国家教师资格考试高中数学学科知识与教学能力.pptx

国家教师资格考试数学学科知识与教学能力数学学科知识与教学能力温州大学温州大学 黄友初黄友初大纲要求高中：大学本科数学专业基础课程的知识是指：数学分析、高等代数、解析几何、概率论与数理统计等大学课程中与中学数学密切相关的内容，包括数列极限、函数极限、连续函数、一元函数微积分、向量及其运算、矩阵与变换等内容及概率与数理统计的基础知识。其内容要求是：准确掌握基本概念，熟练进行运算，并能够利用这些知识去解决中学数学的问题。初中：大学专科数学专业基础课程知识是指：数学分析、高等代数、解析几何、概率论与数理统计等大学专科数学课程中与中学数学密切相关的内容。其内容要求是：准确掌握基本概念，熟练进行运算，并能够利用这些知识去解决中学数学的问题。数学分析数学分析函数与极限函数与极限求极限求极限：罗必塔法则、两个重要极限、无穷小量的等价替换、求分段函数的极限（用定义）、分母（分子）有理化；判断连续性判断连续性：一般为分段函数、判断间断点的类别。例例1 1解解方法：方法：以以分母分母中自变量的最高次幂除分子中自变量的最高次幂除分子,分母分母,以分出无穷小以分出无穷小,然后再求极限然后再求极限.例例2 2解解由准则由准则1得得例例3 3证证(舍去舍去)例例4 4解解例例5 5解解例例6 6例例7 7解解若未定式的分子或分母为若干个因子的乘积，则若未定式的分子或分母为若干个因子的乘积，则可对其中的任意一个或几个无穷小因子作等价无可对其中的任意一个或几个无穷小因子作等价无穷小代换，而不会改变原式的极限穷小代换，而不会改变原式的极限1.跳跃间断点跳跃间断点例例4 4解解2.可去间断点可去间断点例例5 53.第二类间断点第二类间断点例例6 6解解例例8 8解解例例9 9解解导数与微分导数与微分复合函数求导、参数方程求导、取对数求导、隐函数求复合函数求导、参数方程求导、取对数求导、隐函数求导、拉格朗日中值定理、罗尔定理、柯西定理、函数的导、拉格朗日中值定理、罗尔定理、柯西定理、函数的极（最）值、凹凸性、曲率极（最）值、凹凸性、曲率分段函数的导数大多需要用定义来求。分段函数的导数大多需要用定义来求。例例1010解解例例1111解解隐函数求导法则隐函数求导法则:用复合函数求导法则直接对方程两边求导用复合函数求导法则直接对方程两边求导.观察函数观察函数先在方程两边取对数先在方程两边取对数,然后利用隐函数的求导然后利用隐函数的求导方法求出导数方法求出导数.-对数求导法对数求导法例例1212解解等式两边取对数得等式两边取对数得两边求导得两边求导得例例1313解解近似公式 由以上分析我们可知，当由以上分析我们可知，当|x|很小时，很小时，ydy，即，即令令得得例例1414解解例例1515解解例例1616解解例如例如,一、罗尔一、罗尔(Rolle)(Rolle)定理定理二、拉格朗日(Lagrange)中值定理三、柯西(Cauchy)中值定理例例1717证证由上式得由上式得例18：设f（x）在0,1上二阶可导，且f(0)=f(1)，证明存在使得解：令罗尔定理，因此在（0，1）内至少存在一点使得显然F(x)满足泰勒泰勒(Taylor)(Taylor)中值定理中值定理麦克劳林麦克劳林(Maclaurin)(Maclaurin)公式公式曲线凹凸的判定定理定理单调增函数单调增函数如图，如图，弧微分公式弧微分公式)yxo（设曲线设曲线C是光滑的，是光滑的，（定义定义曲线曲线C在点在点M处的曲率处的曲率2、曲率的计算公式、曲率的计算公式注意注意:(1)直线的曲率处处为零直线的曲率处处为零;(2)圆上各点处的曲率等于半径的倒数圆上各点处的曲率等于半径的倒数,且且半径越小曲率越大半径越小曲率越大.积分积分不定积分、定积分、定积分的应用不定积分、定积分、定积分的应用注意：换元法注意：换元法解解解解令令得得原式原式将将x代替代替u得：得：例例 求求解解 令令例例 求积分求积分解解注意循环形式注意循环形式曲边梯形的面积曲边梯形的面积曲边梯形的面积曲边梯形的面积一、直角坐标系情形一、直角坐标系情形xyo旋转体的体积为旋转体的体积为二、平行截面面积为已知的立体的体积二、平行截面面积为已知的立体的体积 如果一个立体不是旋转体，但却知道该立如果一个立体不是旋转体，但却知道该立体上垂直于一定轴的各个截面面积，那么，这体上垂直于一定轴的各个截面面积，那么，这个立体的体积也可用定积分来计算个立体的体积也可用定积分来计算.立体体积立体体积级数级数级数的收敛与发散；级数的收敛与发散；幂函数的收敛半径、收敛区间、收敛域、和函数幂函数的收敛半径、收敛区间、收敛域、和函数比较审敛法比较审敛法的极限形式:设1nnu与1nnv都是正项级数,如果则(1)当时,二级数有相同的敛散性;(2)当时，若收敛,则收敛;(3)当时,若1nnv发散,则1nnu发散;交错级数及其审敛法定义:正、负项相间的级数称为交错级数.任意项级数正项级数发散收敛故收敛域为故收敛域为(0,1.(0,1.解两边积分得高等代数高等代数行列式、逆矩阵、初等变换、求秩、解方程、线性相行列式、逆矩阵、初等变换、求秩、解方程、线性相关和线性无关、二次型、特征值和特征向量关和线性无关、二次型、特征值和特征向量59(1)(1)沙路法沙路法三阶行列式的计算三阶行列式的计算.列标列标行标行标60(2)(2)(2)(2)对角线法则对角线法则对角线法则对角线法则注意注意 红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三元素的乘积冠以负号元素的乘积冠以负号说明说明1 对角线法则只适用于二阶与三阶行列式对角线法则只适用于二阶与三阶行列式61例：解：62例：已知 求解：运算性质运算性质 例 设A为三阶矩阵 若已知|A|2 求|A|A2AT|解 (2)664|A|3|A2|AT|A|A2AT|A|3|A2AT|A|3|A|A|A|A|6 64定理定理1 1 矩阵矩阵 可逆的充要条件是可逆的充要条件是 ，且，且 这里这里 是行列式是行列式|A|A|中中 元素的代数余子式元素的代数余子式（注意注意：不是余子式）。：不是余子式）。65逆矩阵的运算性质逆矩阵的运算性质66例：设为三阶方阵，|A|=1/2，计算 解：67例例6869 解解例例7071例题例题显然，非零行的行数为显然，非零行的行数为2，1、若2、若3、若，则该线性方程组无解。而且都等于n，则该线性方程组有且只有唯一组解。而且都小于n，则该线性方程组有无穷多组解。例：解方程组 解：为方程的基础解系 方程的解为 如果一个方程组的系数矩阵的秩为，那它的基础解系有个解向量。例：求解下列非齐次线性方程组：解：对方程组的增广矩阵作如下初等变换：因此方程的系数矩阵的秩和增广矩阵的秩相等都等于24因此方程组有无穷多组解。由上面矩阵可将方程组化为：得到方程组的一个特解:对应齐次方程组的基础解系有422个，我们取 分别得到一组线性无关的基础解系：故方程组的解为 说明说明一、特征值与特征向量的概念例例 设设求求A A的特征值与特征向量的特征值与特征向量解解得基础解系为：得基础解系为：相似矩阵与相似变换定定理理：设是阶方阵，则相似于一个对角阵的充分必要条件是恰有个线性无关的特征向量。其中为的个线性无关的特征向量拼成的矩阵，且这个对角阵主对角线上的个元素就是的特征值。推论推论：阶阵有个不同的特征值，则必相似于一个对角阵。阶矩阵与对角矩阵相似的充分必要条件是对于每一个重根，对应的特征矩阵的秩是。定义定义：设有n个变元 的二次多项式：称为是n个变元的实二次型。具有以下特点：1、每一项中变元的次数加起来都等于2。2、前面的系数等于，前面的系数等于 3、都是实数。若把实二次型写成以下形式：因此上式的系数就是一个方阵，因为 是一个对称实方阵，系数矩阵为：同时，我们也可以把二次型写成矩阵形式：例：求实对称矩阵对应的二次型：解：解析几何解析几何向量的点乘、叉乘，以及它们所表示的意义；向量的点乘、叉乘，以及它们所表示的意义；曲线方程、曲面方程；曲线方程、曲面方程；直线与直线的夹角、直线与平面的夹角、平面与平面的直线与直线的夹角、直线与平面的夹角、平面与平面的夹角。夹角。数量积也称为数量积也称为“点积点积”、“内积内积”.结论结论 两向量的数量积等于其中一个向量的两向量的数量积等于其中一个向量的模和另一个向量在这向量的方向上的投影的模和另一个向量在这向量的方向上的投影的乘积乘积.解解定义定义关于向量积的说明：关于向量积的说明：/向量积也称为向量积也称为“叉积叉积”、“外积外积”.可用三阶行列式表示可用三阶行列式表示/由上式可推出由上式可推出补充补充解解三角形三角形ABC的面积为的面积为旋转过程中的特征：旋转过程中的特征：如图如图将将 代入代入将将 代入代入得方程得方程例例6 6 将下列各曲线绕对应的轴旋转一周，求将下列各曲线绕对应的轴旋转一周，求生成的旋转曲面的方程生成的旋转曲面的方程旋旋转转双双曲曲面面旋旋转转椭椭球球面面旋转抛物面旋转抛物面从柱面方程看柱面的从柱面方程看柱面的特征特征：（其他类推）（其他类推）实实 例例椭圆柱面椭圆柱面 /轴轴双曲柱面双曲柱面 /轴轴抛物柱面抛物柱面 /轴轴空间曲线的一般方程空间曲线的一般方程 曲线上的点都满足曲线上的点都满足方程，满足方程的点都在方程，满足方程的点都在曲线上，不在曲线上的点曲线上，不在曲线上的点不能同时满足两个方程不能同时满足两个方程.空间曲线空间曲线C可看作空间两曲面的交线可看作空间两曲面的交线.特点特点：一、空间曲线的一般方程空间曲线的参数方程空间曲线的参数方程二、空间曲线的参数方程消去变量消去变量z后得：后得：曲线关于曲线关于 的的投影柱面投影柱面设空间曲线的一般方程：设空间曲线的一般方程：以此空间曲线为准线，垂直于所投影的坐标面以此空间曲线为准线，垂直于所投影的坐标面.投影柱面的投影柱面的特征特征：三、空间曲线在坐标面上的投影 如果一非零向量垂直如果一非零向量垂直于一平面，这向量就叫做于一平面，这向量就叫做该平面的该平面的法线向量法线向量法线向量的法线向量的特征特征：垂直于平面内的任一向量垂直于平面内的任一向量已知已知设平面上的任一点为设平面上的任一点为必有必有一、平面的点法式方程平面的点法式方程平面的点法式方程 平面上的点都满足上方程，不在平面上的平面上的点都满足上方程，不在平面上的点都不满足上方程，上方程称为平面的方程，点都不满足上方程，上方程称为平面的方程，平面称为方程的图形平面称为方程的图形其中法向量其中法向量已知点已知点解解取取所求平面方程为所求平面方程为化简得化简得取法向量取法向量化简得化简得所求平面方程为所求平面方程为解解由平面的点法式方程由平面的点法式方程平面的一般方程平面的一般方程法向量法向量二、平面的一般方程平面一般方程的几种特殊情况：平面一般方程的几种特殊情况：平面通过坐标原点；平面通过坐标原点；平面通过平面通过 轴；轴；平面平行于平面平行于 轴；轴；平面平行于平面平行于 坐标面；坐标面；类似地可讨论类似地可讨论 情形情形.类似地可讨论类似地可讨论 情形情形.设平面为设平面为由平面过原点知由平面过原点知所求平面方程为所求平面方程为解解设平面为设平面为将三点坐标代入得将三点坐标代入得解解将将代入所设方程得代入所设方程得平面的截距式方程平面的截距式方程设平面为设平面为由所求平面与已知平面平行得由所求平面与已知平面平行得（向量平行的充要条件）（向量平行的充要条件）解解化简得化简得令令代入体积式代入体积式所求平面方程为所求平面方程为定义定义（通常取锐角）（通常取锐角）两平面法向量之间的夹角称为两平面的两平面法向量之间的夹角称为两平面的夹角夹角.三、两平面的夹角按照两向量夹角余弦公式有按照两向量夹角余弦公式有两平面夹角余弦公式两平面夹角余弦公式两平面位置特征：两平面位置特征：/例例6 6 研究以下各组里两平面的位置关系：研究以下各组里两平面的位置关系：解解两平面相交，夹角两平面相交，夹角两平面平行两平面平行两平面平行但不重合两平面平行但不重合两平面平行两平面平行两平面重合两平面重合.解解点到平面距离公式点到平面距离公式定义定义空间直线可看成两平面的交线空间直线可看成两平面的交线空间直线的一般方程空间直线的一般方程一、空间直线的一般方程方向向量的定义：方向向量的定义：如果一非零向量平行于如果一非零向量平行于一条已知直线，这个向量称一条已知直线，这个向量称为这条直线的为这条直线的方向向量方向向量/二、空间直线的对称式方程与参数方程直线的对称式方程直线的对称式方程令令直线的一组直线的一组方向数方向数方向向量的余弦称为方向向量的余弦称为直线的直线的方向余弦方向余弦.直线的参数方程直线的参数方程例例1 1 用对称式方程及参数方程表示直线用对称式方程及参数方程表示直线解解在直线上任取一点在直线上任取一点取取解得解得点坐标点坐标因所求直线与两平面的法向量都垂直因所求直线与两平面的法向量都垂直取取对称式方程对称式方程参数方程参数方程解解所以交点为所以交点为取取所求直线方程所求直线方程定义定义直线直线直线直线两直线的方向向量的夹角称之两直线的方向向量的夹角称之.（锐角）（锐角）两直线的夹角公式两直线的夹角公式三、两直线的夹角两直线的位置关系：两直线的位置关系：/直线直线直线直线例如，例如，解解设所求直线的方向向量为设所求直线的方向向量为根据题意知根据题意知取取所求直线的方程所求直线的方程解解先作一过点先作一过点M且与已知直线垂直的平面且与已知直线垂直的平面 再求已知直线与该平面的交点再求已知直线与该平面的交点N,令令代入平面方程得代入平面方程得 ,交点交点取所求直线的方向向量为取所求直线的方向向量为所求直线方程为所求直线方程为定义定义直线和它在平面上的投影直线的夹直线和它在平面上的投影直线的夹角角 称为直线与平面的夹角称为直线与平面的夹角四、直线与平面的夹角直线与平面的夹角公式直线与平面的夹角公式直线与平面的直线与平面的位置关系：位置关系：/解解为所求夹角为所求夹角概率论与数理统计概率论与数理统计随机事件的概率、条件概率、全概率公式、常用的概率随机事件的概率、条件概率、全概率公式、常用的概率分布、数学期望、方差、参数估计、假设检验分布、数学期望、方差、参数估计、假设检验一、古典概率古典概率：P(A)m：事件A包含的基本事件数或样本点个数；n：事件总数或样本点总数；古典概率有以下特点：（1）样本点总数n是有限的；（2）每个样本点出现的概率是相等的。（4）.如果事件A和B互不相容，则AB，此时（5）.对于对立事件A和 有 例1：100件产品中有5件次品，有返回的取三次，每次取一件，请问取到的次品的概率？解：设 A：三次中取到次品，则有（6）.若 ，则P(A-B)P(A)P(B)定理：如果 是 的一个剖分，且 ，则对任一事件B，有则称上式为全概率公式。这个公式称为贝叶斯公式。在某些情况下，事件B发生或不发生对事件A不产生影响，我们称这时事件A与事件B相互独立，这时有P(A)P(A|B)，因此有：例3:设甲、乙两射手独立地射击同一目标，他们击中的概率分别为0.9，0.8，求在一次射击中，目标被击中的概率？0.90.80.90.80.98 解：设A表示甲击中目标，B表示乙击中目标。则目标被击中是概率是密度函数密度函数1 1两点分布（也叫贝努里分布）。两点分布（也叫贝努里分布）。2.二项分布3.3.泊松分布泊松分布4.4.均匀分布均匀分布5.5.指数分布指数分布 定义定义：随机变量各取值和相应的出现概率的乘积之和就是该随机变量的数字特征，记为 ，它反映的是随机变量的平均值。对于离散型随机变量，它的数学期望为 对于连续型随机变量，它的数学期望为 下面看几个常见分布的数学期望：1.两点分布：2.二项分布：3.泊松分布：4.均匀分布：5.指数分布：数学期望的性质：1.若c为常数，则E(c)c。2.若a为常数，3.线性性质：若a，b为常数，则5.若4.可加性：,这个性质可以推广到无限个。定义定义：若 存在，我们称为方差，记为 ，称为标准差或均方差，它反映了随机变量和均值的偏离程度。对于离散型的随机变量：对于连续型的随机变量：常见分布的方差：1.两点分布：2.二项分布：3.泊松分布：4.均匀分布：5.指数分布：方差的性质：1.若c为常数，D(c)=0；2.,k为常数；3.，a为常数。定义：如果随机变量 的密度函数为 则称 服从参数为 ，的正态分布，记为 它的分布函数为：同样，它也满足 ，。它的图形呈钟形，对称轴为 ，越小越陡，越大越平坦。对于正态分布它的数字特征如下：称为标准正态分布，一般记为 ，称 分布函数 由于一般的正态分布比较难计算，因此在计算过程中采用对其变换，把它变到标准正态分布的形式，然后查表得出结果。变换过程就是：如果现有 要我们求，则有 另外由此也可得例1:人的体重符合参数 ，的正态分布，即 ，对任一人（1）他的体重在45,65的概率；（2）他的体重大于85公斤的概率。解：例2：若生产的零件长度 服从正态分布 如果规定零件长度在501.5之间为合格，求零件是合格品的概率P，已知 =0.8413,=0.9772 解：由题意得：例3：且 求解：例4：设 ，且概率密度 ，则正确的为（）参数估计、假设检验，置信区间等等参数估计、假设检验，置信区间等等比例占比例占40%40%，也就是，也就是6060分左右。分左右。