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浅论微积分在经济分析中的应用

　　摘 要：微积分作为数学知识的基础 ,是学习经济学的必备知识 ,着重讨论了微积分在经济学中最基本的一些应用，计算边际成本、 边际收入、 边际利润并解释其经济意义, 寻求最小生产成本或制定获得最大利润的一系列策略。
关键词：微积分；边际分析；弹性；成本；收入；利润；最大值；最小值
　　1 导数在经济分析中的应用
　　边际分析在经济分析中的的应用
　　边际需求与边际供给
　　设需求函数Q=f在点p处可导，则其边际函数Q’=f’(p)称为边际需求函数，简称边际需求。类似地，若供给函数Q=Q(P)可导，则其边际函数Q=Q(p)称为边际供给函数，简称边际供给。
　　边际成本函数
　　总成本函数C=C(Q)=C0+C1(Q)；平均成本函数=(Q)=C(Q)Q；边际成本函数C’=C’(Q)．C’(Q0)称为当产量为Q0时的边际成本，其经济意义为：当产量达到Q0时，如果增减一个单位产品，则成本将相应增减C’’(Q0)个单位。
　　边际收益函数
　　总收益函数R=R(Q)；平均收益函数=(Q)；边际收益函数R’=R’(Q)．
　　R’(Q0)称为当商品销售量为Q0时的边际收益。其经济意义为：当销售量达到Q0时，如果增减一个单位产品，则收益将相应地增减R’(Q0)个单位。
　　边际利润函数
　　利润函数L=L(Q)=R(Q)-C(Q);平均利润函数;=(Q)边际利润函数L’=L’(Q)=R’(Q)-C’(Q).L’(Q0)称为当产量为Q0时的边际利润，其经济意义是：当产量达到Q0时，如果增减一个单位产品，则利润将相应增减L’(Q0)个单位。
　　例1 某企业每月生产Q产品的总成本C是产量Q的函数，C(Q)=Q2-10Q+20。如果每吨产品销售价格2万元，求每月生产10吨、15吨、20吨时的边际利润。
　　解：每月生产Q吨产品的总收入函数为：
　　R=20Q
　　L=R-C=20Q-
　　=-Q2+30Q-20
　　L’(Q)=(-Q2+30Q-20)’=-2Q+30
　　则每月生产10吨、15吨、20吨的边际利润分别为
　　L’(10)=-2×10+30=10；
　　L’(15)=-2×15+30=0；
　　L’(20)=-2×20+30=-10；
　　以上结果表明：当月产量为10吨时，再增产1吨，利润将增加1万元；当月产量为15吨时，再增产1吨，利润则不会增加；当月产量为20吨时，再增产1吨，利润反而减少1万元。
　　显然，企业不能完全靠增加产量来提高利润，那么保持怎样的产量才能使企业获得最大利润呢？
　　弹性在经济分析中的应用
　　弹性函数
　　设函数y=f(x)在点x处可导，函数的相对改变量Δyy=f(x+Δx)-f(x)y与自变量的相对改变量Δxx之比，当Δx→0时的极限称为函数y=f(x)在点x处的相对变化率，或称为弹性函数。记为EyEx•EyEx=limδx→0
　　ΔyyΔxx=limδx→0ΔyΔx．xy=f’(x)xf(x)
　　在点x=x0处，弹性函数值Ef(x0)Ex=f’(x0)xf(x0)称为f在点x=x0处的弹性值，简称弹性。EExf(x0)%表示在点x=x0处，当x产生1%的改变时，f近似地改变EExf(x0)%。
　　需求弹性
　　经济学中，把需求量对价格的相对变化率称为需求弹性。
　　对于需求函数Q=f(或P=P)，由于价格上涨时，商品的需求函数Q=f(p)为单调减少函数，ΔP与ΔQ异号，所以特殊地定义，需求对价格的弹性函数为η(p)=-f’(p)pf(p)
　　例2 设某商品的需求函数为Q=e-p5，求(1)需求弹性函数；(2)P=3,P=5,P=6时的需求弹性。
　　解：(1)η(p)=-f’(p)pf(p)=-(-15)e-p5.pe-p5=p5；
　　(2)η(3)=35=;η(5)=55=1;η(6)=65=
　　η(3)=，说明当P=3时，价格上涨1%，需求只减少%，需求变动的幅度小于价格变动的幅度。
　　η(5)=1，说明当P=5时，价格上涨1%，需求也减少1%，价格与需求变动的幅度相同。η(6)=，说明当P=6时，价格上涨1%，需求减少%，需求变动的幅度大于价格变动的幅度。
　　收益弹性
　　收益R是商品价格P与销售量Q的乘积，即
　　R=PQ=Pf(p)
　　R’=f(p)+pf’(p)=f(p)(1+f’(p)pf(p))=f(p)(1-η)
　　所以，收益弹性为EREP=R’(P).PR(P)=f(p)(1-η)ppf(p)=1-η
　　
　　这样，就推导出收益弹性与需求弹性的关系是：在任何价格水平上，收益弹性与需求弹性之和等于1。
　　若η1，则EREP0价格上涨1%，收益增加(1-η)%；
　　若η1，则EREP0价格上涨1%，收益减少|1-η|%；
　　若η=1，则EREP=0价格变动1%，收益不变。
　　最大值与最小值在经济问题中的应用
　　最优化问题是经济管理活动的核心，各种最优化问题也是微积分中最关心的问题之一，例如，在一定条件下，使成本最低，收入最多，利润最大，费用最省等等。下面介绍函数的最值在经济效益最优化方面的若干应用。
　　最低成本问题
　　例3 设某厂每批生产某种产品x个单位的总成本函数为c(x)=mx3-nx2+px，，问每批生产多少单位时，使平均成本最小？求最小平均成本和相应的边际成本。
　　解：平均成本(X)=C(x)x=mx2-nx+p，C’=2mx-n
　　令C’，得x=n2m，而C’’(x)=2m0。所以，每批生产n2m个单位时，平均成本最小。
　　(n2m)=m(n2m)2-n(n2m)+p=(4mp-n
　　24m)，又C’(x)=3mx2-2nx+p，C’(n2m)=3m(n2m)2-2m(n2m)+p=4mp-n24m所以，最小平均成本等于其相应的边际成本。
　　最大利润问题
　　例4 设生产某产品的固定成本为60000元，变动成本为每件20元，价格函数p=60-Q1000，假设供销平衡，问产量为多少时，利润最大？最大利润是多少？
　　解：产品的总成本函数C(Q)=60000+20Q
　　收益函数R(Q)=pQ=(60-Q1000)Q=60Q-Q21000
　　则利润函数L(Q)=R(Q)-C(Q)=-Q21000+40Q-60000
　　L’(Q)=-1500Q+40,令Ｌ’(Q)=0得Q=20000
　　∵L’’(Q)=-15000∴Q=2000时L最大，L=340000元
　　所以生产20000个产品时利润最大，最大利润为340000元。
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　　2 积分在经济中的应用
　　在经济管理中，由边际函数求总函数，一般采用不定积分来解决，或求一个变上限的定积分；如果求总函数在某个范围的改变量，则采用定积分来解决。
　　例5 设生产x个产品的边际成本C=100+2x，其固定成本为C0=1000元，产品单价规定为500元。假设生产出的产品能完全销售，问生产量为多少时利润最大？并求出最大利润。
　　解:总成本函数为
　　C(x)=∫x0(100+2t)dt+C(0)=100x+x2+1000
　　总收益函数为R(x)=500x
　　总利润L(x)=R(x)-C(x)=400x-x2-1000，L’=400-2x，令L’=0，得x=200，因为L’’(200)0。所以，生产量为200单位时，利润最大。最大利润为L(200)=400×200-2002-1000=39000。
　　在这里我们应用了定积分,分析出利润最大,并不是意味着多增加产量就必定增加利润,只有合理安排生产量,才能取得总大的利润。
　　综上所述，对企业经营者来说，对其经济环节进行定量分析是非常必要的。将数学作为分析工具，不但可以给企业经营者提供精确的数值，而且在分析的过程中，还可以给企业经营者提供新的思路和视角，这也是数学应用性的具体体现。因此，作为一个合格的企业经营者，应该掌握相应的数学分析方法，从而为科学的经营决策提供可靠依据。
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　　参考文献
　　［1］聂洪珍,朱玉芳.高等数学微积分［Ｍ］.北京：中国对外经济贸易出版社，2003,.