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一阶微分方程

第二节 一阶微分方程
一阶微分方程的一般形式为
F(x,y,y′)＝0
或
y′=f(x,y)，
其中F(x,y,y′)是x，y，y′的已知函数，f(x,y)是x，y的已知函数．这一节只介绍几种较简单的一阶微分方程的解法．它们通过求积分就可以找到未知函数与自变量的函数关系，我们称这种求解微分方程的方法为初等积分法．
一、 可分离变量的方程
形如
=f(x)g(y) (10-2-1)
或
M1(x)M2(y)dy=N1(x)N2(y)dx (10-2-2)
的一阶微分方程称为可分离变量方程．其中f(x)，g(y)及M1(x)，M2(y)，N1(x)及N2(y)均为已知连续函数．
方程(10-2-1)的求解步骤如下：
先将方程(10-2-1)分离变量得
=f(x)dx， g(y)≠0，
根据一阶微分形式的不变性，再对上式两端分别积分
=,
得通解
G(y)=F(x)+C，
其中G(y)和F(x)分别是和f(x)的一个原函数，C为任意常数．若有实数y0使得g(y0)=0,则y=y0也是方程(10-2-1)的解，此解可能不包含在通解中．
例1 求解方程
＝．
解 分离变量得
＝dx．
两边积分得
arcsiny=x+C 或 y=sin(x+C)．
注意 对于给定的C，上述解中x∈．此外，y=±1也是方程的两个特解，但它未包含在通解之中．这是由于分离变量时，将作为分母时丢失了两个特解．故所求方程的通解为：
arcsiny＝x+C （C为任意常数），
另外还有两个特解y＝±1．
例2 已知某商品的需求量x对价格P的弹性e＝-3P3，而市场对该商品的最大需求量为1(万件)，求需求函数．
解 需求量x对价格P的弹性e＝．
依题意，得
＝-3P3，
于是
＝-3P2dP，
积分得
lnx=-P3+C1，
即
x=Ｃ (C=)．
由题设知P＝0时，x=1,从而C=1．因此所求的需求函数为
x=．
例3 根据经验知道，某产品的净利润y与广告支出x之间有如下关系：
＝k(N-y），
其中k，N都是大于零的常数，且广告支出为零时，净利润为y0，0＜y0＜N，求净利润函数y=y(x)，
解 分离变量
=kdx，
两边同时积分得
-ln｜N-y｜=kx+C1 (C1为任意常数)，
因N-y＞0，所以
ln｜N-y｜=ln(N-y)，
上式经整理得
y=N-Ce-kx (C=＞0）．
将x=0，y=y0代入上式得C=N-y0，于是所求的利润函数为
y=N-(N-y0)e-kx．
由题设可知＞0，这表明y(x)是x的单调递增函数；另一方面又有=N，即随着广告支出增加，净利润相应地增加，并逐渐趋向于y=N．因此，参数N的经济意义是净利润的最大值．
二、 齐次微分方程
1． 齐次微分方程
形如
= （10-2-3）
的一阶微分方程，称为齐次微分方程，简称齐次方程．
对于方程(10-2-3)，通常可通过变量替换u=将方程化为可分离变量的方程来解．具体过程如下：
令 u= (或y=ux)，
其中u是新的未知函数．
对y=ux两端关于x求导，得
=u+x．
代入(10-2-3)得
u+x=f(u)．
分离变量并积分得
=，
即
F(u)=ln|x|+C (C为任意常数)，
其中F(u)是的一个原函数，再将u=代入上式中，便得到方程(10-2-3)的通解
F()＝ln|x|+C．
上面的推导要求f(u)-u≠0，如果f(u)-u=0，也就是＝．这时，方程(10-2-3)为
＝．
这已是一个可分离变量的方程，不必作代换就可求出它的通解为y=Cx．
例4 求微分方程xy=x2+y2满足条件y|x=e＝2e的解．
解 原方程可化为= +，这是一个齐次方程．作代换u=，即y=ux，则
＝u+x．
代入前一方程得
u+x=+u 即 x=，
分离变量并积分得
u2=2ln｜x｜+2C (C为任意常数)，
将u替换为，便得原方程的通解：
y2=2x2ln｜x｜+2Cx2，
再将初始条件代入通解得
4e2=2e2·ln e+2Ce2，
求得 C=1，
于是，所求的特解为
y2=2x2(ln｜x｜+1）．
例5 设甲、乙两种商品的价格分别为P1,P2，且价格P1相对于P2的弹性为=，求价格P1与P2的函数关系．
解 将所给方程整理为
=．
这是齐次方程．令u=，即P1＝uP2，则＝u+P2，代入上式得
u+P2＝·u．
整理得
du＝2．
两边积分得
-ln｜u｜＝2ln｜P2｜＋C1 （C1为任意常数）．
将u替换为，便得方程的通解(注意到u＞0,P22＞０)
＝CP1P2（C＝， C为正数)．
2． 可化为齐次方程的微分方程
形如
= （10-2-4）
的微分方程，当C1＝C2＝０时，就是一个齐次方程．当C1,C2中至少有一个不为零时，尽管本身不是齐次方程，但经过适当的变量替换后，可化为齐次方程．下面分两种情况讨论：
(1) 若a1b2-a2b1≠0,这时方程组

有惟一解x=α，y=β．作变量替换

则
＝＝．
于是方程(10-2-4)化为
=．
这是关于变量u和v的齐次方程．求出其通解后再换回原来的变量x和y，即得原方程的通解．
(2) 若a1b2-a2b1=0，这时令＝＝，即有a1=λa2, b1=λb2．
方程(10-2-4)可写为
＝．
作变量替换t=a2x+b2y,此时＝a2+b2，方程(10-2-4)化为
＝a2+b2．
这是关于变量t和x的可分离变量的方程．
例6 求方程＝的解．
解 解方程组

得x=-2,y=-3．作变换x=u-2，y=v-3，原方程化为
=．
这是一个齐次方程，按齐次方程的解法可求得它的通解为
ln(u2+v2)+2arctan=C．
再将u=x+2，v=y+3代入上式，便得原方程的通解为．
ln［(x+2)2+(y+3)2］+2arctan=C．
三、 一阶线性微分方程
形如
y′＋P(x)y=Q(x) （10-2-5）
的方程叫做一阶线性微分方程．其中P(x)，Q(x)为x的已知连续函数，Q(x)称为自由项．
如果Q(x)≡0，方程(10-2-5)即为
y′+P(x)y=0． （10-2-6）
该方程称为一阶齐次线性微分方程．而当Q(x) ≠0时，方程(10-2-5)称为一阶非齐次线性微分方程．也称(10-2-6)为(10-2-5)所对应的齐次方程．
注意这里所说的齐次方程与上段讨论的齐次方程是不同的．
下面来讨论一阶非齐次线性方程(10-2-5)的解法．
先考虑非齐次线性方程(10-2-5)所对应的齐次方程(10-2-6)的通解．显然y=0是它的一个解，当y≠0时分离变量得
=-P(x)dx．
两边积分得
ln｜y｜= +C1，
即
y=C （C=±）．
y=0也是方程(10-2-6)的解，这时在上式中取C=0即可．于是得到方程(10-2-6)的通解为
y=C (C为任意常数)． (10-2-7)
再利用“常数变易法”求非齐次线性方程(10-2-5)的通解．由于方程(10-2-5)与(10-2-6)的左端相同，右端不同，方程(10-2-5)的左端比方程(10-2-6)的左端多了一项Q(x)，因此，我们猜想方程(10-2-5)的通解也具有(10-2-7)的形式，而其中的C不可能还是常数，而是x的某个函数C(x)．于是，可设方程(10-2-5)的解为
y=C(x)·， （10-2-8）
其中C(x)是待定函数．
将(10-2-8)代入方程(10-2-5)，得
[C(x) ]¢+P(x)C(x) =Q(x)．
化简，得
C¢(x)＝Q(x) ．
上式两端同时积分，得
C(x)= dx＋C（C为任意常数）．
将上式代入(10-2-8)式，得非齐次线性方程(10-2-5)的通解
y=[ dx＋C] (C为任意常数)． （10-2-9）
这种将任意常数变成待定函数求解的方法，称为常数变易法．
将通解(10-2-9)改写为
y=C+．
不难看出： 通解由两部分构成，其中第一项是方程(10-2-5)所对应的齐次线性方程(10-2-6)的通解，第二项是方程(10-2-5)本身的一个特解［对应于通解(10-2-9)中C=0的特解］．这并不偶然，这是线性方程解的结构的一个重要性质．
例7 求方程xy′+y=ex (x＞0)的通解．
解 所给方程可化为
y′+ =． （10-2-10）
先求得方程(10-2-10)对应的齐次线性方程的通解为
y=，
再利用常数变易法，设方程(10-2-10)的解为
y=，
代入方程(10-2-10)得
＝，
化简，得
C¢(x)=ex，
积分得
C(x)=ex+C，
故得方程(10-2-10)的通解为
y= (ex+C)（C为任意常数）．
这也就是所求方程的通解．
以上是按“常数变易法”的思路求解，本题也可直接利用通解公式(10-2-9)求解．但是，必须先将方程化为形如方程(10-2-5)的标准形式．
这里，P(x)= ，Q(x)＝，代入公式(10-2-9)，得方程的通解为
y=＝(ex+C)．
例8 求方程y′＝满足初始条件y(0)=1的特解．
解 先求出所给方程的通解．这个方程乍一看不像一阶线性方程，但把它改写成
-x=y2，
则是以y为自变量，x为未知函数的一阶线性微分方程．
利用通解公式(10-2-9)得
x=＝＝=Cy+y3，
将初始条件y(0)=1代入上述通解中，得C＝，故所求
方程的特解为
x=y+y3．
例9 已知连续函数f(x)满足条件f(x)＝＋e2x，求f(x)．
解 因原方程右端函数可导，所以f(x)可导．对方程两端同时求导，得
f′(x)=3f(x)+2e2x．
由一阶线性方程的通解公式，得
f(x)＝＝e3x(-2e-x+C)=－２e2x+Ce3x．
例10 设y=f(x)是第一象限内连接点A(0，1)，B(1，0)的一段连续曲线，M(x,y)为该曲线上任意一点，点C为M在x轴上的投影，O为坐标原点．若梯形OCMA的面积与曲边三角形CBM的面积之和为＋，求f(x)的表达式．

图10-2
解 参看图10-2，由题设得
［1+f(x)］+＝＋，
求导，得
［1+f(x)］+xf′(x)-f(x)=，
即
f′(x)-f(x)= (x≠0)．
利用一阶线性微分方程的通解公式，得
f(x)＝＝e
＝x＝x2+1+Cx．
当x=0时，f(0)=1．说明上述解在x=0时有意义．将条件f(1)=0代入到通解中，得C=-2，于是有
f(x)=x2-2x+1．
形如
+P(x)y=Q(x)ya （a≠0，1） （10-2-11）
的方程称为伯努利(Bernoulli)方程．它不是线性方程，但是经过适当的变量替换，可将它化成线性方程求解．事实上，只要将方程(10-2-11)两端除以ya，得
y-a +P(x)y1-a＝Q(x)，
即
＋P(x)y1-a＝Q(x)．
若令y1-a＝z， 则上面这个方程为
+P(x)z＝Q(x)． （10-2-12）
这是一个线性方程．求出这个方程的通解后，用y1-a替换z，便得到伯努利方程的通解．
例11 求方程y′+ =的通解．
解 这是a＝的伯努利方程．方程两边同时除以，得
＝x．
令z＝y1-a＝，则上面的方程化为
+＝．
这是一阶线性微分方程，其通解为
z＝
＝
＝．
将替换z，得原方程的通解为
y= （C为任意常数)．
习题10-2
1． 求下列微分方程的通解或在给定的初始条件下的特解：
(1) y′＝； (2) xydx+dy=0;
(3) (xy2+x)dx+(y-x2y)dy=0;
(4) sinxcos2ydx+cos2xdy=0;
(5)；
(6) yy′+xey=0,　y(1)=0;
(7) y′=e2x-y，　．
2． 物体冷却速度与该物质和周围介质的温差成正比，具有温度为T0的物体放在保持常温为a的室内，求温度T与时间t的关系：
3． 求下列微分方程的通解或在给定条件下的特解：
(1) xy′-y-＝0；
(2) y′=+sin；
(3) 3xy2dy＝(2y3-x3)dx;
(4) x2y′+xy=y2， y(1)=1；
(5) xy′=y(lny-lnx), y(1)=1;
(6) (y-x+2)dx=(x+y+4)dy;
(7) (x+y)dx+(3x+3y-4)dy=0．
4． 求下列微分方程的通解或在给定初始条件下的特解：
(1) y′-y=sinx;
(2) y′-y=xnex；
(3) (x-2y)dy+dx=0;
(4) (1+xsiny)y′-cosy=0；
(5) y′- =(x+1)ex, y(0)=1;
(6) y′+，y(0)=;
(7) y′-=-lnx, y(1)=1;
(8) y′+2xy=(xsinx)·，y(0)=1;
(9) y′＝；
(10) y′＝．
5． 设函数f(x)在［1,＋∞］上连续，若由曲线y=f(x)，直线x=1,x=t(t＞1)与x轴所围成的
平面图形绕x轴旋转一周所成的旋转体的体积为
V(t)＝［t2f(t)-f(1)］．
试求y=f(x)所满足的微分方程，并求该微分方程满足条件y(2)=的特解．
6． 设某生物群体的出生率为常数a，由于拥挤及对食物的竞争的加剧等原因，死亡率与当
时群体中的个体量成正比(比例系数为b＞0)．如果t=0时生物个体总数为x0，求时刻t时的
生物个体的总数(注： 将生物群体中的个体量当做时间t的连续可微变量看待)．
7． 已知f(x)＝＋3x-3， 求f(x)．
8． 已知某商品的成本C＝C(x)随产量x的增加而增加，其增长率为
C′(x)＝，
且产量为零时，固定成本C(0)＝C0＞0．求商品的生产成本函数C(x)．
9． 某公司对某种电器设备的使用费用进行考察，结果发现，随该电路使用时间x的延长，它的保养维修费会加倍增长，因而平均单位时间的使用费S也在增加，即S为x的函数S=S(x)，其变化率为
，
其中a,b均为正常数．若当x=x0时S＝S0，试问：使用时间为多少时，其平均单位时间的
使用费S最高?

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