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一次不定方程的解法

一次不定方程的解法
我们现在就这个问题，先给出一个定理．
　　定理 如果是互质的正整数，是整数，且方程
①
　　有一组整数解则此方程的一切整数解可以表示为

其中…
　　证 因为是方程①的整数解，当然满足
②
　　因此
．
　　这表明，也是方程①的解．
　　设是方程①的任一整数解，则有
③
　　③②得 ④
由于，所以，即，其中是整数．将代入④，即得．因此可以表示成，的形式，所以，表示方程①的一切整数解，命题得证．
有了上述定理，求解二元一次不定方程的关键是求它的一组特殊解.

例1 求的整数解．
解法1 将方程变形得

　　因为是整数，所以应是的倍数．由观察得是这个方程的一组整数解，所以方程的解为

　　解法2 先考察，通过观察易得
，
　　所以
，
可取，从而

　　可见，二元一次不定方程在无约束条件的情况下，通常有无数组整数解，由于求出的特解不同，同一个不定方程的解的形式可以不同，但它们所包含的全部解是一样的．将解中的参数t做适当代换，就可化为同一形式．

例2 求方程的非负整数解．
解 因为，所以方程两边同除以得
①
　　由观察知，是方程
②
　　的一组整数解，从而方程①的一组整数解为

由定理，可得方程①的一切整数解为

　　因为要求的是原方程的非负整数解，所以必有
③
　　由于是整数，由③得，所以只有两种可能．
　　当；当．所以原方程的非负整数解是
，
　　例3 求方程的所有正整数解．
　　分析 这个方程的系数较大，用观察法去求其特殊解比较困难，碰到这种情况我们可用逐步缩小系数的方法使系数变小，最后再用观察法求得其解．
　　解 用方程
①
　　的最小系数7除方程①的各项，并移项得
②
　　因为是整数，故也是整数，于是．化简得到
③
令（整数），由此得
④
　　由观察知是方程④的一组解．将代入③得，再将代入②得．于是方程①有一组解，所以它的一切解为

　　由于要求方程的正整数解，所以

　　解不等式，得只能取．因此得原方程的正整数解为
，
　　当方程的系数较大时，我们还可以用辗转相除法求其特解，其解法结合例题说明．
　　例4 求方程的整数解．
解

　　为用和表示，我们把上述辗转相除过程回代，得

　　由此可知是方程的一组整数解．于是
，
　　是方程的一组整数解．
　　所以原方程的一切整数解为

　　例5 某国硬币有分和分两种，问用这两种硬币支付分货款，有多少种不同的方法？
　　解 设需枚分，枚分恰好支付分，于是
①
　　所以

由于，所以，并且由上式知．因为，所以，从而，所以①的非负整数解为
， ， ，
　　所以，共有4种不同的支付方式．
　　说明 当方程的系数较小时，而且是求非负整数解或者是实际问题时，这时候的解的组数往往较少，可以用整除的性质加上枚举，也能较容易地解出方程．

多元一次不定方程可以化为二元一次不定方程．
　　例6 求方程的整数解．
　　解 设，即，于是．于是原方程可化为
①
　用前面的方法可以求得①的解为
（是整数） ②
　②的解为
（是整数） ③
　　消去，得
（都是整数）
　　大约1500年以前，我国古代数学家张丘建在他编写的《张丘建算经》里，曾经提出并解决了“百钱买百鸡”这个有名的数学问题，通俗地讲就是下例．
　　例7 今有公鸡每只五个钱，母鸡每只三个钱，小鸡每个钱三只．用个钱买只鸡，问公鸡、母鸡、小鸡各买了多少只？
　　解 设公鸡、母鸡、小鸡各买只，由题意列方程组

①

②

化简得 ③
　　③②得
　　即，解得

于是的一个特解为

　　由定理知的所有整数解为

　　由题意知，，所以

解得
∴
由于是整数，故只能取，而且还应满足
．

26
4
18
78
27
8
11
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28
12
4
84

即可能有三种情况：只公鸡，只母鸡，只小鸡；或只公鸡，只母鸡，只小鸡；或只公鸡，只母鸡，只小鸡．
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