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课时作业43 总体离散程度的估计
知识点一 样本的标准差、方差的计算
1.现有10个数，其平均数为3，且这10个数的平方和是100，那么这组数据的标准差是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
答案 A
解析 由s2＝－ 2，得s2＝×100－32＝1，即标准差s＝1.
2．某医院急救中心随机抽取20位病人等待急诊的时间记录如下表：
等待时间/分
[0,5)
[5,10)
[10,15)
[15,20)
[20,25]
频数
4
8
5
2
1
用上述分组资料计算出病人平均等待时间的估计值＝________，病人等待时间方差的估计值s2＝________.
答案 9.5 28.5
解析 ＝×(2.5×4＋7.5×8＋12.5×5＋17.5×2＋22.5×1)＝9.5，s2＝×[(2.5－9.5)2×4＋(7.5－9.5)2×8＋(12.5－9.5)2×5＋(17.5－9.5)2×2＋(22.5－9.5)2×1]＝28.5.
3．某班40人随机分成两组，第1组15人，第2组25人，两组学生一次数学考试的成绩(单位：分)情况如下表：
组别
平均分
标准差
第1组
84
6
第2组
80
4
求全班学生这次数学考试的平均成绩和方差．
解 由题意，知第1组这次数学考试的平均分1＝84，方差s＝62＝36，权重w1＝，
第2组这次数学考试的平均分2＝80，方差s＝42＝16，权重w2＝.
故全班学生这次数学考试的平均成绩＝×84＋×80＝81.5(分)，
方差s2＝w1[s＋(1－)2]＋w2[s＋(2－)2]
＝×[36＋(84－81.5)2]＋×[16＋(80－81.5)2]
＝27.25.
知识点二 样本的标准差、方差的实际应用
4.甲、乙两名战士在相同条件下各打靶10次，每次命中的环数分别是：
甲：8,6,7,8,6,5,9,10,4,7；
乙：6,7,7,8,6,7,8,7,9,5.
(1)分别计算以上两组数据的平均数；
(2)分别求出两组数据的方差；
(3)根据计算结果，估计两名战士的射击情况．若要从这两人中选一人参加射击比赛，选谁去合适？
(4)甲、乙两名战士的成绩在[－2s，＋2s]内有多少？
解 (1)甲＝×(8＋6＋7＋8＋6＋5＋9＋10＋4＋7)＝7，
乙＝×(6＋7＋7＋8＋6＋7＋8＋7＋9＋5)＝7.
(2)由方差公式s2＝(xi－)2，得
s＝3，s＝1.2.
(3)甲＝乙，说明甲、乙两战士的平均水平相当．
又s>s，说明甲战士射击情况波动比乙大．
因此，乙战士比甲战士射击情况稳定．从成绩的稳定性考虑，应选择乙参加比赛．
(4)因为s甲＝＝≈1.73，甲－2s甲≈3.54，
甲＋2s甲≈10.46，
所以甲战士的成绩全部在[－2s，＋2s]内．
因为s乙＝＝≈1.10，乙－2s乙≈4.8，
乙＋2s乙≈9.2，
所以乙战士的成绩也全部在[－2s，＋2s]内.
知识点三 由图形分析方差、标准差
5.甲、乙、丙三人投掷飞镖，他们成绩(环数)的频数条形统计图如图所示，则甲、乙、丙三人训练成绩的标准差s甲，s乙，s丙的大小关系是( )
A．s丙>s乙>s甲 B．s甲>s丙>s乙
C．s丙>s甲>s乙 D．s乙>s丙>s甲
答案 C
解析 由甲图可知，
甲＝＝6，
s＝×[6×(3－6)2＋6×(4－6)2＋6×(5－6)2＋6×(6－6)2＋6×(7－6)2＋6×(8－6)2＋6×(9－6)2]＝4，
标准差s甲＝＝2；
由乙图可知，
乙＝＝6，
s＝×[3×(3－6)2＋5×(4－6)2＋8×(5－6)2＋10×(6－6)2＋8×(7－6)2＋5×(8－6)2＋3×(9－6)2]≈2.6，
标准差s乙≈；
由丙图可知，
丙＝＝6，
s＝×[8×(3－6)2＋5×(4－6)2＋3×(5－6)2＋10×(6－6)2＋3×(7－6)2＋5×(8－6)2＋8×(9－6)2]≈4.5，
标准差s丙≈.故s丙>s甲>s乙，选C.
易错点 运用分层随机抽样的方差公式时出错
6.一个班的甲、乙两名射击手在相同条件下共射靶18次，每次命中的环数分别如下：
甲：8,9,7,8,6,7,9,10；
乙：6,7,7,8,6,7,8,7,9,5.
(1)分别计算以上两组数据的平均数；
(2)分别求出两组数据的方差；
(3)求甲、乙两名射击手这18次射击命中环数的平均数和方差．(精确到0.01)
易错分析 运用比例分配的分层随机抽样的方差公式s2＝i[s＋(i－)2]时，易忽略(i－)2项而致错．
正解 (1)由题意知甲＝×(8＋9＋7＋8＋6＋7＋9＋10)＝8，乙＝×(6＋7＋7＋8＋6＋7＋8＋7＋9＋5)＝7.
(2)由方差公式，得s＝×[(8－8)2＋(9－8)2＋(7－8)2＋(8－8)2＋(6－8)2＋(7－8)2＋(9－8)2＋(10－8)2]＝1.5，
s＝×[(6－7)2＋(7－7)2＋(7－7)2＋(8－7)2＋(6－7)2＋(7－7)2＋(8－7)2＋(7－7)2＋(9－7)2＋(5－7)2]＝1.2.
(3)由题意可知甲射击手的权重w甲＝，乙射击手的权重w乙＝，甲、乙两名射击手这18次射击命中环数的平均数＝w甲甲＋w乙乙＝×8＋×7≈7.44，方差s2＝w甲[s＋(甲－)2]＋w乙[s＋(乙－)2]＝×[1.5＋(8－7.44)2]＋×[1.2＋(7－7.44)2]≈1.58.
一、选择题
1．下列说法正确的是( )
A．在两组数据中，平均数较大的一组极差较大
B．平均数反映数据的集中趋势，方差则反映数据波动的大小
C．方差的求法是求出各个数据与平均值的差的平方后再求和
D．在记录两个人射击环数的两组数据中，方差大说明射击水平稳定
答案 B
解析 平均数表示一组数据的集中趋势，平均数的大小并不能说明该组数据极差的大小，所以A错误；方差公式s2＝ (xi－)2，所以C错误；方差大说明射击水平不稳定，所以D错误．故选B.
2．在某项体育比赛中，七位裁判为一选手打出的分数如下：90 89 90 95 93 94 93
去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为( )
A．92,2 B．92,2.8
C．93,2 D．93,2.8
答案 B
解析 去掉一个最高分95与一个最低分89后，所得的5个数分别为90,90,93,94,93，
所以＝＝＝92，
s2＝＝＝2.8，故选B.
3．从某项综合能力测试中抽取100人的成绩，统计如下表，则这100人的成绩的标准差为( )
分数
5
4
3
2
1
人数
20
10
30
30
10
A. B. C．3 D.
答案 B
解析 平均数为＝3.
故s2＝×[20×(5－3)2＋10×(4－3)2＋30×(3－3)2＋30×(2－3)2＋10×(1－3)2]＝.
故s＝＝.
4．一组数据的平均数是2.8，方差是3.6，若将这组数据中的每一个数据都加上60，得到一组新数据，则所得新数据的平均数和方差分别是( )
A．57.2,3.6 B．57.2,56.4
C．62.8,63.6 D．62.8,3.6
答案 D
解析 每一个数据都加上60，所得新数据的平均数增加60，而方差保持不变．
5．一组数据的平均值是，标准差是s，将这组数据中的每个数据都乘以2，所得到的一组新数据的平均值和标准差分别是( )
A.，s B.，2s C．2，s D．2，2s
答案 D
解析 设该组数据为x1，x2，…，xn，都乘以2后的新数据为2x1,2x2，…，2xn.
由题意知＝，
则＝2.
又s＝ ，
所以
＝2s.故选D.
二、填空题
6．对一个做直线运动的质点的运动过程观测了8次，得到如下表所示的数据．
观测序号i
1
2
3
4
5
6
7
8
观测数据ai
40
41
43
43
44
46
47
48
上述统计数据的平均数是________，方差是________．
答案 44 7
解析 上述统计数据的平均数＝×(40＋41＋43＋43＋44＋46＋47＋48)＝44，
方差＝×[(40－44)2＋(41－44)2＋(43－44)2＋(43－44)2＋(44－44)2＋(46－44)2＋(47－44)2＋(48－44)2]＝7.
7．某人5次上班途中所花的时间(单位：分钟)分别为x，y,10,11,9.已知这组数据的平均数为10，方差为2，则|x－y|的值为________．
答案 4
解析 由题意可得x＋y＝20，(x－10)2＋(y－10)2＝8，设x＝10＋t，y＝10－t，则t2＝4，|t|＝2，故|x－y|＝2|t|＝4.
8．某班有50名学生，其中有30名男生和20名女生，随机询问了该班6名男生和4名女生在某次数学测验中的成绩，6名男生的成绩分别为86分，94分，88分，92分，90分，90分，4名女生的成绩分别为90分，93分，93分，88分，则下列说法：
①这种抽样方法是比例分配的分层随机抽样；
②该班男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数；
③这6名男生成绩的方差大于这4名女生成绩的方差；
④被抽取的10名学生成绩的平均数和方差分别为90.4分和6.04.
其中一定正确的是________(写出所有正确说法的序号)．
答案 ①③④
解析 因为该班有30名男生和20名女生且抽取的男生和女生的比为3∶2，所以这种抽样方法是比例分配的分层随机抽样，①正确；抽取的6名男生成绩的平均数
男＝＝90(分)，抽取的4名女生成绩的平均数女＝＝91(分)，虽然男<女，但并不一定能说明该班男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数，②不一定正确；这6名男生成绩的方差s＝×[(86－90)2＋(94－90)2＋(88－90)2＋(92－90)2＋(90－90)2＋(90－90)2]＝，这4名女生成绩的方差s＝×[(90－91)2＋(93－91)2＋(93－91)2＋(88－91)2]＝，因为>，所以③正确；被抽取的10名学生成绩的平均数＝×90＋×91＝90.4(分)，被抽取的10名学生成绩的方差s2＝×＋×＝4.096＋1.944＝6.04，④正确．故一定正确的是①③④.
三、解答题
9．已知母鸡产蛋的最佳温度在10 ℃左右，下面是在甲、乙两地六个时刻测得的温度，你认为甲、乙两地哪个地方更适合母鸡产蛋？
解 ①甲＝×(－5＋7＋15＋14－4－3)＝4，
乙＝×(1＋4＋10＋7＋2＋0)＝4.
②极差：甲地温度极差＝15－(－5)＝20；
乙地温度极差＝10－0＝10.
③标准差：
s甲＝
≈8.4；
s乙＝ ≈3.5.
显然两地的平均温度相等，乙地温度的极差、标准差较小，说明了乙地温度波动较小．
因此，乙地比甲地更适合母鸡产蛋．
10．为选派一名学生参加全市实践活动技能竞赛，A，B两位同学在学校的学习基地现场进行加工直径为20 mm的零件测试，他俩各加工的10个零件直径的相关数据如图所示(单位：mm)：
A，B两位同学各加工的10个零件直径的平均数与方差列于下表：
平均数
方差
A
20
0.016
B
20
s
根据测试得到的有关数据，试解答下列问题：
(1)计算s，考虑平均数与方差，说明谁的成绩好些；
(2)考虑图中折线走势情况，你认为派谁去参赛较合适？请说明你的理由．
解 (1)s＝×[5×(20－20)2＋3×(19.9－20)2＋(20.1－20)2＋(20.2－20)2]＝0.008，∴s>s，
∴在平均数相同的情况下，B的波动较小，∴B的成绩好些．
(2)从图中折线趋势可知：
尽管A的成绩前面起伏大，但后来逐渐稳定，误差小，预测A的潜力大，∴派A去参赛较合适．
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