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归纳猜想论证高三复习课教学设计说明

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2020年4月19日
文档仅供参考
归纳—猜想—论证（高三复习课）教学设计说明
选择课题的背景：
1.在 第9期《数学教学》杂志封底看到张奠宙和赵小平教授的编后漫笔《一个新课题：数学思想方法的教学》，深受启发，很想付诸实践，于是选择这个机会展示一节关于数学思想方法的教学。
2.研究近年的高考试题，发现自觉或不自觉地在考查应用“归纳—猜想”解决问题的思想和方法（参看本节课所选试题），作为高三复习课，本着以学生的发展为本的理念，要重视这一数学思想的教学。
3. 10月10日在建平中学听华东师范大学李俊教授的报告，她谈到后面的课改，会把数学思想方法教学的具体要求写入课标，这更坚定了我的想法----上一节关于数学思想方法的课。
一、内容与教材分析
“归纳—猜想—论证”是上海教育出版社高级中学课本数学高二年级第一学期（试用本）第7章数列一章的内容，隶属数学归纳法这一节。
“归纳—猜想—论证”是高中数学教学中唯一一节以数学思想方法为内容的课。如果数学归纳法是数学方法，那么“归纳—猜想—论证”就是解决问题的思想方法，经常和数学归纳法联合使用，因此教材将其归入数学归纳法的一部分，但也并非意味着归纳猜想的结论只能应用数学归纳法证明。
为了探求一般规律，往往先考察一些简单的特例，进行归纳，形成猜想，然后设法用证明验证猜想的正确性，这样解决问题的想法就是“归纳—猜想—论证”的思想方法。
“归纳—猜想—论证”是把解答问题转化为证明问题的方法，核心是把复杂的问题简单化，把抽象的问题具体化，蕴涵着简化问题的思想。需要注意（方法的要害）：归纳猜想后，只有证明了我们才能够肯定猜想的正确性（例如哥德巴赫猜想，尽管计算机能够检验到很大的数猜想都成立，可是在没证明之前，谁也无法断定哥德巴赫猜想的正确性，课本例题中遗憾的费马猜想就是最好佐证）。
“归纳—猜想—论证”是人们探究（数学）问题最基本的方法，因此能够尝试用它来解决各类问题（如这节课解决的几何、向量、矩阵等问题），它经历三个过程：尝试观察特例体验猜测理性证明，因此“归纳—猜想—论证”完美地把归纳猜想和演绎论证统一了起来。我们在分析和解决问题时，要大胆假设，小心求证，这也是探索发现真理的重要思想，是创造灵感的源泉，也是思维严谨的体现，是矛盾的统一。
二、学情分析
高三复习中，一方面遇到非数列背景的数学问题，学生往往较难想到应用“归纳—猜想—论证”的思想方法解决问题，应用意识非常薄弱。另一方面，近几年高考和各类考试都在考查“归纳—猜想—论证”的思想方法，如本课选的课堂练习和作业中的问题。教学目标、考查要求和学生实际表现使矛盾不断凸现。本着以学生的发展为本的理念，必须增强学生归纳猜想的能力。我校是市实验性示范性高中，本班是学校的重点物理班，学生基础比较扎实，想象力比较强，归纳猜想能力比较好，因此在选择问题的时候层次也比较高，有一定难度，但问题难度的处理上一定要注意层层推进，螺旋上升。

三、教学目标设计
教学目标
1.经历“归纳—猜想—论证”的思维过程，领会“归纳—猜想—论证”的思想方法。
2.发展学生的归纳猜想能力，提高演绎论证能力，体会归纳与演绎的辩证与统一。
３.经过实验、观察、尝试，培养她们的科学探究能力。
教学重点
“归纳—猜想—论证”的思维方法。
教学难点
“归纳—猜想”能力的培养。
四、教学过程设计
【教学脉络】　以“归纳—猜想—论证”思想方法的“复习－应用－延拓－再应用”为主线展开设计。
1.复习“归纳—猜想—论证”的思想方法（从问题引出课题）
【引例】观察下列等式，你能够归纳出一个更一般的结论吗？

【学生】
【教师】这个等式很简洁，很美，这么漂亮的等式用什么方法证明呢？（数学归纳法）
【设计意图】这道题目的结果体现一种简洁美，给人美的享受，能够培养学生数学审美情趣。问题难度不大，每个学生都能理解，能够比较完整地复习“归纳—猜想—论证”的思想方法。因为一般我们能够先考虑用数学归纳法完成猜想的证明，因此我们选择引例采用数学归纳法证明。

证明： 1.当时，猜想成立。
2. 假设时，
则当时，因此，时猜想也成立。
综上，对任意的猜想都正确。
【问题】如果直接给你这样一个问题 . 你该怎么做？
【教师】为了探求一般规律，先考察一些简单的特例，进行归纳，形成猜想，然后设法证明猜想是否正确，这样解决问题的想法就是“归纳—猜想—论证”的思想方法（今天我们复习“归纳—猜想—论证”，直接点题）
【设计意图】让学生用自己的语言根据刚刚解决的实例总结“归纳—猜想—论证”解决问题的思维过程，增强学生理解的深度，教师进行适当补充直接点题。

2.应用“归纳—猜想—论证”的思维方法解决问题
【例1】设定义在上的函数，
如果 ，那么
.
【问题】这是去年浦东新区一模第13试题，也是一个和正整数有关的问题，如何解答？
【教师】需要强调：因为归纳猜想的结论不一定正确，因此我们一定要尽可能地利用证明验证猜想的正确性，由于这道题目证明方法比较巧妙，我给大家留下充分的时间课后思考、探讨，下节课我们相互交流。
【设计意图】这也是一个数列问题，目的是让学生练习应用“归纳—猜想—论证”的思想方法解决问题，教师引导学生深刻体会“归纳—猜想—论证”的思想方法，既是练习也是例题。放在这节课，【例1】难度比前面引例的难度大，比后面【例2】的难度小，体现教学难度的层层推进，螺旋上升。作为“归纳—猜想—论证”在其它问题中应用的一个过渡，给学生搭建拾级而上的台阶，为学习后面的【例2】做好铺垫。
【教师】到当前为止，我们应用“归纳—猜想—论证”的思想方法解决的都是与数列有关的问题，那么，是不是这种方法只能解决与数列有关的问题呢？（不是！学生斩钉截铁回答的背后很大程度上是直觉在说话，而后面【例2】的解答才给予学生充分的底气）下面，我们尝试应用“归纳—猜想—论证”解决一个看起来和正整数无关的问题（自然过渡）。
【例2】在空间直角坐标系中，满足条件的点构成的空间区域的体积为，（分别表示不大于的最大整数），则 .
（1）高斯和高斯函数简介：见课件。
【设计意图】　提高学生的数学文化修养，课后还有配套习题：【4】画高斯函数的图像。画图像时，也是先画简单的情形，再归纳出一般的图像，体现了归纳猜想的思想方法在解决函数问题的应用。
（2）分析：空间问题有时比较复杂，比较抽象，如何解决呢？能不能把复杂的问题简单化，把抽象问题的具体化呢？能够先考虑（直线上的情况）,再考察（平面上的情况）。讨论清楚直线和平面的情况，画出图形，再归纳猜测空间情形，最后再证明自己的猜想。（教学方法：启发式）
【教师】点评：空间问题有时比较复杂，比较抽象，这时我们能够简化问题，先研究平面，直线上的情况，再归纳猜想空间的情形，这就是“归纳—猜想—论证”的思想方法(再次点题)。

【设计意图】这是一道非常漂亮的试题，可谓鬼斧神工，难度较大，但如果思考的方法恰当，解决起来也不是很困难。这道空间几何问题，涉及到高斯函数，因此这道题目除了能够培养学生“归纳—猜想”的能力外，还能够培养学生的空间想象能力，以及数学文化修养。
选这道题目的目的是想告诉学生“归纳—猜想—论证”的思想方法不但能够解决与数列相关的问题，也能够解决一些和正整数看起来无关的问题（其实，空间是三维的，平面是两维的，直线是一维的，我们能够对问题的维数进行归纳猜想），因此空间问题也可应用“归纳—猜想—论证”的方法解决。
此处是本节的重头戏，也是高潮。我们没有直接采用分类讨论解决空间问题，而是采用归纳猜想的方法，也就是说不光为了解决具体问题，而是在解决问题的过程中寻找一般性的处理问题的方法，即使分类讨论的方法本身也能够经过归纳得到。
三．小试牛刀（下面我们做几个练习）
【1】设是空间中给定的个不同的点，则使
成立的点的个数为 （ ）.
A．0 B．1 C． D．

【2】 在行n列矩阵中，记位于第行第列的数为. 若为正奇数，则 .
【设计意图】 练习应用归纳猜想思想方法解决非数列问题，继续延拓方法应用的范围。【1】中，就是 高考试题；【2】中，就是 高考试题，因此问题具有代表性和典型性。这两道试题如果应用归纳猜想，问题解答就比较容易了。在【1】中分别取就能得到答案，在【2】中分别取，就能够归纳猜想出结论。
【问题】若用数学归纳法证明上面的猜想，在第二步，假设（，是正奇数）时，猜想成立，则当 .时，要证明的等式是 .

【设计意图】【2】的具体证明已经超出了课程标准和考试大纲，而关于这道题的证明自然地设计了这样一个框架性问题，检测学生对数学归纳法本质的理解，也是对证明的思考，体现“归纳—猜想—论证”思维过程的完整性(由于本节课不是复习数学归纳法，因此这个问题我们作为机动问题，要看课堂时间是否允许)。

四．小节提升
1.“归纳—猜想—论证”是把解答问题转化为证明问题的方法，核心是把复杂的问题简单化，把抽象的问题具体化，蕴涵着简化问题的思想。
2.需要注意的问题是：归纳猜想后，只有证明了我们才能够肯定猜想的正确性。
3.“归纳—猜想—论证”，是人们探究（数学）问题最基本的方法，因此能够用它来解决各类问题（如这节课解决的几何、向量、矩阵等问题），它完美地把归纳猜想和演绎论证统一了起来。
最后，送大家一句名言：没有大胆的猜想，就没有伟大的发现！

【设计意图】回顾总结课堂学习，提高学生对“归纳—猜想—论证”数学思想方法本质的理解和认识。以牛顿的名言结束本节课，提升数学课堂的情趣，强调猜想的重要性。

作业设计
【1】数学上有一个著名的猜想：哥德巴赫猜想，大家能够上网找找，看看中国的数学家做了哪些贡献？
【2】 在数列中，. 若，则数列的通项公式是 .
【3】函数．项数为27的等差数列满足，且公差≠0．若，则当 时，．
【4】 画高斯函数的图像。

【5】设n阶方阵，
任取中的一个元素，记为；划去所在的行和列，将剩下的元素按原来的位置关系组成阶方阵，任取中的一个元素，记为；划去所在的行和列，……；将最后剩下的一个元素记为，记，则，则=______________.
【6】 在三角形ABC内有任意三点不共线的 个点，加上A、B、C三个顶点，共有 个点，把这 个点连线形成互不重叠的小三角形，则一共能够形成的小三角形的个数为______________.
【7】在空间直角坐标系中，满足条件的点构成的空间区域的体积为，（分别表示不大于的最大整数），则 .
【思考】我们知道的重心把三角形的中线分成两个部分。在三棱锥中也有类似的重心的点，此点我们叫三棱锥的重心。三棱锥的重心把三棱锥的中线（顶点与对面重心的连线）分成的比例为 . 若，则三棱锥的重心的坐标是 .
【设计意图】作业是课堂教学的不可缺少的延伸，配套有效的作业能够更好地巩固课堂学习，因此我们精心设计了上面的作业。其中【1】和【4】是本节课自然产生的问题，是课堂的延续。讲到猜想，学生应该了解哥德巴赫猜想，提高数学修养! 这也是课程标准在拓展内容中（拓展Ⅰ）的要求。让学生应用计算机和网络学习数学，查找资料，拓宽学习模式。【2】是数列问题，比较简单，希望每个学生都能成功，获得成功快乐的体验。【3】和【4】都是函数问题，应用归纳猜想解决函数问题，【3】是 高考试题。【5】矩阵呈现的数列综合问题，【6】、【7】和【思考】是几何问题，体验归纳猜想在几何中的应用，巩固课堂学习。【7】体现了变式生成问题的方法。【思考】和本节课小试牛刀的【1】有一定的联系，给学生思考的空间！
根据学生作业的反馈情况，能够看出我们的课堂教学效果不错，作业设计是合理的。