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专题一-等腰三角形的存在性问题解题策略

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课 时 教 案
授 课 题 目
专题一 等腰三角形的存在性问题解题策略
授 课 日 期
2015年3月7日
教师
柳 娜
授 课 学 时
1 时 00 分
学生

课 型
复习课
学科组长
柳 娜
师生活动
一、要点归纳
等腰三角形的存在性问题是中考数学的热点问题．
解等腰三角形的存在性问题，有几何法和代数法，把几何法和代数法相结合，可以使得解题又好又快．
几何法一般分三步：分类、画图、计算．
代数法一般也分三步：罗列三边长，分类列方程，解方程并检验．

二、课前热身
怎样画腰长为5厘米的等腰三角形？这样的等腰三角形有多少个？
怎样画底边长为5厘米的等腰三角形？这样的等腰三角形有多少个？

三、例题讲解

1.在平面直角坐标系内，O为原点，点A的坐标为（1，0），点C的坐标为（0，4），直线CM//x轴（如图1所示）．点B与点A关于原点对称，直线y＝x＋b（b为常数）经过点B，且与直线CM相交于点D，联结OD．
（1）求b的值和点D的坐标；
（2）设点P在x轴的正半轴上，若△POD是等腰三角形，求点P的坐标；

图1

2.如图1，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，D、E分别是边AB、AC上的两个动点（D不与A、B重合），且保持DE//BC，以DE为边，在点A的异侧作正方形DEFG．
（1）试求△ABC的面积；
（2）当边FG与BC重合时，求正方形DEFG的边长；
（3）设AD＝x，△ABC与正方形DEFG重叠部分的面积为y，试求y关于x的函数关系式，并写出定义域；
（4）当△BDG是等腰三角形时，请直接写出AD的长．

图1

3.如图，已知正方形OABC的边长为2，顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，M是BC的中点．P(0,m)是线段OC上一动点（C点除外），直线PM交AB的延长线于点D．
（1）求点D的坐标（用含m的代数式表示）；
（2）当△APD是等腰三角形时，求m的值；

4.如图1，正方形ABCD的边长为4，M是AD的中点，动点E在线段AB上，联结EM并延长交射线CD于F，过M作EF的垂线交射线BC于G，联结EG、FG．
（1）求证：△GEF是等腰三角形；
（2）设AE＝x，△GEF的面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（3）在点E运动的过程中，△GEF能否成为等边三角形？请说明理由．

图1
5.如图1，在直角坐标平面内有点A(6, 0)，B(0, 8)，C(－4, 0)，点M、N分别为线段AC和射线AB上的动点，点M以2个单位长度/秒的速度自C向A方向作匀速运动，点N以5个单位长度/秒的速度自A向B方向作匀速运动，MN交OB于点P．
(1)求证：MN∶NP为定值；
(2)若△BNP是等腰三角形，求CM的长．

图1
6.如图1，Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，AC＝8，点P、Q都是斜边AB上的动点，点P从B向A运动（不与点B重合），点Q从A向B运动，BP＝AQ．点D、E分别是点A、B以Q、P为对称中心的对称点，HQ⊥AB于Q，交AC于点H，当点E到达顶点A时，P、Q同时停止运动，设BP的长为x，△HDE的面积为y．
（1）求证：△DHQ∽△ABC；
（2）当x为何值时，△HDE为等腰三角形？

图1 图2

针对训练
1．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点D在坐标为(3，4)，点P是x轴正半轴上的一个动点，如果△DOP是等腰三角形，求点P的坐标．

2．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，动点P以2个单位/秒的速度从点A出发，沿AC向点C移动，同时动点Q以1个单位/秒的速度从点C出发，沿CB向点B移动，当P、Q两点中其中一点到达终点时则停止运动．在P、Q两点移动过程中，当△PQC为等腰三角形时，求t的值．

3．如图，直线y＝2x＋2与x轴交于点A，与y轴交于点B，点P是x轴正半轴上的一个动点，直线PQ与直线AB垂直，交y轴于点Q，如果△APQ是等腰三角形，求点P的坐标．

4．如图，点A在x轴上，OA＝4，将线段OA绕点O顺时针旋转120°至OB的位置．
（1）求点B的坐标；
（2）求经过A、O、B的抛物线的解析式；
（3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点P，使得以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．

5．如图1，已知正方形OABC的边长为2，顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，M是BC的中点．P(0,m)是线段OC上一动点（C点除外），直线PM交AB的延长线于点D．
（1）求点D的坐标（用含m的代数式表示）；
（2）当△APD是等腰三角形时，求m的值；
（3）设过P、M、B三点的抛物线与x轴正半轴交于点E，过点O作直线ME的垂线，垂足为H（如图2）．当点P从O向C运动时，点H也随之运动．请直接写出点H所经过的路长（不必写解答过程）．

图1 图2

6．如图，在矩形ABCD中，AB＝m（m是大于0的常数），BC＝8，E为线段BC上的动点（不与B、C重合）．连结DE，作EF⊥DE，EF与射线BA交于点F，设CE=x，BF＝y．
（1）求y关于x的函数关系式；
（2）若m＝8，求x为何值时，y的值最大，最大值是多少？
（3）若，要使△DEF为等腰三角形，m的值应为多少？

7．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝16，DE＝4．动线段DE（端点D从点B开始）沿BC以每秒1个单位长度的速度向点C运动，当端点E到达点C时运动停止．过点E作EF//AC交AB于点F（当点E与点C重合时，EF与CA重合），联结DF，设运动的时间为t秒（t≥0）．
（1）直接写出用含t的代数式表示线段BE、EF的长；
（2）在这个运动过程中，△DEF能否为等腰三角形？若能，请求出t的值；若不能，请说明理由；
（3）设M、N分别是DF、EF的中点，求整个运动过程中，MN所扫过的面积．

8． 如图，在平面直角坐标系xoy中，矩形ABCD的边AB在x轴上，且AB＝3，BC＝，直线y＝经过点C，交y轴于点G．
（1）点C、D的坐标分别是C（ ），D（ ）；
（2）求顶点在直线y＝上且经过点C、D的抛物线的解析式；
（3）将（2）中的抛物线沿直线y＝平移，平移后的抛物线交y轴于点F，顶点为点E（顶点在y轴右侧）．平移后是否存在这样的抛物线，使△EFG为等腰三角形？
若存在，请求出此时抛物线的解析式；若不存在，请说明理由．

9．如图，已知△ABC中，AB＝AC＝6，BC＝8，点D是BC边上的一个动点，点E在AC边上，∠ADE＝∠B．设BD的长为x，CE的长为y．
（1）当D为BC的中点时，求CE的长；
（2）求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；
（3）如果△ADE为等腰三角形，求x的值．

备用图 备用图

学科组长审核签字：
教师反馈
1、 学生接受程度： □完全能接受 □部分能接受
能总结当堂学习所得，或提出深层次的问题
能用自己的语言有条理地去解释、表达所学知识
在学习过程中有满足、成功与喜悦等体验，对后续学习更有信心
2、学生课堂表现： □很积极 □比较积极 □一般
主动与老师交流互动，彬彬有礼
善于多角度思考问题、能主动提出有价值的问题
3、 学生课堂练习： □很满意 □比较满意 □一般
独立阅读思考，练习作业，答问时积极发表见解
具有自己的思想或创意
4、学生上次完成作业情况：完成数量 ％，
已完成部分的质量 □优秀 □良好 □合格
5、 补充说明：

教师签字：
学生反馈
1、教学态度 【 】
A．认真负责，一丝不苟     B. 较认真负责，能严格要求
C．有时马虎，要求不够严   D. 不负责任，要求不严
2、教学方法 【 】
教法灵活，注重启迪学生思维、师生互动、有活力，注重培养学生能力。
A．灵活、学生活动多        B. 较灵活、学生有活动
C. 不够灵活、学生活动少     D．教法呆板，学生只是被动地听老师讲
3、课后作业 【 】
A．作业量适当、检查及时  B、作业量较适当、不够及时  
C．作业量多、但无针对性
4、作业批改 【 】
A．批改认真、及时、注意讲评     B．批改较认真及时、较注意讲评
C．批改不够认真、讲评不够      D．批改不认真、拖拉
5、教学效果 【 】
A．听得明白，新知识巩固率高，学习能力有明显提高
B．听得懂，新知识巩固率较高，学习能力有提高
C．多数能听懂，新知识巩固率不够高，对学习能力提高帮助不大
D．多数听不懂，新知识巩固率低，学习能力未得到提高
6、你有悄悄话想对某位老师说吗？如果有请你写下来，我们帮你转达。

学生签字：
家长意见或建议

家长签名：

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