利用函数与不等式解方案设计与决策型问题.doc

利用函数与不等式解方案设计与决策型问题202020年6月23日资料内容仅供参考，如有不当或者侵权，请联系本人改正或者删除。利用函数与不等式解方案设计与决策型问题一、 从一道例题的解答看方案设计与决策型问题引例: 恩发建筑公司从上海某厂购得挖机4台, 从北京某厂购得挖机10台。现在决定运往重庆分公司8台, 其余都运往汉口分公司; 从上海运往汉口、 重庆的运费分别是300元/台、 500元/台, 从北京运往汉口、 重庆的运费分别是400元/台、 800元/台 。( 1) 若总运费为8400元, 上海运往汉口应多少台? 解:(1) 设上海运往汉口应x台, 则400(6-x)+ 300x + 800(x+4) + 500(4-x) = 8400解得:x=4因此, 若总运费为8400元, 上海运往汉口应4台。( 2) 若总运费少于8400元, 有哪几种调运方案? 解:( 2) 由题意知: 200x+76008400解得:x 4x为非负整数x=0、 1、 2或3若要求总运费不超过 8400元, 共有4种调运方案。如下表: 上海到汉口( 台) 上海到重庆( 台) 北京到汉口( 台) 北京到重庆( 台) 方案一0464方案二1355方案三2246方案四3137( 3) 求出总运费最低的调运方案, 总运费是多少? 设总运费为y元, 由题意知: y= 200x+76002000 x=0时y最小, 为7600元。调运方案如下: 北京到汉口6台, 北京到重庆4台, 上海到重庆4台.二、 方案设计与决策型问题的基本解题方法方案设计型问题是指应用数学基础知识建模的方法, 来按题目所呈现的要求进行计算, 论证, 选择, 判断, 设计的一种数学试题。纵观近年来各地的中考试题, 涉及方案设计与应用的试题大量涌现, 它在考查学生数学创新应用能力方面可谓独树一帜, 新颖别致。其类型有利用不等式( 组) 进行方案设计, 利用概率与统计进行方案设计, 利用函数知识进行方案设计, 利用几何知识进行方案设计。其中以利用函数与不等式解决的方案设计问题为最多。利用函数与不等式解决的方案设计问题的基本方法是: ( 1) 根据题意建立一次函数关系式; ( 2) 根据实际意义建立关于自变量的不等式组, 求函数自变量的取值范围; ( 3) 根据函数自变量的取值范围, 确定符合条件的设计方案; ( 4) 利用一次函数的性质求最大值或最小值, 确定最优化方案。三、 全国中考中的利用函数与不等式解决的方案设计问题类型一、 利用不等式解决的方案设计问题: 【 绵阳市中考题】李大爷一年前买入了相同数量的A、 B两种种兔, 当前, 她所养的这两种种兔数量依然相同, 且A种种兔的数量比买入时增加了20只, B种种兔比买入时的2倍少10只( 1) 求一年前李大爷共买了多少只种兔? ( 2) 李大爷当前准备卖出30只种兔, 已知卖A种种兔可获利15元只, 卖B种种兔可获利6元只如果要求卖出的A种种兔少于B种种兔, 且总共获利不低于280元, 那么她有哪几种卖兔方案? 哪种方案获利最大? 请求出最大获利解: ( 1) 设李大爷一年前买A、 B两种种兔各x只, 则由题意可列方程为 x + 20 = 2x10, 解得 x = 30 即一年前李大爷共买了60只种兔( 2) 设李大爷卖A种兔x只, 则卖B种兔30x只, 则由题意得 x30x, 15x +( 30x) 6280, 解 , 得 x15; 解 , 得x, 即 x15 x是整数, 11.11, x = 12, 13, 14即李大爷有三种卖兔方案: 方案一 卖A种种兔12只, B种种兔18只; 可获利 1215 + 186 = 288( 元) ; 方案二 卖A种种兔13只, B种种兔17只; 可获利 1315 + 176 = 297( 元) ; 方案三 卖A种种兔14只, B种种兔16只; 可获利 1415 + 166 = 306( 元) 显然, 方案三获利最大, 最大利润为306元类型二、 利用函数知识解决的方案设计问题: 【 清远市中考题】某饮料厂为了开发新产品, 用种果汁原料和种果汁原料试制新型甲、 乙两种饮料共50千克, 设甲种饮料需配制千克, 两种饮料的成本总额为元( 1) 已知甲种饮料成本每千克4元, 乙种饮料成本每千克3元, 请你写出与之间的函数关系式( 2) 若用19千克种果汁原料和17.2千克种果汁原料试制甲、 乙两种新型饮料, 下表是试验的相关数据; 每千克饮料果汁含量果汁甲乙A0.5千克0.2千克B0.3千克0.4千克请你列出关于且满足题意的不等式组, 求出它的解集, 并由此分析如何配制这两种饮料, 可使值最小, 最小值是多少? 【答案】解: ( 1) 依题意得: ( 2) 依题意得: 解不等式( 1) 得: 解不等式( 2) 得: 不等式组的解集为, 是随的增大而增大, 且当甲种饮料取28千克, 乙种饮料取22千克时, 成本总额最小, ( 元) 类型三、 利用不等式比较方案的优劣: 【 潍坊市中考题】某蔬菜加工厂承担出口蔬菜加工任务, 有一批蔬菜产品需要装入某一规格的纸箱供应这种纸箱有两种方案可供选择: 方案一: 从纸箱厂定制购买, 每个纸箱价格为4元; 方案二: 由蔬菜加工厂租赁机器自己加工制作这种纸箱, 机器租赁费按生产纸箱数收取工厂需要一次性投入机器安装等费用16000元, 每加工一个纸箱还需成本费2.4元( 1) 若需要这种规格的纸箱个, 请分别写出从纸箱厂购买纸箱的费用( 元) 和蔬菜加工厂自己加工制作纸箱的费用( 元) 关于( 个) 的函数关系式; ( 2) 假设你是决策者, 你认为应该选择哪种方案? 并说明理由【答案】解: ( 1) 从纸箱厂定制购买纸箱费用: 蔬菜加工厂自己加工纸箱费用: ( 2) 当时, 2.4x+160004x, 解得: , 当时, 2.4x+160004x, 解得: , 当时, 2.4x+160004x, 解得: , 因此, 当时, 选择方案一, 从纸箱厂定制购买纸箱所需的费用低; 当时, 两种方案都能够, 两种方案所需的费用相同; 当时, 选择方案二, 蔬菜加工厂自己加工纸箱所需的费用低 四、 基本训练1( 威海) 响应”家电下乡”的惠农政策, 某商场决定从厂家购进甲、 乙、 丙三种不同型号的电冰箱80台, 其中甲种电冰箱的台数是乙种电冰箱台数的2倍, 购买三种电冰箱的总金额不超过132 000元已知甲、 乙、 丙三种电冰箱的出厂价格分别为: 1 200元/台、 1 600元/台、 2 000元/台(1)至少购进乙种电冰箱多少台? (2)若要求甲种电冰箱的台数不超过丙种电冰箱的台数, 则有哪些购买方案? 2( 益阳市) 开学初, 小芳和小亮去学校商店购买学习用品, 小芳用18元钱买了1支钢笔和3本笔记本; 小亮用31元买了同样的钢笔2支和笔记本5本. (1)求每支钢笔和每本笔记本的价格; (2)校运会后, 班主任拿出200元学校奖励基金交给班长, 购买上述价格的钢笔和笔记本共48件作为奖品, 奖给校运会中表现突出的同学, 要求笔记本数不少于钢笔数, 共有多少种购买方案? 请你一一写出.3( 内江市)我市部分地区近年出来持续干旱现象, 为确保生产生活用水, 某村决定由村里提供一点, 村民捐一点的办法筹集资金维护和新建一批储水池。该村共有243户村民, 准备维护和新建的储水池共有20个, 费用和可供使用的户数及用地情况如下表: 储水池费用( 万元/个) 可供使用的户数( 户/个) 占地面积( /个) 新建454维护3186已知可支配使用土地面积为106, 若新建储水池X个, 新建和维护的总费用为y万元。( 1) 求y与x 之间的函数关系; ( 2) 满足要求的方案各有几种; ( 3) 若平均每户捐 元时, 村里出资最多和最少分别是多少? 4( 仙桃) 宏志中学九年级300名同学毕业前夕给灾区90名同学捐赠了一批学习用品(书包和文具盒), 由于零花钱有限, 每6人合买一个书包, 每2人合买一个文具盒(每个同学都只参加一件学习用品的购买), 书包和文具盒的单价分别是54元和12元(1)若有x名同学参加购买书包, 试求出购买学习用品的总件数y与x之间的函数关系式(不要求写出自变量的取值范围); (2)若捐赠学习用品总金额超过了2300元, 且灾区90名同学每人至少得到了一件学习用品, 请问同学们如何安排购买书包和文具盒的人数? 此时选择其中哪种方案, 使购买学习用品的总件数最多? 5( 襄樊市) 为实现区域教育均衡发展, 我市计划对某县、 两类薄弱学校全部进行改造根据预算, 共需资金1575万元改造一所类学校和两所类学校共需资金230万元; 改造两所类学校和一所类学校共需资金205万元 ( 1) 改造一所类学校和一所类学校所需的资金分别是多少万元? ( 2) 若该县的类学校不超过5所, 则类学校至少有多少所? ( 3) 我市计划今年对该县、 两类学校共6所进行改造, 改造资金由国家财政和地方财政共同承担若今年国家财政拨付的改造资金不超过400万元; 地方财政投入的改造资金不少于70万元, 其中地方财政投入到、 两类学校的改造资金分别为每所10万元和15万元请你经过计算求出有几种改造方案? 型 号C进价(元套)405550售价(元套)5080656 ( 眉山市) ”六一”前夕, 某玩具经销商用去2350元购进A、 B、 C三种新型的电动玩具共50套, 而且购进的三种玩具都不少于10套, 设购进A种玩具套, B种玩具套, 三种电动玩具的进价和售价如右表所示, 用含、 的代数式表示购进C种玩具的套数; 求与之间的函数关系式; 假设所购进的这三种玩具能全部卖出, 且在购销这种玩具的过程中需要另外支出各种费用200元。求出利润P(元)与(套)之间的函数关系式; 求出利润的最大值, 并写出此时三种玩具各多少套。7( 十堰市) 为执行中央”节能减排, 美化环境, 建设美丽新农村”的国策, 我市某村计划建造A、 B两种型号的沼气池共20个, 以解决该村所有农户的燃料问题两种型号沼气池的占地面积、 使用农户数及造价见下表: 型号占地面积(单位:m2/个 )使用农户数(单位:户/个)造价(单位: 万元/个)A15182B20303已知可供建造沼气池的占地面积不超过365m2, 该村农户共有492户(1)满足条件的方案共有几种?写出解答过程(2)经过计算判断, 哪种建造方案最省钱8( 哈尔滨) 跃壮五金商店准备从宁云机械厂购进甲、 乙两种零件进行销售若每个甲种零件的进价比每个乙种零件的进价少2元, 且用80元购进甲种零件的数量与用100元购进乙种零件的数量相同 ( 1) 求每个甲种零件、 每个乙种零件的进价分别为多少元? ( 2) 若该五金商店本次购进甲种零件的数量比购进乙种零件的数量的3倍还少5个, 购进两种零件的总数量不超过95个, 该五金商店每个甲种零件的销售价格为12元, 每个乙种零件的销售价格为15元, 则将本次购进的甲、 乙两种零件全部售出后, 可使销售两种零件的总利润( 利润售价进价) 超过371元, 经过计算求出跃壮五金商店本次从宁云机械厂购进甲、 乙两种零件有几种方案? 请你设计出来9( 齐齐哈尔市) 某电脑公司经销甲种型号电脑, 受经济危机影响, 电脑价格不断下降今年三月份的电脑售价比去年同期每台降价1000元, 如果卖出相同数量的电脑, 去年销售额为10万元, 今年销售额只有8万元( 1) 今年三月份甲种电脑每台售价多少元? ( 2) 为了增加收入, 电脑公司决定再经销乙种型号电脑, 已知甲种电脑每台进价为3500元, 乙种电脑每台进价为3000元, 公司预计用不多于5万元且不少于4.8万元的资金购进这两种电脑共15台, 有几种进货方案? ( 3) 如果乙种电脑每台售价为3800元, 为打开乙种电脑的销路, 公司决定每售出一台乙种电脑, 返还顾客现金元, 要使( 2) 中所有方案获利相同, 值应是多少? 此时, 哪种方案对公司更有利? 10( 鄂州)某土产公司组织20辆汽车装运甲、 乙、 丙三种土特产共120吨去外地销售。按计划20辆车都要装运, 每辆汽车只能装运同一种土特产, 且必须装满, 根据下表提供的信息, 土特产种类甲乙丙每辆汽车运载量( 吨) 865每吨土特产获利( 百元) 121610解答以下问题(1)设装运甲种土特产的车辆数为x, 装运乙种土特产的车辆数为y, 求y与x之间的函数关系式(2)如果装运每种土特产的车辆都不少于3辆, 那么车辆的安排方案有几种?并写出每种安排方案。(3)若要使此次销售获利最大, 应采用(2)中哪种安排方案?并求出最大利润的值。【答案】1( 威海市) 威海解: ( 1) 设购买乙种电冰箱台, 则购买甲种电冰箱台, 丙种电冰箱台, 根据题意, 列不等式: 解这个不等式, 得至少购进乙种电冰箱14台( 2) 根据题意, 得解这个不等式, 得由( 1) 知又为正整数, 因此, 有三种购买方案: 方案一: 甲种电冰箱为28台, 乙种电冰箱为14台, 丙种电冰箱为38台; 方案二: 甲种电冰箱为30台, 乙种电冰箱为15台, 丙种电冰箱为35台; 方案三: 甲种电冰箱为32台, 乙种电冰箱为16台, 丙种电冰箱为32台2( 益阳市) 解: (1)设每支钢笔x元, 每本笔记本y元依题意得: , 解得: 答: 每支钢笔3元, 每本笔记本5元 (2)设买a支钢笔, 则买笔记本(48a)本依题意得: , 解得: 因此, 一共有种方案即购买钢笔、 笔记本的数量分别为: 20, 28; 21, 27; 22, 26; 23, 25; 24, 243( 内江市)解: ( 1) 由题意得y=4x+3(20-x), 即y=x+60( 2) 由题意得5x+18(20-x)243,4x+6(20-x)106, 即x9, x7, 7x9故满足要求的方案有三种: 新建7个维修13个; 新建8个维修12个, 新建9个维护11个( 3) 由y=x+60知y随x的增大而增大当x=7时, y最小=67( 万) , 当x=9时, y最大=69( 万) 而居民捐款共2430.2=48.6( 万) 村里出资最多为20.4万, 最少为18.4万4( 仙桃) 解: ( 1) 设有名同学参加购买书包, 则有名同学购买文具盒, 因此可购买书包个, 购买文具盒个.因此购买学习用品的总件数与的关系式为: , 即.( 2) 设有名同学参加购买书包, 根据题意得解这个不等式组, 得.又因为6人合买一个书包, 故购书包的人数应为6的倍数, 因此购买书包的人数应为: 168, 或174, 或180相应购买文具盒的人数为: 132, 或126, 或120.总件数与的关系式为: , 随的增大而减小当时, 总件数最多.5( 襄樊市) 解: ( 1) 设改造一所类学校和一所类学校所需的改造资金分别为万元和万元依题意得: , 解之得答: 改造一所类学校和一所类学校所需的改造资金分别为60万元和85万元( 2) 设该县有、 两类学校分别为所和所则类学校不超过5所 , , 即: 类学校至少有15所( 3) 设今年改造类学校所, 则改造类学校为所, 依题意得: , 解之得, 取整数, 即: 共有4种方案6( 眉山) 解: ( 1) 购进C种玩具套数为: 50xy( 或47xy) ( 2) 由题意得 整理得( 3) 利润销售收入进价其它费用又整理得购进C种电动玩具的套数为: 据题意列不等式组, 解得 x的范围为, 且x为整数 的最大值是23在中, 0 P随x的增大而增大当x取最大值23时, P有最大值, 最大值为595元此时购进A、 B、 C种玩具分别为23套、 16套、 11套7( 十堰市) 解: (1) 设建造A型沼气池 x 个, 则建造B 型沼气池(20x )个依题意得: 解得: 7 x 9 x为整数 x = 7, 8 , 9 , 满足条件的方案有三种(2)设建造A型沼气池 x 个时, 总费用为y万元, 则: y = 2x + 3( 20x) = x+ 60 1 0, y 随x 增大而减小, 当x=9 时, y的值最小, 此时y= 51( 万元 ) 此时方案为: 建造A型沼气池9个, 建造B型沼气池11个 8( 哈尔滨) 解: ( 1) 可列分式方程求解, 但要注意检验, 否则扣分; ( 2) 依据题意列出不等式组, 注意不等号中是否有等于, 根据未知数都为整数, 再结合不等式组的解集, 确定未知数的具体数值, 有几个值, 即有几种方案.解: ( 1) 设每个乙种零件进价为元, 则每个甲种零件进价为元由题意得, 解得检验: 当时, , 是原分式方程的解( 元) 答: 每个甲种零件的进价为8元, 每个乙种零件的进价为10元( 2) 设购进乙种零件个, 则购进甲种零件个由题意得解得为整数, 或共有2种方案分别是: 方案一: 购进甲种零件67个, 乙种零件24个; 方案二: 购进甲种零件70个, 乙种零件25个9( 齐齐哈尔市) 解: ( 1) 设今年三月份甲种电脑每台售价元, 解得: 经检验: 是原方程的根, 因此甲种电脑今年每台售价4000元( 2) 设购进甲种电脑台, 解得, 因为的正整数解为6, 7, 8, 9, 10, 因此共有5种进货方案( 3) 设总获利为元, 当时, ( 2) 中所有方案获利相同此时, 购买甲种电脑6台, 乙种电脑9台时对公司更有利10.( 鄂州)解: ( 1) 8x+6y+5(20xy)=120y=203x y与x之间的函数关系式为y=203x ( 2) 由x3, y=203x3, 20x(203x)3可得又x为正整数 x=3, 4, 5 故车辆的安排有三种方案, 即: 方案一: 甲种3辆 乙种11辆 丙种6辆方案二: 甲种4辆 乙种8辆 丙种8辆方案三: 甲种5辆 乙种5辆 丙种10辆( 3) 设此次销售利润为W元, W=8x12+6(203x)16+520x(203x)10=92x+1920W随x的增大而减小 又x=3, 4, 5 当x=3时, W最大=1644( 百元) =16.44万元答: 要使此次销售获利最大, 应采用( 2) 中方案一, 即甲种3辆, 乙种11辆, 丙种6辆, 最大利润为16.44万元。