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专题二 运动图像与追及相遇问题
课题任务 速度图像与位移图像
在物理学中，图像法是一种十分重要的思想方法，既可以用图像来描述物理问题，也可以用图像来解决物理问题，而且用图像法分析和解决物理问题往往比用解析法更简洁直观。图像法中常用到的就是平面直角坐标系，解决任何图像问题首先必须要注意横轴和纵轴所代表的物理意义。运动学中，位移—时间图像(xt图像)和速度—时间图像(vt图像)是两种最典型的图像。这两种图像里包含了大量的信息，考试时可能会从各个方面考查，下面我们进行具体全面的描述。
xt图像、vt图像的比较
例1 物体a、b从同一位置沿同一直线运动的vt图像如图所示，下列说法正确的是( )
A．t＝2 s时，a、b的速度方向均发生改变
B．t＝4 s时，a、b相距20 m
C．前4 s，a、b均做匀变速直线运动
D．前4 s，a与b的加速度始终相同
[规范解答] 由图像可知，前4 s，a的速度都为正方向，b的速度都为负方向，所以t＝2 s时，a、b的速度方向均没有发生改变，A错误；图线与时间轴围成的面积表示位移，则t＝4 s时，a、b相距Δx＝×4×5 m－ m＝20 m，B正确；图像的斜率表示加速度，由图像可知，前4 s，a、b的加速度方向都发生了变化，不是匀变速直线运动，C错误；图像的斜率表示加速度，由图像可知，前4 s，a与b的加速度方向始终相反，D错误。
[完美答案] B
(1)解决常规运动的图像问题时要根据物理情景中遵循的规律，由图像提取信息和有关数据，根据对应的规律公式对问题做出正确的解答。以速度图像为例，具体分析过程如下：
(2)解答非常规运动图像问题的“三个”步骤：一审、二列、三判：
如图所示，xt图像反映了甲、乙两车在同一条直道上行驶的位移随时间变化的关系，已知乙车做匀变速直线运动，其图线与t轴相切于10 s处，则( )
A．甲车的加速度大小为4.0 m/s2
B．乙车的加速度大小为1.6 m/s2
C．5 s时两车速度相等
D．乙车的初位置在x0＝75 m处
答案 B
解析 位移—时间图像的斜率等于速度，可知甲车做匀速运动，加速度为零，A错误；乙车做匀变速直线运动，其图线与t轴相切于10 s处，则t＝10 s时，速度为零，将其0～10 s的运动逆向看成初速度为0的匀加速直线运动，则s＝at2，根据图像有：x0＝a·(10 s)2,20 m＝a·(5 s)2，解得a＝1.6 m/s2，x0＝80 m，B正确，D错误；5 s时，v甲＝ m/s＝4 m/s，v乙＝at＝8 m/s，C错误。
一汽车从静止开始做匀加速直线运动，然后刹车做匀减速直线运动，直到停止。下列速度的平方v2和位移x的关系图像中，能描述该过程的是( )
答案 B
解析 汽车做初速度为零的匀加速直线运动时，由v2＝2ax可知，v2与x成正比，即这段时间内的v2和位移x的关系图像为过原点的一条倾斜直线，设匀加速直线运动的末速度为v1，位移为x1，则在做匀减速直线运动过程中，v2－v＝2a′(x－x1)，B正确，A、C、D错误。
课题任务 追及相遇问题
1．什么是追及相遇问题？
当两个物体在同一直线上运动时，由于两物体的运动情况不同，所以两物体之间的距离会不断发生变化，两物体间距离越来越大或越来越小，这时就会涉及追及、相遇或避免碰撞等问题。需要注意只要后面物体的速度有可能大于前面物体的速度都可以谈追及问题。
2．追及相遇问题情况概述
(1)追及问题
①若后者能追上前者，则追上时，两者处于同一位置，后者的速度一定不小于前者的速度。
②若后者追不上前者，则当后者的速度与前者相等时，两者相距最近。
(2)相遇问题
①同向运动的两物体的追及即相遇。
②相向运动的两物体，当各自发生的位移大小之和等于开始时两物体的距离时即相遇。
3．常见的三种追及相遇情况
(1)匀加速直线运动的物体追匀速直线运动的物体。
肯定能追上，且只能相遇一次。两者在追上前相距最远的条件是v加＝v匀。
(2)匀减速直线运动的物体追匀速直线运动的物体。
①若当v减＝v匀时，两者仍没到达同一位置，则不能追上，且此时有最小距离。
②若当v减＝v匀时，两者正在同一位置，则恰能追上，这种情况也是避免两者相撞的临界条件。
③若当两者到达同一位置时v减>v匀，则有两次相遇的机会。
(3)匀速直线运动的物体追匀加速直线运动的物体。
①若当v加＝v匀时，两者仍没到达同一位置，则不能追上，且此时有最小距离。
②若当v加＝v匀时，两者恰好到达同一位置，则只能相遇一次。
③若当两者到达同一位置时v加<v匀，则有两次相遇的机会。
4．解题思路
(1)根据对两物体运动过程的分析，画出两物体运动的示意图或vt图像，找到临界状态和临界条件。
(2)根据两物体的运动性质，分别列出两物体的位移方程，注意要将两物体运动时间的关系反映在方程中。
(3)由运动示意图找出两物体位移间的关联方程，这是解题关键。
(4)联立方程求解，并对结果进行简单分析。
5．追及问题中的“一个条件”“两个关系”
(1)一个条件：两物体速度相等时满足的临界条件，如两物体的距离是最大还是最小，以及是否恰好追上等。
(2)两个关系：时间关系和位移关系。
时间关系指两物体运动时间是否相等，两物体是同时运动还是一先一后运动；位移关系指两物体是同地开始运动还是一前一后开始运动，其中通过画运动示意图找到两物体间的位移关系是解题的突破口，因此在学习中一定要养成画运动示意图分析问题的良好习惯，运动示意图对帮助我们理解题意、启迪思维大有好处。
判断同向运动两物体是否相撞与判断同向运动两
物体能否追及相遇的方法相同。
例2 一辆汽车在十字路口等候红绿灯，当绿灯亮时汽车以a＝3 m/s2的加速度开始行驶，恰在这一时刻一辆自行车以v自＝6 m/s的速度匀速驶来，从旁边超过汽车。试求：
(1)汽车从路口开动后，在追上自行车之前，经过多长时间两车相距最远？此时距离是多少？
(2)什么时候汽车能追上自行车？此时汽车的速度是多少？
[规范解答] (1)解法一(物理分析法)：汽车与自行车的速度相等时两车相距最远，设此时经过的时间为t1，两车间的距离为Δx，则有
v汽＝v自＝at1
所以t1＝＝2 s
Δx＝x自－x汽＝v自t1－at＝6 m。
解法二(极值法)：设汽车在追上自行车之前，经过时间t两车相距Δx，则Δx＝x自－x汽＝v自t－at2
代入已知数据得Δx＝6t－t2
由二次函数求极值的条件知：t1＝2 s时，Δx有最大值6 m。
所以经过t1＝2 s后，两车相距最远，此时距离为Δx＝6 m。
解法三(图像法)：自行车和汽车的vt图像如图所示，由图像可以看出，在相遇前，t1时刻两车速度相等，两车相距最远，此时的距离为阴影三角形的面积，所以有
t1＝＝ s＝2 s
Δx＝＝ m＝6 m。
(2)解法一(物理分析法)：当两车位移相同时，汽车追上自行车，设此时经过的时间为t2，
则有v自t2＝at
解得t2＝＝ s＝4 s
此时汽车的速度v1′＝at2＝12 m/s。
解法二(图像法)：由前面画出的vt图像可以看出，在t1时刻之后，当由图线v自、v汽和t＝t2构成的三角形的面积与阴影部分的三角形面积相等时，汽车与自行车的位移相同，即汽车与自行车相遇，所以t2＝2t1＝4 s，v1′＝at2＝3×4 m/s＝12 m/s。
[完美答案] (1)2 s 6 m (2)4 s 12 m/s
求解追及和相遇问题的两点技巧
1．掌握“三种分析方法”
(1)物理分析法：抓住“两物体能否同时到达空间某位置”这一关键，认真审题，挖掘题目中的隐含条件，画出两物体运动关系的示意图。
(2)数学极值法：设相遇时间为t，根据条件列方程，得到关于时间t的一元二次方程，用根的判别式进行讨论。若Δ>0，即有两个解，说明可以相遇两次；若Δ＝0，说明刚好能追上或相遇一次；若Δ<0，无解，说明追不上或不能相遇。
(3)图像法：将两个物体运动的速度—时间关系在同一图像中画出，然后利用图像分析求解相关问题。
起点在同一点的追及相遇问题最适合用图像解决，因为其图线和时间轴所围成的面积就是位移。
2．牢记“一个思维流程”
甲、乙两辆汽车在平直的公路上沿同一方向做直线运动，t＝0时刻同时经过公路旁的同一个路标。在描述两车运动的vt图像中(如图所示)，直线a、b分别描述了甲、乙两车在0～20 s的运动情况。关于两车之间的位移关系，下列说法正确的是( )
A．在0～10 s内两车逐渐靠近
B．在10～20 s内两车逐渐远离
C．在5～15 s这段时间两车运动的位移相等
D．在t＝10 s时两车在公路上相遇
答案 C
解析 甲车做速度为5 m/s的匀速直线运动，乙车做初速度为10 m/s的匀减速直线运动。在t＝10 s时，两车的速度相同，在此之前，甲车的速度小于乙车的速度，两车的距离越来越大；在此之后，甲车的速度大于乙车的速度，两车的距离又逐渐减小，在t＝20 s时两车相遇，故A、B、D均错误。5～15 s这段时间，两图线与时间轴所围成的面积相等，故两车运动的位移相等，C正确。
甲、乙两物体在同一条直线上同时同地沿同一方向运动，甲初速度为6 m/s，由于摩擦做匀减速直线运动，加速度大小为2 m/s2；乙做初速度为零，加速度为1 m/s2的匀加速直线运动。求：
(1)甲物体能运动多远？
(2)乙经多长时间追上甲？
(3)乙追上甲之前两物体的最大距离是多少？
答案 (1)9 m (2)4.2 s (3)6 m
解析 (1)甲做匀减速直线运动直至停止，
由v＝2a甲x甲，得x甲＝＝ m＝9 m。
(2)甲的运动时间为：t＝＝ s＝3 s
此过程中乙的位移
x乙＝a乙t2＝×1×32 m＝4.5 m<9 m
说明甲停止后，过一段时间乙才追上甲
所以乙追上甲所用时间：
t乙＝ ＝ s＝3 s≈4.2 s。
(3)当甲、乙的速度相等时，二者距离最大，
即a乙t′＝v甲－a甲t′，
得：t′＝＝2 s
在这2 s内，甲的位移：
x甲′＝v甲t′－a甲t′2＝ m＝8 m
乙的位移：x乙′＝a乙t′2＝ m＝2 m
二者间的最大距离：Δx＝x甲′－x乙′＝6 m。
1．如图所示的vt图像，此图像对应的函数表达式为v＝v0＋at，则a、v0分别为( )
A．a＝1 m/s2，v0＝0.5 m/s
B．a＝0.5 m/s2，v0＝1 m/s
C．a＝0.5 m/s2，v0＝3 m/s
D．a＝－0.5 m/s2，v0＝1 m/s
答案 B
解析 vt图线的斜率等于物体的加速度，故a＝＝ m/s2＝0.5 m/s2；物体的初速度为t＝0时的速度，故v0＝1 m/s，故B正确。
2. (多选)如图所示为一个质点运动的位移x随时间t变化的图像，由此可知质点在0～4 s内( )
A．先沿x轴正方向运动，后沿x轴负方向运动
B．一直做匀变速运动
C．t＝2 s时速度一定最大
D．速率为5 m/s的时刻有两个
答案 CD
解析 由图可知，位移先沿正方向减小，后沿负方向增大，则质点沿x轴负方向运动，A错误；图像的斜率表示质点的速度，则质点先加速后减速，质点速度方向没变，则加速度的方向发生了变化，质点做变加速运动，B错误；t＝2 s时，图像的斜率最大，即速度最大，C正确；质点在加速和减速的过程中，平均速度的大小均为v＝ m/s＝5 m/s，所以速率为5 m/s的时刻有两个，D正确。
3. (多选)如图所示为在同一直线上运动的A、B两质点的xt图像，由图可知以下说法正确的是( )
A．t＝0时，A在B的前面x1处
B．B在t2时刻追上A，并在此后跑在A的前面
C．A在t1～t2时间内做匀速直线运动
D．t1时刻前B运动的速度比A小，但0～t2时间内B的平均速度比A大
答案 ABD
解析 t＝0时，B在原点，A在正方向上距原点x1处，则A在B的前面x1处，A正确；在t2时刻两质点到达同一位置，说明B追上A，此后A处于静止状态，而B沿原方向仍做匀速直线运动，因而在此后B跑在A的前面，B正确；根据xt图像斜率等于速度可知，A在t1～t2时间内静止，C错误；根据图线斜率知，t1时刻前B运动的速度比A的小，0～t2时间内B的位移比A的位移大，时间相等，所以B的平均速度大，D正确。
4. (多选)如图所示为两个物体A和B在同一直线上沿同一方向同时运动的vt图线。已知在第3 s末两个物体在途中相遇，则下列说法正确的是( )
A．两物体从同一地点出发
B．出发时A在B前3 m处
C．3 s末两个物体相遇后，两物体一定不可能再相遇
D．运动过程中B的加速度小于A的加速度
答案 CD
解析 由速度—时间图线与时间轴围成的“面积”等于位移可知，两物体在3 s内的位移不相等，而在第3 s末两个物体相遇，可知两物体出发点不同，A错误；两物体在3 s内的位移分别为xA＝ m＝6 m，xB＝ m＝3 m，则出发时B在A前3 m处，B错误；3 s末两个物体相遇后，A的速度一直大于B的速度，两物体不可能再次相遇，C正确；由B图像的斜率小于A的斜率，可知B的加速度小于A的加速度，D正确。
5．(多选)物体甲的xt图像和物体乙的vt图像分别如图所示，则这两个物体的运动情况是( )
A．甲在整个t＝6 s时间内来回运动，它通过的总位移为零
B．甲在整个t＝6 s时间内的运动方向一直不变，它通过的总位移大小为4 m
C．乙在整个t＝6 s时间内来回运动，它通过的总位移为零
D．乙在整个t＝6 s时间内的运动方向一直不变，它通过的总位移大小为4 m
答案 BC
解析 根据位移—时间图线的斜率表示速度，可知甲在整个t＝6 s时间内一直沿正方向匀速运动，总位移为Δx＝2 m－(－2 m)＝4 m，A错误，B正确；物体乙的速度—时间图像中，速度的正负，表示速度的方向，即表示物体的运动方向。速度先负后正，说明物体乙先沿负向运动，后沿正向运动。根据图线与时间轴所围成的面积表示位移，图线乙在t轴上方位移为正值，下方位移为负值，得知总位移为0，C正确，D错误。
6．甲物体以速度v0做匀速直线运动，当它运动到某一位置时，该处有另一物体乙开始做初速度为零的匀加速直线运动去追甲，由上述条件可求的是( )
A．乙追上甲时，乙的速度
B．乙追上甲时，乙走的路程
C．乙从开始运动到追上甲时，所用的时间
D．甲从乙旁边经过开始，乙追上甲前，甲、乙之间的最大距离
答案 A
解析 乙追上甲时两物体位移相等，即v0t＝t，解得乙追上甲时乙的速度为v＝2v0，A正确；由于乙的加速度未知，所以无法求出乙追上甲的时间、乙追上甲时乙走的路程以及乙追上甲前，甲、乙之间的最大距离，B、C、D错误。
7．汽车以10 m/s的速度在平直的公路上匀速前进，司机发现正前方x处有一辆自行车正以4 m/s的速度做同方向的匀速直线运动，立即关闭油门使汽车做a＝－6 m/s2的匀变速直线运动，若汽车恰好碰不上自行车，则x的大小为( )
A．8.33 m B．7 m C．3.33 m D．3 m
答案 D
解析 根据题设，汽车恰好碰不上自行车，则追上时两者速度相同，均为4 m/s，汽车位移为 m＝7 m，汽车减速的时间为t＝＝ s＝1 s，则自行车位移为x自＝vt＝4 m，所以两者间距x＝3 m，D正确。
8．如图所示的vt图像中，直线表示甲物体从A地向B地运动的vt图像，折线表示同时开始运动的乙物体由静止从A地向B地运动的vt图像。下列说法正确的是( )
A．在t＝4 s时，甲、乙两物体相遇
B．在t＝4 s时，甲、乙两物体相距最远
C．在0～2 s内，甲、乙两物体的加速度大小相等
D．在2～4 s内，乙物体处于静止状态
答案 B
解析 根据vt图像中，图线与t轴所围成的面积表示位移，可得t＝4 s时，甲的位移和乙的位移不相等，刚开始甲的速度较大，故是乙追甲，当两者速度相等时，甲、乙相距最远，A错误，B正确；根据加速度的定义可得，在0～2 s内，甲物体的加速度为a甲＝ m/s2＝－10 m/s2，乙物体的加速度为a乙＝ m/s2＝20 m/s2，两者的加速度大小在这段时间内不相等，C错误；在2～4 s内，乙物体处于匀速运动状态，D错误。
9. (多选)宇航员的训练、竞技体育的指导、汽车的设计等多种工作都用到急动度的概念。加速度对时间的变化率称为急动度，其方向与加速度的变化方向相同。一质点从静止开始做直线运动，其加速度随时间的变化关系如图所示。下列说法正确的是( )
A．t＝1 s时急动度是0.5 m/s3
B．t＝3 s时的急动度和t＝5 s时的急动度等大反向
C．2～4 s内质点做减速运动
D．0～6 s内质点速度方向不变
答案 AD
解析 t＝1 s时急动度＝ m/s3＝0.5 m/s3，A正确；图线的斜率表示急动度，则t＝3 s时的急动度和t＝5 s时的急动度完全相同，B错误；0～4 s内质点的加速度方向不变，做加速运动，C错误；由vt图线与t轴所围成的面积表示位移类比可知，at图线与t轴所围成的面积表示速度变化量，又由题知t＝0时v＝0，则0～4 s内质点做加速度方向不变的加速运动，4～6 s做加速度反向但速度方向不变的减速运动，所以0～6 s内质点速度方向不变，D正确。
10．(多选)由于公路维修只允许单车道通行，在一平直车道上，有同向行驶的甲、乙两车，t＝0时，甲车在前，乙车在后，相距x0＝100 m，速度均为v0＝30 m/s，从此时开始两车按如图所示规律运动，则下述说法正确的是( )
A．两车最近距离为10 m
B．两车最近距离为100 m
C．两车一定不会相遇
D．两车一定会相遇
答案 AC
解析 如图所示为甲、乙两车的速度—时间图像，由图像可知，t＝6 s时两车共速，在此之前，乙车速度一直比甲车大(t＝0除外)，如果0～6 s内两车不相遇，就不会相遇，由图像面积可以算出，0～6 s内，x甲＝67.5 m，x乙＝157.5 m，x乙－x甲＝90 m＜x0＝100 m，故两车不会相遇，两车最近距离为100 m－90 m＝10 m，A、C正确。
11．如图为某一路段的俯视图，该路段全程限速12.5 m/s，一辆汽车以9 m/s的速度匀速行驶，前方要通过一路口，绿灯还有2 s将熄灭变为红灯，此时汽车距离停车线为19 m。已知该车加速时最大加速度大小为2 m/s2，刹车时最大加速度大小为5 m/s2。
(1)若汽车此时立即以最大加速度一直加速通过路口，通过计算判断汽车是否违章？
(2)为保证安全，汽车不急于通过路口，为防止闯红灯且又压停车线，则汽车最多可继续行驶多远就应开始刹车？
答案 (1)汽车违章 (2)10.9 m
解析 (1)汽车做匀加速直线运动，
v0＝9 m/s，a1＝2 m/s2
t＝2 s内的位移x＝v0t＋a1t2，
解得：x＝22 m>19 m，汽车可以在变为红灯前通过路口。
设汽车运动x0＝19 m时对应的速度vt，
由v－v＝2ax0得vt＝＝ m/s>12.5 m/s，汽车超速，所以汽车违章。
(2)汽车减速过程可看作反向初速度为0的匀加速直线运动，a2＝5 m/s2，刹车时间t′＝＝1.8 s
刹车位移x2＝a2t′2＝8.1 m
汽车最多可继续匀速行驶的位移
Δx＝x0－x2＝10.9 m。
12．一辆长途客车正在一平直公路上以v0＝20 m/s的速度匀速行驶。突然，司机看见车的正前方x＝33 m处有一只狗，如图甲所示，司机立即采取制动措
施。若从司机看见狗时开始计时(t＝0)，长途客车的“速度—时间”图像如图乙所示。
(1)求长途客车从司机发现狗至客车停止运动的这段时间内前进的距离；
(2)求长途客车制动时的加速度大小；
(3)若狗以v＝4 m/s的速度与长途客车同向奔跑，狗会不会被撞？
答案 (1)50 m (2)5 m/s2 (3)狗将被撞
解析 (1)客车在前0.5 s内的位移
x1＝v0t1＝20×0.5 m＝10 m，
客车在0.5～4.5 s内的位移
x2＝t2＝×20×(4.5－0.5) m＝40 m，
故客车从司机发现狗至客车停止运动的这段时间内前进的距离
x＝x1＋x2＝10 m＋40 m＝50 m。
(2)图像的斜率表示加速度，则由图像得：
a＝＝ m/s2＝－5 m/s2。
(3)若客车恰好撞不到狗，则车追上狗时车速为4 m/s，
则刹车时间为t＝＝ s＝3.2 s
客车位移为
x1′＝v0t1＋＝20×0.5 m＋ m＝48.4 m，
而狗通过的位移为
x2′＝v(t1＋t)＝4×(0.5＋3.2) m＝14.8 m，
而x2′＋33 m＝47.8 m，
因为x1′＞47.8 m，所以狗将被撞。
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