题得证．
3 几何直观法
此法是通过几何图形考查两函数在区间端点处函数值的关系，从而建立适当的辅助函数．
例5：证明拉格朗日中值定理．
分析：通过弦两个端点的直线方程为，则函数与直线AB的方程之差即函数在两个端点处的函数值均为零，从而满足罗尔定理的条件故上式即为要做辅助函数．
例6：若在上连续且．试证在内至少有一点，使．
分析：由图可看出，此题的几何意义是说，连续函数的图形曲线必跨越这一条直线，而两者的交点的横坐标，恰满足．进而还可由图知道，对上的同一自变量值，这两条曲线纵坐标之差构成一个新的函数，它满足<0,>0,因而符合介值定理的条件．当为的一个零点时，恰等价于．因此即知证明的关键是构造辅助函数．
4 常数k值法
此方法构造辅助函数的步骤分为以下四点：
1） 将结论变形，使常数部分分离出来并令为．
2） 恒等变形使等式一端为及构成的代数式，另一端为及构成的代数式．
3）观察分析关于端点的表达式是否为对称式．若是，则把其中一个端点设为，相应的函数值改为．
4）端点换变量的表达式即为辅助函数．
例7：设在上连续，在内可导，，试证存在一点，使等式成立．
分析：将结论变形为，令，则有，令，可得辅助函数．
例8：设在上存在，在，试证明存在，使得．
分析：令，于是有，上式为关于，，三点的轮换对称式，令（or：，or：），则得辅助函数．
5 分析法
分析法又叫倒推法，就是从欲证的结论出发借助于逻辑关系导出已知的条件和结论．
例9：设函数在[0，1]上连续，在（0，1）内可导，证明在（0，1）内存在一点，使得．
分析：所要证的结论可变形为：，即，因此可构造函数，则对与在[0，1]上应用柯西中值定理即可得到证明．
例10：设函数在[0,1]上连续，在（0，1）内可导，且=0，对任意有．证明存在一点使（为自然数）成立．
分析：欲证其成立，只需证由于对任意有，故只需证：即，于是引入辅助函数（为自然数）．
例11：设函数在区间［0，+］上可导，且有个不同零点：．试证在[0，+]内至少有个不同零点．（其中，为任意实数）
证明：欲证在[0，+）内至少有个不同零点，只需证方程=0在[0，+]内至少有个不同实根．
因为，，，故只需证方程在内至少有个不同实根．
引入辅助函数，易验证在区间[]，[]，…，[]上满足罗尔定理的条件，所以，分别在这个区间上应用罗尔定理，得，其中且
以上说明方程在[][]…[][0，+]内至少有个不同实根，从而证明了方程=0在[0，+]内至少有个不同实根．
6 待定系数法
在用待定系数法时，一般选取所证等式中含的部分为，再将等式中一个端点的值换成变量，使其成为函数关系，等式两端做差构造辅助函数，这样首先可以保证=0，而由等式关系=0自然满足，从而保证满足罗尔定理条件，再应用罗尔定理最终得到待定常数与之间的关系．
例12：设是上的正值可微函数，试证存在，使．
证明：设，令容易验证在 上满足罗尔定理条件，由罗尔定理，存在使，解得，故．
例13：设函数在上连续，在内可导，则在内至少存在一点使．
证明：将所证等式看作，设，令，则满足罗尔定理条件，由罗尔定理得，存在一点，使，即，若=0，则，结论成立；若，则，从而有．
例14：设，则存在使．
分析：对于此题设作函数．应用罗尔定理可得存在，使，即，从而，这样并不能证明原结论，遇到这种情况，说明所作的辅助函数不合适，则需要将所证明的等式变形，重新构造辅助函数．
证明：将所证等式变形为，设，令，则满足罗尔定理条件，用罗尔定理可得存在，使，即，于是，故．
总之，证明微分中值命题的技巧在于：一是要仔细观察，适当变换待证式子；二是要认真分析，巧妙构造辅助函数．抓住这两点，即可顺利完成证明．

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