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一次函数的应用方案选择问题

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2020年4月19日
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一次函数的应用-方案选择问题
适用学科
初中数学
适用年级
初中二年级
适用区域
全国
课时时长（分钟）
60
知识点
根据实际问题列一次函数关系式；一次函数的应用；一次函数综合。
教学目标
1.审题时能够分析清楚题目所讲述的意思。
2.能够根据题目所表示出来的意思列出一次函数关系式。
3.在解题的过程中能将一次函数和一元一次方程或者一元一次不等式组结合起来思考。
4.感受数学学科的严谨和缜密以及在生活的实际运用。
教学重点
能在区分是一次函数与不等式结合的问题还是与一元一次方程结合的问题 。
教学难点
能够分清楚图像和题目中一些量的关系。
教学过程
一、 课堂导入
在学习一次函数之前，我们解决应用题的时候大多是列一元一次方程，如行程问题，一般是先画线段示意图，然后标上各个距离来观察它们之间的联系。
学习过一次函数后，加入了一次函数的图像，很多原本题目直接给出的信息就需要经过图像，那么应用题中的一次函数需要怎么去判断呢，今天要研究的是方案选择问题，那么在题目就会出现不等式，如何在根据题目的意思及给出的一次函数图像列出正确的不等式组，再判断出何种方案更加合适呢？今天就来学习一下。二、复习预习
利用一次函数解决实际问题
在一次函数的应用题里，有很多题目中是和图像相关的，那么在解决这类问题的时候，最为关键的就是对图像的理解
和分析了，那么在分析图像给我们带来的信息时最为关键的是什么呢？有两点，一是搞清楚解析式中的k在实际问题
中所代表的含义，比如有时代表的是速度有时代表的是排水量等等，二是要将图像上每一个转折点的实际意义分析到
位，弄清楚这两点，想必难题都能迎刃而解。
三、知识讲解
考点1 方案选择问题
方案选择问题其实是一次函数的综合问题，可能会涉及利润问题、面积问题，也可能会涉及桥梁问题、运输问题，因此解决方案选择问题就是将每个方案都当作一个单独的应用题来列式解决，那么最终的结果去判断哪个更合适。
第二种情况是将多种情况都视为一种，列出表示式后再根据题目的限制条件来得出一个取值范围，结合运用一次函数的增减性来判断取什么值时最合适。考点2 一次函数与一元一次方程
从数的角度去看，一次函数y=kx+b（k≠0），当y=0时，就变成了一元一次方程，而事实上是，不论y取什么样的值，都能够求出一个对应的x值，这就表明一次函数和一元一次方程有必然的关系，也就是说在解决一次函数的问题时一般是转化成一元一次方程的问题加以计算解决的。考点3 一次函数与一元一次不等式
由于任何的一元一次不等式都能够化作ax+b＞0或ax+b＜0，因此解一元一次不等式能够看作是但一次函数的值大于或小于零时求自变量的范围，因此一次函数和一元一次不等式也有莫大的关系，解题时要能区分出等式和不等式的区别。
四、例题精析
例1 文具店的某种毛笔每支售价25元，书法练习本每本售价5元，该文具店为促销制定了两种优惠办法．
甲：买一支毛笔就赠送一本书法练习本；
乙：按购买金额打九折付款．
实验中学欲为校书法兴趣小组购买这种毛笔10支，书法练习本x（x≥10）本．
（1）请写出用甲种优惠办法实际付款金额y甲（元）与x（本）之间的函数关系式；
（2）请写出用乙种优惠办法实际付款金额y乙（元）与x（本）之间的函数关系式；
（3）若购买同样多的书法练习本时，你会选择哪种优惠办法付款更省钱？

【答案】
  解：（1）买一支毛笔就赠送一本书法练习本，相当于一支毛笔20元，一本书法练习本5元，因此y甲=20×10+5x=200+5x
     （2）y乙=（25×10+5x）×0.9=225+4.5x
     （3）y甲-y乙=（200+5x）-（225+4.5x）=0.5x-25．
当0.5x-25＜0时，即x＜50时，y甲＜y乙，因此当x＜50时，选择甲种优惠办法更省钱；
当0.5x-25=0时，即x=50时，y甲=y乙，因此当x=50时，甲乙两种方式付费一样；
当0.5x-25＞0时，即x＞50时，y甲＞y乙，因此当x＞50时，选择乙种优惠办法更省钱．

【解析】
（1）买一支毛笔就赠送一本书法练习本，相当于一支毛笔20元，一本书法练习本5元，则解析式即可求出；
（2）y乙=（25×10+5x）×0.9；
（3）方案决策问题．根据书法练习本的数量x的大小比较函数值的大小从而选择付款方式．i

例2 A城有肥料200吨，B城有肥料300吨，现要把这些肥料全部运往C、D两乡、从A城往C、D两乡运肥料的费用分别是每吨20元和25元；从B城往C、D两乡运肥料的费用分别是每吨15元和24元，现C乡需要肥料240吨，D乡需要肥料260吨，怎样调运总运费最少？（提示：能够把调运总费用看成运往某地肥料数量的函数）．

【答案】
解：设总运费为y元，A城运往C乡的肥料量为x吨，则运往D乡的肥料量为（200﹣x）吨；B城运往C、D乡的肥料量分别为（240﹣x）吨和[260﹣（200﹣x）]=（60+x）吨．
由总运费与各运输量的关系可知，反映y与x之间的函数关系为
y=20x+25（200﹣x）+15（240﹣x）+24（60+x）
化简得y=4x+10040（0≤x≤200）
∵k=4＞0，
∴y随x的增大而增大，
∴当x=0时，y的最小值10040．
因此，从A城运往C乡0吨，运往D乡200吨；从B城运往C乡240吨，运往D乡60吨，此时总运费最少，总运费最小值是10040元．
【解析】
设总运费为y元，A城运往C乡的肥料量为x吨，则运往D乡的肥料量为（200﹣x）吨；B城运往C、D乡的肥料量分别为（240﹣x）吨和（60+x）吨，然后根据总运费和运输量的关系列出方程式，最后根据x的取值范围求出y的最小值．本题主要考查对于一次函数的应用，要找好题中的等量关系．

例3 运动会将于 12月18日在本市隆重开幕，根据大会组委会安排，某校接受了开幕式大型团体操表演任务．为此，学校需要采购一批演出服装，A、B两家制衣公司都愿成为这批服装的供应商．经了解：两家公司生产的这款演出服装的质量和单价都相同，即男装每套120元，女装每套100元．经洽谈协商：A公司给出的优惠条件是，全部服装按单价打七折，但校方需承担2200元的运费；B公司的优惠条件是男女装均按每套100元打八折，公司承担运费．另外根据大会组委会要求，参加演出的女生人数应是男生人数的2倍少100人，如果设参加演出的男生有x人．
（1）分别写出学校购买A、B两公司服装所付的总费用y1（元）和y2（元）与参演男生人数x之间的函数关系式；
（2）问：该学校购买哪家制衣公司的服装比较合算？请说明理由．

【答案】
解：（1）总费用y1（元）和y2（元）与参演男生人数x之间的函数关系式分别是：
y1=0.7[120x+100（2x﹣100）]+2200=224x﹣4800，
y2=0.8[100（3x﹣100）]=240x﹣8000；
（2）由题意，得
当y1＞y2时，即224x﹣4800＞240x﹣8000，解得：x＜200    
当y1=y2时，即224x﹣4800=240x﹣8000，解得：x=200      
当y1＜y2时，即224x﹣4800＜240x﹣8000，解得：x＞200    
即当参演男生少于200人时，购买B公司的服装比较合算；
当参演男生等于200人时，购买两家公司的服装总费用相同，可任一家公司购买；
当参演男生多于200人时，购买A公司的服装比较合算．
【解析】
（1）根据总费用=男生的人数×男生每套的价格+女生的人数×女生每套的价格就能够分别表示出y1（元）和y2（元）与男生人数x之间的函数关系式；
（2）根据条件能够知道购买服装的费用受x的变化而变化，分情况讨论，当y1＞y2时，当y1=y2时，当y1＜y2时，求出x的范围就能够求出结论．

课堂小结
能够根据题目所表示出来的意思列出一次函数关系式。
在解题的过程中能将一次函数和一元一次方程或者一元一次不等式组结合起来思考。
能在区分是一次函数与不等式结合的问题还是与一元一次方程结合的问题。