浅论微积分在经济分析中的应用.docx

浅论微积分在经济分析中的应用摘 要：微积分作为数学知识的基础 ,是学习经济学的必备知识 ,着重讨论了微积分在经济学中最基本的一些应用，计算边际成本、 边际收入、 边际利润并解释其经济意义, 寻求最小生产成本或制定获得最大利润的一系列策略。关键词：微积分；边际分析；弹性；成本；收入；利润；最大值；最小值1 导数在经济分析中的应用边际分析在经济分析中的的应用边际需求与边际供给设需求函数Q=f在点p处可导，则其边际函数Q=f(p)称为边际需求函数，简称边际需求。类似地，若供给函数Q=Q(P)可导，则其边际函数Q=Q(p)称为边际供给函数，简称边际供给。边际成本函数总成本函数C=C(Q)=C0+C1(Q)；平均成本函数=(Q)=C(Q)Q；边际成本函数C=C(Q)C(Q0)称为当产量为Q0时的边际成本，其经济意义为：当产量达到Q0时，如果增减一个单位产品，则成本将相应增减C(Q0)个单位。边际收益函数总收益函数R=R(Q)；平均收益函数=(Q)；边际收益函数R=R(Q)R(Q0)称为当商品销售量为Q0时的边际收益。其经济意义为：当销售量达到Q0时，如果增减一个单位产品，则收益将相应地增减R(Q0)个单位。边际利润函数利润函数L=L(Q)=R(Q)-C(Q);平均利润函数;=(Q)边际利润函数L=L(Q)=R(Q)-C(Q).L(Q0)称为当产量为Q0时的边际利润，其经济意义是：当产量达到Q0时，如果增减一个单位产品，则利润将相应增减L(Q0)个单位。例1 某企业每月生产Q产品的总成本C是产量Q的函数，C(Q)=Q2-10Q+20。如果每吨产品销售价格2万元，求每月生产10吨、15吨、20吨时的边际利润。解：每月生产Q吨产品的总收入函数为：R=20QL=R-C=20Q-=-Q2+30Q-20L(Q)=(-Q2+30Q-20)=-2Q+30则每月生产10吨、15吨、20吨的边际利润分别为L(10)=-210+30=10；L(15)=-215+30=0；L(20)=-220+30=-10；以上结果表明：当月产量为10吨时，再增产1吨，利润将增加1万元；当月产量为15吨时，再增产1吨，利润则不会增加；当月产量为20吨时，再增产1吨，利润反而减少1万元。显然，企业不能完全靠增加产量来提高利润，那么保持怎样的产量才能使企业获得最大利润呢？弹性在经济分析中的应用弹性函数设函数y=f(x)在点x处可导，函数的相对改变量yy=f(x+x)-f(x)y与自变量的相对改变量xx之比，当x0时的极限称为函数y=f(x)在点x处的相对变化率，或称为弹性函数。记为EyExEyEx=limx0yyxx=limx0yxxy=f(x)xf(x)在点x=x0处，弹性函数值Ef(x0)Ex=f(x0)xf(x0)称为f在点x=x0处的弹性值，简称弹性。EExf(x0)%表示在点x=x0处，当x产生1%的改变时，f近似地改变EExf(x0)%。需求弹性经济学中，把需求量对价格的相对变化率称为需求弹性。对于需求函数Q=f(或P=P)，由于价格上涨时，商品的需求函数Q=f(p)为单调减少函数，P与Q异号，所以特殊地定义，需求对价格的弹性函数为(p)=-f(p)pf(p)例2 设某商品的需求函数为Q=e-p5，求(1)需求弹性函数；(2)P=3,P=5,P=6时的需求弹性。解：(1)(p)=-f(p)pf(p)=-(-15)e-p5.pe-p5=p5；(2)(3)=35=;(5)=55=1;(6)=65=(3)=，说明当P=3时，价格上涨1%，需求只减少%，需求变动的幅度小于价格变动的幅度。(5)=1，说明当P=5时，价格上涨1%，需求也减少1%，价格与需求变动的幅度相同。(6)=，说明当P=6时，价格上涨1%，需求减少%，需求变动的幅度大于价格变动的幅度。收益弹性收益R是商品价格P与销售量Q的乘积，即R=PQ=Pf(p)R=f(p)+pf(p)=f(p)(1+f(p)pf(p)=f(p)(1-)所以，收益弹性为EREP=R(P).PR(P)=f(p)(1-)ppf(p)=1-这样，就推导出收益弹性与需求弹性的关系是：在任何价格水平上，收益弹性与需求弹性之和等于1。若1，则EREP0价格上涨1%，收益增加(1-)%；若1，则EREP0价格上涨1%，收益减少|1-|%；若=1，则EREP=0价格变动1%，收益不变。最大值与最小值在经济问题中的应用最优化问题是经济管理活动的核心，各种最优化问题也是微积分中最关心的问题之一，例如，在一定条件下，使成本最低，收入最多，利润最大，费用最省等等。下面介绍函数的最值在经济效益最优化方面的若干应用。最低成本问题例3 设某厂每批生产某种产品x个单位的总成本函数为c(x)=mx3-nx2+px，问每批生产多少单位时，使平均成本最小？求最小平均成本和相应的边际成本。解：平均成本(X)=C(x)x=mx2-nx+p，C=2mx-n令C，得x=n2m，而C(x)=2m0。所以，每批生产n2m个单位时，平均成本最小。(n2m)=m(n2m)2-n(n2m)+p=(4mp-n24m)，又C(x)=3mx2-2nx+p，C(n2m)=3m(n2m)2-2m(n2m)+p=4mp-n24m所以，最小平均成本等于其相应的边际成本。最大利润问题例4 设生产某产品的固定成本为60000元，变动成本为每件20元，价格函数p=60-Q1000，假设供销平衡，问产量为多少时，利润最大？最大利润是多少？解：产品的总成本函数C(Q)=60000+20Q收益函数R(Q)=pQ=(60-Q1000)Q=60Q-Q21000则利润函数L(Q)=R(Q)-C(Q)=-Q21000+40Q-60000L(Q)=-1500Q+40,令(Q)=0得Q=20000L(Q)=-15000Q=2000时L最大，L=340000元所以生产20000个产品时利润最大，最大利润为340000元。2 积分在经济中的应用在经济管理中，由边际函数求总函数，一般采用不定积分来解决，或求一个变上限的定积分；如果求总函数在某个范围的改变量，则采用定积分来解决。例5 设生产x个产品的边际成本C=100+2x，其固定成本为C0=1000元，产品单价规定为500元。假设生产出的产品能完全销售，问生产量为多少时利润最大？并求出最大利润。解:总成本函数为C(x)=x0(100+2t)dt+C(0)=100x+x2+1000总收益函数为R(x)=500x总利润L(x)=R(x)-C(x)=400x-x2-1000，L=400-2x，令L=0，得x=200，因为L(200)0。所以，生产量为200单位时，利润最大。最大利润为L(200)=400200-2002-1000=39000。在这里我们应用了定积分,分析出利润最大,并不是意味着多增加产量就必定增加利润,只有合理安排生产量,才能取得总大的利润。综上所述，对企业经营者来说，对其经济环节进行定量分析是非常必要的。将数学作为分析工具，不但可以给企业经营者提供精确的数值，而且在分析的过程中，还可以给企业经营者提供新的思路和视角，这也是数学应用性的具体体现。因此，作为一个合格的企业经营者，应该掌握相应的数学分析方法，从而为科学的经营决策提供可靠依据。参考文献1聂洪珍,朱玉芳.高等数学微积分.北京：中国对外经济贸易出版社，2003,.