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一次函数易错题解析

一次函数易错题解析
------大有镇中心学校 张桂荣
一次函数是初中数学中的重要内容之一，学生们在初学一次函数时，由于对其概念、性质理解不透，常常会出现一些错误.为帮助学生们学好这部分内容，以下以例题的形式给出易错题分类及剖析.
一般地，形如y=kx+b（k,b是常数，k≠0）的函数，叫做一次函数。特别的，当b=0时，y是x的正比例函数.即：y=kx （k为常数，但K≠0）正比例函数图像经过原点。定义域：自变量的取值范围，自变量的取值应使函数有意义；要与实际相符合.
　一、对概念理解不清而出错
　例1、 已知下列函数：①y=2013x；②y-8x=13；③y=-1； ④y=3x²+7；⑤y=x-5，其中y是关于x的一次函数的是（ ）
　A.①③④⑤ B.②③⑤ C.①②⑤ D.②⑤
　错解 选“B”或“D”.剖析 ：一次函数的概念中规定k、b为常数，k≠0，但b可以为0，当b=0时，函数y=kx（k≠0）为正比例函数，它是一次函数的特殊情形，上述错解中选择“D”的同学就是忽略了这一点，而函数③、④根本就不符合一次函数的定义，选“B”的同学正是由于对一次函数的概念理解不清而出错。正解 ：观察上述各函数的表达式，对照一次函数的定义，可知答案选C.
二、忽视限制条件出错
例2 、已知函数y=（m-3）x(m-2)-7是一次函数，则m=________.
错解: 由m-2=1，解得m=±3,所以m=3或m=-3.
剖析:上述错误忽视了一次函数y=kx+b中要求k≠0这一限制条件，因为当m=3时，m-3=0，此时函数解析式为y=-7，它是平行于x轴的一条直线，其直线上任一点的纵坐标都为-7，是一个常值函数，而非一次函数.正解：由m-2=1，解得m=±3.当m=3时，m-3=0，故舍去，所以m=-3.
三、忽略坐标系中表示线段的长时要取点的坐标的绝对值。
例3、已知一次函数的图象经过点A（0，2）且与坐标轴围成的直角三角形面积为4，则这个一次函数的解析式为＿＿＿＿。
错解：设一次函数的解析式为　，因为函数的图象经过点A（0，2），所以b=2，所以函数的解析式为，求这个函数图象与x轴的交点，即解方程组　　解得　，　即图象与x轴交点坐标为　　由三角形的面积公式得　　　解得：　 　　所以这个一次函数的解析式为
剖析：在表示三角形的面积时，用的是三角形的边长，是线段的长度，不要忽略要取绝对值才能表示线段的长度，否则就会漏掉一个解，本题正是因为忽略了这点而出了错。
正解：设一次函数的解析式为　，因为函数的图象经过点A（0，2），所以b=2，所以函数的解析式为，求这个函数图象与x轴的交点，即解方程组　　解得　，　即图象与x轴交点坐标为　　由三角形的面积公式得　　　解得：　所以这个一次函数的解析式为　，　或　。
四、函数图像与直线关系混淆出错
例4、已知直线不经过第二象限，则m的取值范围是＿＿＿。
错解：有题意可得，直线经过一、三、四象限或一、三象限
所以可得　　　解得
剖析：因为直线　当时　图象也不经过第二象限，所以也符合条件，以上的错解忽略了直线图象不过第二象限这一情况导致了错解。
正解：有题意可得，直线经过一、三、四象限或一、三象限
所以可得　　　解得　　特别地当时也符合题意，所以　
五、思考问题不全面出错
例5、一次函数，当时，对应的函数值为，求k+b的值。
错解：因为当时，对应的函数值为
所以当时　　当时
所以可得方程组　　解得　　　
所以
剖析：由于问题中没有给出y随x的变化怎样变化，所以应该考虑到有可能y随x的增大而增大，也有可能y随x的增大而减小，本题的出错原因正是没有全面考虑到这一点而漏解出错。
正解：若y随x的增大而增大时，则当时　　当时
所以可得方程组　　解得　　所以
若y随x的增大而减小时，则当时　　当时
所以可得方程组　　解得　　所以
所以k+b的值是9或1.
六、一次函数的应用
如图，已知一次函数y=kx+b的图像经过A（-2，-1），B（1，3）两 点，并且交x轴于点C，交y轴于点D。
（1）求该一次函数的解析式；
（2） 求tan∠OCD的值；
（3） （3）求证：∠AOB=135°。
剖析：应用一次函数解应用题，一般是先写出函数解析式，在依照 题意，设法求解。
（1） 有图像的，注意坐标轴表示的实际意义及单位；
（2） 注意自变量的取值范围。
（3）数形结合
正解：（1）由题意得，解得，
所以y=；
（2）与x轴的交点坐标为C（-，0），与y轴的交点坐标为D（0，），
在Rt△OCD中，OD=，OC=，
∴tan∠OCD=；
（3）如图所示，取点A关于原点的对称点E（2，1），则问题转化为求证∠BOE=45°，由勾股定理可得，OE=，BE=，OB=，
∵OB2=OE2+BE2，∴△EOB是等腰直角三角形，∴∠BOE=45°，
∴∠AOB=135°。
总之，一次函数是数学中重要内容之一，题量约占全部试题的5％～10％，分值约占总分的5％～10％，题型既有低档的填空题和选择题，又有中档的解答题，更有大量的综合题，近几年中考试卷中还出现了设计新颖、贴近生活、反映时代特征的阅读理解题、开放探索题、函数应用题，这部分试题包括了初中代数的所有数学思想和方法，全面地考查计算能力，逻辑思维能力、空间想象能力和创造能力．

一次函数中考考点分析
一次函数是学生第一次接触具体的函数，是学生进一步学习“数形结合”思想的很好素材。作为一种数学模型，一次函数在日常生活中也有着极其广泛的应用。 
一次函数在近几年河北中考命题为填空题、选择题和解答题，做为中考的必考内容在中考分值中呈上升趋势，且为中考命题的热点。 
主要考查一次函数的性质和一次函数的应用。 
考点一：一次函数的概念；
考点二：一次函数的图象与性质；
考点三：一次函数解析式的确定；
考点四：一次函数与方程(组)、 不等式的关系；
考点五：一次函数的实际应用。