.arch6.3.2二项式系数的性质(学生版)公开课教案教学设计课件案例试卷题

6.3.2二项式系数的性质
导学案
【学习目标】
1.了解杨辉三角，会用杨辉三角求二项式乘方次数不大时的各项的二项式系数
2.理解二项式系数的性质并灵活运用
【课前自学】
知识点一 杨辉三角的特点
(1)在同一行中，每行两端都是1，与这两个1等距离的项的系数 .
(2)在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的 ，
即C＝ ＋ .

知识点二 二项式系数的性质

性质
内容
对称性
C＝C，即二项展开式中，与首末两端“ ”
的两个 相等.
增减性
与最大值
如果二项式的幂指数n是偶数，那么展开式中间一项的二项式系数最大.
如果n为奇数，那么其展开式中间两项与的二项式系数相等且同时取得最大值.
二项式
系数的和
二项展开式中各二项式系数的和等于 ，
即C＋C＋C＋…＋C＝ .
奇数项的二项式系数之和等于偶数项的二项式系数之和，
都等于2n－1，即C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝ .
【课中探究】
探究一 与杨辉三角有关的问题
【例1】如图所示，在“杨辉三角”中，从1开始箭头所指的数组成一个锯齿形数列：1,2,3,3,6,4,10,5，…，记其前n项和为Sn，求S16的值.

归纳总结：
【练习1】(1)如图数表满足：①第n行首尾两数均为n；②图中的递推关系类似杨辉三角，则第n(n≥2)行的第2个数是________.
1
2　2
3　4　3
4　7　7　4
5　11　14　11　5
…　　…　　…

(2)将杨辉三角中的奇数换成1，偶数换成0，得到如图所示的三角数表.从上往下数，第1次全行的数都为1的是第1行，第2次全行的数都为1的是第3行，…，第n次全行的数都为1的是第________行；第61行中1的个数是________.

探究二 求展开式的系数和
【例2】已知(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7，求：

(1)a1＋a2＋…＋a7；

(2)a1＋a3＋a5＋a7；

(3)|a0|＋|a1|＋…＋|a7|.

归纳总结：

【练习2】在二项式(2x－3y)9的展开式中，求：
(1)二项式系数之和.

(2)各项系数之和.

(3)所有奇数项系数之和.

探究三 二项式系数性质的应用
【例3】已知f(x)＝展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大992.
(1)求展开式中二项式系数最大的项；

(2)求展开式中系数最大的项.

归纳总结：

【练习3】已知的展开式中，只有第6项的二项式系数最大．
(1)求该展开式中所有有理项的个数；

(2)求该展开式中系数最大的项．

课后作业
A组 基础题
一、选择题
1．在(a＋b)n的二项展开式中，与第k项二项式系数相同的项是(　　)
A．第n－k项　　　　　　 B．第n－k－1项
C．第n－k＋1项 D．第n－k＋2项

2．设二项式的展开式中第5项是常数项，那么这个展开式中系数最大的项是(　　)
A．第9项 B．第8项
C．第9项和第10项 D．第8项和第9项

3．(x－y)7的展开式中，系数的绝对值最大的项是(　　)
A．第4项 B．第4、5项
C．第5项 D．第3、4项

4.若(1＋)5＝a＋b(a，b为有理数)，则a＋b等于(　　)
A.45 B.55 C.70 D.80

5．设(x2＋1)(2x＋1)9＝a0＋a1(x＋2)＋a2(x＋2)2＋…＋a11(x＋2)11，则a0＋a1＋a2＋…＋a11的值为(　　)
A．－2 B．－1
C．1 D．2

6.在(x＋y)n的展开式中，第4项与第8项的系数相等，则展开式中系数最大的项是(　　)
A.第6项 B.第5项
C.第5、6项 D.第6、7项

7.设的展开式的各项系数和为M，二项式系数和为N，若M－N＝240，则展开式中x的系数为(　　)
A.－150 B.150 C.300 D.－300

二、填空题
8．若(x＋3y)n的展开式中各项系数的和等于(7a＋b)10的展开式中二项式系数的和，则n的值为________．

9．在(1＋x)＋(1＋x)2＋…＋(1＋x)6的展开式中，x2的系数为________．

10．设(3x－2)6＝a0＋a1(2x－1)＋a2(2x－1)2＋…＋a6(2x－1)6，则＝________.

11．若x4(x＋3)8＝a0＋a1(x＋2)＋a2(x＋2)2＋…＋a12(x＋2)12，则log2(a1＋a3＋…＋a11)的值为 ．

12.已知(x＋1)10＝a1＋a2x＋a3x2＋…＋a11x10，若数列a1，a2，a3，…，ak(1≤k≤11，k∈Z)是一个单调递增数列，则k的最大值是________.

13.在的展开式中，所有奇数项系数之和为1 024，则中间项系数是________.

三、解答题
14.已知展开式的二项式系数之和为256.
(1)求n；
(2)若展开式中常数项为，求m的值；
(3)若(x＋m)n展开式中系数最大项只有第6项和第7项，求m的取值情况.

15.在二项式(2x－3y)9的展开式中，求：
(1)二项式系数之和；
(2)各项系数之和；
(3)所有奇数项系数之和；
(4)系数绝对值的和.

16．杨辉三角是杨辉的一项重要研究成果，它的许多性质与组合数的性质有关，杨辉三角中蕴藏了许多优美的规律，如图是一个11阶杨辉三角：

(1)求第20行中从左到右的第4个数；
(2)求n阶(包括0阶)杨辉三角的所有数的和；
(3)在第2斜列中，前5个数依次为1,3,6,10,15；第3斜列中，第5个数为35.显然，1＋3＋6＋10＋15＝35.事实上，一般地有这样的结论：第m－1斜列中(从右上到左下)前k个数之和，一定等于第m斜列中第k个数．
试用含有m，k(m，k∈N*)的数字公式表示上述结论，并给予证明．

B组 能力提升
一、选择题
1.已知(2x－1)n二项展开式中，奇次项系数的和比偶次项系数的和小38，则C＋C＋C＋…＋C的值为(　　)
A.28 B.28－1
C.27 D.27－1

2.若(1－2x)2 017＝a0＋a1x＋…＋a2 017x2 017(x∈R)，则＋＋…＋的值为(　　)
A.2 B.0 C.－2 D.－1

3．设m为正整数，(x＋y)2m展开式的二项式系数的最大值为a，(x＋y)2m＋1展开式的二项式系数的最大值为b.若13a＝7b，则m等于(　　)
A．5 B．6
C．7 D．8

二、填空题
4．若展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为________．

5．已知(3x－1)7＝a7x7＋a6x6＋…＋a1x＋a0，则a0＋a2＋a4＋a6＝________.

6.如图，在由二项式系数所构成的杨辉三角中，第________行中从左到右第14与第15个数的比为2∶3.

第0行
第1行
第2行
第3行
第4行
第5行
1
1　1
1　2　1
1　3　3　1
1　4　6　4　1
1　5　10　10　5　1

三、解答题
7．已知的展开式中偶数项的二项式系数和比(a＋b)2n的展开式中奇数项的二项式系数和小120，求第一个展开式中的第3项．

8.已知的展开式的系数和比的展开式的系数和大992，求的展开式中：
(1)二项式系数最大的项；
(2)系数的绝对值最大的项.

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