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专题1-函数的性质及应用

函数的性质及应用（教师版）
★★★高考在考什么
【考题回放】
1．设（C ）
A.0 　B.1 C.2 D.3
2.函数y=f(x)的图象与y=2的图象关于y轴对称，若y=f-1(x)是y=f(x)的反函数，则y=f-1(x2-2x)的单调增区间是（ D ）
A.[1，+∞] B.（2，+∞） C.（-∞，1 ） D.（-∞，0）
3.在下列四个函数中，满足性质：“对于区间(1,2)上的任意x1,x2(x1¹x2)， |f(x1)-f(x2)|<|x2-x1|恒成立”的只有(A )
A. B. C. D.
4.已知函数，若f(x)为奇函数，则________。
5.对a,bR,记max|a,b|=函数f（x）＝max||x+1|,|x-2||(xR)的最小值是___.
6.对定义域是Df、Dg的函数y=f(x)、y=g(x)，规定：函数
。
（1）若函数，g(x)=x2，写出函数h(x)的解析式；
（2）求问题（1）中函数h(x)的值域；
（3）若g(x)= f(x+a)，其中a是常数，且aÎ[0,p]，请设计一个定义域为R的函数y=f(x)，及一个a的值，使得h(x)=cos4x，并予以证明。
【专家解答】：
(1)
(2) 当x≠1时, h(x)= =x-1++2,
若x>1时, 则h(x)≥4,其中等号当x=2时成立
若x<1时, 则h(x)≤ 0,其中等号当x=0时成立
∴函数h(x)的值域是(-∞,0]∪{1}∪[4,+∞)
(3)令 f(x)=sin2x+cos2x,α=
则g(x)=f(x+α)= sin2(x+)+cos2(x+)=cos2x-sin2x,
于是h(x)= f(x)·f(x+α)= (sin2x+co2sx)( cos2x-sin2x)=cos4x.
另解令f(x)=1+sin2x, α=,
g(x)=f(x+α)= 1+sin2(x+π)=1-sin2x,
于是h(x)= f(x)·f(x+α)= (1+sin2x)( 1-sin2x)=cos4x.
★★★高考要考什么
【考点透视】
1.了解映射的概念，理解函数的概念。
2.了解函数单调性、奇偶性的概念，掌握判断一些简单函数的单调性、奇偶性的方法。3.了解反函数的概念及互为反函数的函数图像间的关系，会求一些简单函数的反函数。4.理解分数指数幂的概念，掌握有理指数幂的运算性质.掌握指数函数的概念、图像和性质。
5.理解对数的概念，掌握对数的运算性质；掌握对数函数的概念、图像和性质。
6.能够运用函数的性质，特别是指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题。
【热点透析】
1. 直接通过具体函数考查某些性质
2. 以导数为工具围绕函数、不等式、方程综合考查
3. 函数与解析几何、数列等内容结合在一起，以曲线方程的变换、参数范围的探求及最值问题等综合性强的新颖试题。
★★★高考将考什么
【范例1】已知函数的最大值是，最小值是，求的值。
解：
=， ∵，且
∴当即时，
∴ ∴，又最大值是，，
∴ 即 ， ∴ ∴
【点晴】（1）注意挖掘隐含条件“”；（2）掌握复合函数最值问题的求解方法。
【文】函数y=a2x+2ax-1(a>0,a≠1)在区间[-1,1]上的最大值为14，求a的值。
解：令u=ax,y=(u+1)2-2.因为-1≤x≤1
当a>1时
当0<a<1时，
综上得，
【范例2】
设函数，且在闭区间[0，7]上，只有
（1）试判断函数的奇偶性；
（2）试求方程在闭区间[－2005，2005]上的根的个数，并证明你的结论.
解:（1）由已知得f(-1)=f(2-3)=f(2+3)=f(5)¹0，故f(-1)¹±f(1),
从而知函数y= f(x) 非奇非偶函数不是奇函数；
(2)由
Þ f(x)= f(x+10),从而知函数y= f(x)的周期为T=10
由f(7-x)=f(7+x)得，f(x)的图象关于x=7对称，且在闭区间[0，7]上，只有f(1)=f(3)=0.
∴在［0，10］上，只有f(1)=f(3)=0，
∴10是f(x)的最小正周期，
∵在［0，10］上，只有f(1)=f(3)=0，
∴在每一个最小正周期内f(x)=0只有两个根，
∴在闭区间[-2005,2005]上的根的个数是802．
【点晴】本题关键是通过抽象函数的对称性研究其周期性
【文】
已知奇函数满足的值为 。
解：
【范例3】设a为实数，函数
（1）讨论f(x)的奇偶性；
（2）求f(x)的最小值.
解：（1）当为偶函数.

当
.
此时函数f(x)既不是奇函数，也不是偶函数.
（2）（i）当
若上单调递减，从而，函数上的最小值为
若，则函数上的最小值为
（ii）当时，函数
若

若
综上，当
当
当，。
【点晴】要重视分类讨论的思想和逻辑思维能力的培养。
【文】已知定义域为的函数是奇函数。
（1）求的值；
（2）若对任意的，不等式恒成立，
求的取值范围；
解：（1）因为f(x)是奇函数，所以f(x)=0，即
又由f（1）= -f（-1）知
（2）解法一：由（Ⅰ）知，易知f(x)在上为减函数。又因f(x)是奇函数，从而不等式：
等价于，因f(x)为减函数，由上式推得：
．即对一切有：，
从而判别式
　　　　　解法二：由（Ⅰ）知．又由题设条件得：
　　　　　　　　　，
　　　　　　　　　即　：，
　　　　　　　　　整理得　
上式对一切均成立，从而判别式
【范例4】已知f(x)=(x∈R)在区间[－1，1]上是增函数.
（1）求实数a的值组成的集合A；
（2）设关于x的方程f(x)=的两个非零实根为x1、x2.试问：是否存在实数m，使得不等式m2+tm+1≥|x1－x2|对任意a∈A及t∈[－1，1]恒成立？若存在，求m的取值范围；若不存在，请说明理由.
解：（1）f＇(x)== ，
∵f(x)在[－1，1]上是增函数，
∴f＇(x)≥0对x∈[－1，1]恒成立，
即x2－ax－2≤0对x∈[－1，1]恒成立. ①
设j (x)=x2－ax－2，
①
－1≤a≤1，
∵对x∈[－1，1]，f(x)是连续函数，且只有当a=1时，f＇(-1)=0以及当a=－1时，f＇(1)=0
∴A={a|－1≤a≤1}.

（2）由=，得x2－ax－2=0， ∵△=a2+8>0
∴x1，x2是方程x2－ax－2=0的两非零实根，
x1+x2=a，
∴ 从而|x1－x2|==.
x1x2=－2，
∵－1≤a≤1，∴|x1-x2|=≤3.
要使不等式m2+tm+1≥|x1－x2|对任意a∈A及t∈[－1，1]恒成立，
当且仅当m2+tm+1≥3对任意t∈[－1，1]恒成立，
即m2+tm－2≥0对任意t∈[－1，1]恒成立. ②
设g(t)=m2+tm－2=mt+(m2－2)，
方法一：
g(－1)=m2－m－2≥0，
②
g(1)=m2+m－2≥0，
m≥2或m≤－2.
所以，存在实数m，使不等式m2+tm+1≥|x1－x2|对任意a∈A及t∈[－1，1]恒成立，其取值范围是{m|m≥2，或m≤－2}.
方法二：
当m=0时，②显然不成立；
当m≠0时，
m>0， m<0，
② 或
g(－1)=m2－m－2≥0 g(1)=m2+m－2≥0
m≥2或m≤－2.
所以，存在实数m，使不等式m2+tm+1≥|x1－x2|对任意a∈A及t∈[-1，1]恒成立，其取值范围是{m|m≥2，或m≤－2}.
【点晴】利用导数研究函数的单调性和最值.在解决函数综合问题时要灵活运用数学思想和方法化归为基本问题来解决.
【文】设函数定义在R上，对于任意实数，总有，且当时，
（1）证明：，且时
（2）证明：函数在R上单调递减
（3）设，若，确定的取值范围。
（1）解：令，则，对于任意实数恒成立，
设，则，由得，
当时， 当时, ,
（2）证法一：设，则，

,函数为减函数
证法二：设，则
=
,
故 ,函数为减函数
（3）解：∵， ∴
若，则圆心到直线的距离应满足，解之得，

【自我提升】
1．函数的图象大致是 （ D ）

2．下列函数既是奇函数，又在区间上单调递减的是（D ）
A. B. C. D.
3. 定义在R上的偶函数f(x)满足f(x)=f(x+2)，当x∈[3，5]时，f(x)=2－|x－4|，则（ D ）
A．f(sin)<f(cos) B．f(sin1)>f(cos1)
C．f(cos)<f(sin) D．f(cos2)>f(sin2)设，函数
4．设函数 区间[a,b](a<b),集合，则使M=N成立的实数对（a,b）有（ A）
A．0个 B.1个 C.2个 D.无穷多个
5.设函数，为的反函数，又函数与函数的图象关于直线对称，则 .
6. 对于函数f(x)定义域中任意的x1，x2（x1≠x2），有如下结论：
①f(x1＋x2)=f(x1)·f(x2)；② f(x1·x2)=f(x1)+f(x2)③>0；
④.当f(x)=lgx时，上述结论中正确结论的序号是 ②③ .
7.. 已知函数f(x)和g(x)的图象关于原点对称，且f(x)＝x2＋2x．
(1)求函数g(x)的解析式；
(2)解不等式g(x)≥f(x)－|x－1|；
(3)若h(x)＝g(x)－f(x)＋1在[－1，1]上是增函数，求实数的取值范围．
解：（1）设函数的图象上任一点关于原点的对称点为,
则 即 .
∵点在函数的图象上.
即 故g(x)＝.
(2)由可得：
当1时，
此时不等式无解。
当时，

因此，原不等式的解集为[-1, ].
(3)
① 当时，＝在[-1,1]上是增函数，

②当时，对称轴的方程为
(i) 当时，，解得。
(ii)　当时，1时，解得
综上,
8. 对于函数f(x)，若存在，使f(x0)= x0成立，则称x0为f(x)的不动点，已知函数
f(x)=ax2+(b+1)x+(b-1)
（1）当a=1，b=-2时，求函数f(x)的不动点；
（2）若对任意实数b，函数f(x)恒有两个相异的不动点，求a的取值范围；
（3）在（2）的条件下，若y=f(x)图象上A、B两点的横坐标是函数y=f(x)的不动点，且A、B两点关于直线对称，求b的最小值。
解：（1）当a=1，b=-2时，f(x)= x2-x-3
由题意可知x= x2-x-3，得x1=-1,x2=3
故当a=1，b=-2时，f(x)的两个不动点为-1,3
（2）因为f(x)=ax2+(b+1)x+(b-1) 恒有两个不动点，
所以x=ax2+(b+1)x+(b-1)，
即ax2+bx+(b-1)=0恒有两个相异的实数根，得
恒成立
于是，解得0<a<1
故当，f(x)恒有两个相异的不动点时，a的取值范围为0<a<1
（3）由题意，A、B两点应在直线y=x上，
设A(x1,y1)、B(x2,y2)
因为点A、B关于直线对称，
所以k=-1，
设AB的中点为M(x’,y’)
因为x1, x2是方程ax2+(b+1)x+(b-1)=0的两个根
所以，
于是，由M在直线上，得
即
因为a>0，所以
当且仅当，即时取得等号
故，得b的最小值为。