元素法几何应用面积长.pptx

设曲边梯形是由连续曲线设曲边梯形是由连续曲线两直线两直线所围成所围成.则其面积则其面积 A=机动 目录 上页 下页 返回 结束 回顾回顾:曲边梯形求面积的问题曲边梯形求面积的问题及及x轴以及轴以及1)分割分割.区间区间 a,b同时将曲边梯形分成同时将曲边梯形分成 n 个小曲边梯形个小曲边梯形且且A=Ai2)近似近似.机动 目录 上页 下页 返回 结束 面积表示为定积分的步骤如下面积表示为定积分的步骤如下:3)3)求和求和(求近似和求近似和).).4)取极限取极限.取取 3)部分量可近似表示为部分量可近似表示为一、什么问题可以用定积分解决一、什么问题可以用定积分解决?1)所求量所求量 U 与变量与变量x(或或)有关有关,且定义在区间且定义在区间a,b 上上;2)U 对区间对区间 a,b 具有具有可加性可加性,即总量等于部分量的和即总量等于部分量的和机动 目录 上页 下页 返回 结束 可推广到无穷区间第二步第二步 求对应于求对应于x,x+dx上局部量上局部量U 的近似值的近似值微分表达式微分表达式第三步第三步以微元为被积表达式在以微元为被积表达式在U定义的定义的 区间区间a,b 上积分上积分这种分析问题的方法称为这种分析问题的方法称为元素法元素法(或或微元法微元法)元素的几何形状常取为元素的几何形状常取为:条条,带带,段段,环环,扇扇,片片,壳壳 等等称称元素元素或或微元微元(微元法微元法)二二、定积分应用的元素法定积分应用的元素法第一步第一步 确定确定U 定义的区间定义的区间a,b(注注:选取不同的积分变量选取不同的积分变量,U 所定义的区间可能不同所定义的区间可能不同)不妨设不妨设,选选x为积分变量为积分变量注注:但但要求要求:是是U的近似值，的近似值，是是U的线性主部的线性主部三、体积三、体积一、一、平面图形的面积平面图形的面积二、二、平面曲线的弧长平面曲线的弧长 机动 目录 上页 下页 返回 结束 6.2 定积分在几何学上的应用 第六六章 一、平面图形的面积一、平面图形的面积1.直角坐标情形直角坐标情形设曲线设曲线与直线与直线及及 x 轴所围曲轴所围曲则则机动 目录 上页 下页 返回 结束 边梯形面积为边梯形面积为 A,一般地一般地,曲线曲线y=f1(x)、y=f2(x)及及x=a,x=b(ab)围成图形围成图形(右下图右下图)面积为面积为例例1.计算两条抛物线计算两条抛物线在第一象限所围在第一象限所围所围图形的面积所围图形的面积.解解:由由得交点得交点机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例2.计算抛物线计算抛物线与直线与直线的面积的面积.解解:由由得交点得交点所围图形所围图形为简便计算为简便计算,选取选取 y 作积分变量作积分变量,则有则有机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考思考:选选x为积分变量为积分变量A=?+曲线曲线与与围成平面图形的面积围成平面图形的面积.举一个例子举一个例子:曲线曲线与与围成围成S.解解:两曲线的交点为两曲线的交点为(-1,1)、(0，0)、(2，4)所以所以=例例3.求椭圆求椭圆解解:利用对称性利用对称性,所围图形的面积所围图形的面积.有有利用椭圆的参数方程利用椭圆的参数方程应用定积分换元法得应用定积分换元法得当当 a=b 时得圆面积公式时得圆面积公式机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例4.求由摆线求由摆线的一拱与的一拱与 x 轴所围平面图形的面积轴所围平面图形的面积.解解:机动 目录 上页 下页 返回 结束 2.极坐标情形极坐标情形求由曲线求由曲线及及围成的曲边扇形的面积围成的曲边扇形的面积.在区间在区间上任取小区间上任取小区间则对应该小区间上曲边扇形面积的近似值为则对应该小区间上曲边扇形面积的近似值为所求曲边扇形的面积为所求曲边扇形的面积为机动 目录 上页 下页 返回 结束 对应对应 从从 0 变变例例5.计算阿基米德螺线计算阿基米德螺线解解:机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 到到 2 所围图形面积所围图形面积.例例6.计算心形线计算心形线所围图形的所围图形的面积面积.解解:(利用对称性利用对称性)心形线 目录 上页 下页 返回 结束 旋转面的面积旋转面的面积(补充补充)设平面光滑曲线设平面光滑曲线求求积分后得旋转体的侧面积积分后得旋转体的侧面积它绕它绕 x 轴旋转一周所得到的旋转曲面的面积轴旋转一周所得到的旋转曲面的面积.取侧面积元素取侧面积元素:机动 目录 上页 下页 返回 结束 第三节 目录 上页 下页 返回 结束 例例7:设有曲线设有曲线 过原点作其切线过原点作其切线,求求由此曲线、切线及由此曲线、切线及 x 轴围成的平面图形绕轴围成的平面图形绕 x 轴旋转一轴旋转一周所得到的旋转体的表面积周所得到的旋转体的表面积.解解:过过点的切线为点的切线为:将将(0,0)点代入得点代入得,则切线方程为则切线方程为:则表面积则表面积1xyo2二、平面曲线的弧长二、平面曲线的弧长定义定义:若在弧若在弧 AB 上任意作内接折线上任意作内接折线,当折线段的最大当折线段的最大边长边长 0 时时,折线的长度趋向于一个确定的极限折线的长度趋向于一个确定的极限,此极限为曲线弧此极限为曲线弧 AB 的弧长的弧长,即即并称此曲线弧为可求长的并称此曲线弧为可求长的.定理定理:任意任意光滑光滑曲线弧都是可求长的曲线弧都是可求长的.(证明略证明略)则称则称光滑曲线的概念光滑曲线的概念:P171曲线表示为参数方程曲线表示为参数方程且(1)曲线弧由直角坐标方程给出曲线弧由直角坐标方程给出:弧长元素弧长元素(弧微分弧微分):因此所求弧长因此所求弧长(P168)机动 目录 上页 下页 返回 结束(2)曲线弧由参数方程给出曲线弧由参数方程给出:弧长元素弧长元素(弧微分弧微分):因此所求弧长因此所求弧长机动 目录 上页 下页 返回 结束(3)曲线弧由极坐标方程给出曲线弧由极坐标方程给出:因此所求弧长因此所求弧长则得则得弧长元素弧长元素(弧微分弧微分):(自己验证自己验证)机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例8.计算曲线计算曲线的弧长的弧长.解解:机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例9.求连续曲线段求连续曲线段解解:的弧长的弧长.机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例10.计算摆线计算摆线一拱一拱的弧长的弧长.解解:机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例11.求阿基米德螺线求阿基米德螺线相应于相应于 0 2 一段的弧长一段的弧长.解解:小结 目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结1.平面图形的面积平面图形的面积参数方程参数方程(按直角坐标用参数方程换元按直角坐标用参数方程换元)极坐标方程极坐标方程2.平面曲线的弧长平面曲线的弧长曲线方程曲线方程参数方程方程参数方程方程极坐标方程极坐标方程弧微分弧微分:直角坐标方程直角坐标方程直角坐标方程直角坐标方程注意注意:求弧长时积分上求弧长时积分上下限必须下限必须上大下小上大下小机动 目录 上页 下页 返回 结束 作业作业 P284 2(1),(3);4;5(2),(3);8(2);9;10;第三节 目录 上页 下页 返回 结束 面积及弧长部分：面积及弧长部分：