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结构优化的敏度分析技术

1  敏度分析方法
    结构敏度分析是为结构优化提供有关结构约束函数及目标函数的一阶甚至二阶导数信息。结构敏度分析包括有差分法、 解析法、 解析和差分结合的拟解析法。差分法通用性好, 易于实现, 但计算量大;解析法实现起来较困难, 但计算效率高;拟解析法在计算解析敏度困难时可予采用。这里主要介绍解析法。
· (1)拟载荷法
    考虑线性静力有限元分析的系统方程为
(20)
如果载荷F与设计变量向量X无关, 则由式(20)对X求导可得
(21)
    令, 则由式(2)可得拟载荷法求结构位移导数的公式为
(22)
R称为虚拟载荷。有限元法中, 总刚矩阵K为一稀疏带状对称正定矩阵。一般式(20)采用Coleskey三角分解来求解, 亦即相当于已在结构分析中得到, 从而易于获得。这里的第i行为

从式(22)可知, 拟载荷法适合于求解所有位移对所有设计变量或对某一个设计变量的导数。
· (2)单位载荷法
    假想仅在位移对应的节点和方向上施加单位载荷, 设其相应的位移响应为, 由式(20)对求导可得
(23)
    对式(44. 5-23)两边前乘单位载荷向量可得

    将上式两边转置, 并利用K的对称性易得单位载荷法求位移导数的公式为
(24)
    此方法适合于求某些位移自由度对所有设计变量或对某些设计变量的导数。一般当设计变量较少、 位移约束数目较少时用此方法较经济。
· (3)性态空间法
    前两种敏度分析方法是在设计空间中进行的。一般称应力、 位移等结构性态响应为性态变量, 因此在性态空间中约束可表示为
(25)
定义伴随变量向量, 使之满足

由式(25)对X求导可得
(26)
将拟载荷法公式(22)两边左乘有
(27)
将式(22)代入式(26)并利用K的对称性可得
(28)
当时, , , 此时式(28)变为
(29)
式(29)为用性态空间法计算位移导数的公式。事实上, 单位载荷法能够从这里的性态空间法或前面的拟载荷法导出。性态空间法不但适用于求位移约束导数, 而且也适用于求应力约束导数。只要对某个约束求出了伴随变量就能够求得其敏度值。
· (4)应力敏度分析
    应力敏度分析用来获取应力导数。考虑应力计算有限元公式
(30)
式中
——应力;
S——应力矩阵;
U——位移向量。
由式(30)对求导, 并考虑到尺寸优化时S与X无关, 故有应力敏度分析公式为
(31)
    从式(31)可知, 计算应力导数实质上是计算位移导数。由于结构优化中, 几乎所有单元应力均有约束, 因此应力导数计算量相当大。
    考虑到应力约束具有局部特性, 故实际应用时能够采用近似方法计算应力导数, 其效果是计算量剧减而又能具有足够的精度。这种近似计算方法是将结构在某一迭代步中作暂时静定化处理, 冻结结构内力, 即近似认为结构内力在某迭代步中与设计变量无关。
    对于杆, 则有

当i=j时, 有

当时, 有

对于其它类型单元, 结构应力约束往往采用von Mises当量应力约束。
· (5)梁结构位移敏度分析
    在结构优化中, 梁结构是十分复杂而且难以处理的问题, 特别对于受弯、 扭、 剪及轴力作用的空间梁结构更是如此。一方面对梁单元来说, 单元刚度矩阵十分复杂, 它不但与单元截面积A有关, 而且还与抗扭惯性矩、 抗弯惯性矩:和, 以及剪切面积、 等诸多几何尺寸因素有关。另一方面梁单元截面形状种类繁多, 不同的截面形状呈现出不同的复杂力学性态。为了减少设计变量数目及简化问题的复杂程度, 许多方法往往假设截面特性参数与截面面积之间有函数关系。例如, 这里、 根据不同截面选取不同的值。经过这一函数关系的引入, 每个梁单元可只设一个设计变量, 如面积或抗弯惯性矩, 使敏度分析及优化过程也变得较为简单。但这种方法的假设与实际工程梁结构差别太大, 难以实际应用。这里给出的方法, 则能够以单元截面的具体几何尺寸为设计变量。
    对于空间梁单元, 每个节点有6个自由度, 其单元刚度十分复杂。一般情况下, 为的函数, 而这6个几何特性量与具体截面类型有关, 如果直接由单元刚度对具体几何尺寸变量求导, 工作量大且求导结果也因截面类型的不同而各异。为了避免各截面类型都对单元刚度分别求导, 这里引人了梁结构中间变量即敏度变量的概念。定义梁单元的敏度变量为

单元刚度矩阵对敏度变量的导数为

以单元截面几何尺寸为设计变量时, 设计变量集合可用向量表示, n为设计变量总数。对敏度变量的导数, 能够经过Jacobian变换转变为对设计变量的导数:

式中
——Jacobian矩阵;
m ——敏度变量数目。
对空间梁结构m=6。当函数f为梁单元刚阵时, 则由上式可求得梁单元刚度矩阵对设计变量的导数, 进而可再由单位虚载荷法或拟载荷法求得位移导数。
2  敏度分析的实现
    在结构分析软件中增加敏度分析系统的原则是, 敏度分析系统应作为独立的功能模块, 并与原结构分析程序相结合, 敏度分析的模块不影响也不破坏原有程序的结构和功能。
    敏度分析模块需要参与优化的单元单刚的求导信息, 为节省计算量, 能够直接利用现有结构分析软件的单刚矩阵。这就要求在结构分析计算单刚前, 输人必要的控制信息, 如哪些单元的单刚要求导, 对哪个设计变量求导等。敏度分析算法还用到总刚、 位移和应力信息等, 这些信息的获取只能在结构分析求解位移线性方程组, 并计算出应力、 内力等之后。
    图2是敏度分析模块的总体结构, 图中未包括结构分析自身的模块。图3和图4分别是拟载荷法和单位虚载荷法的框图。

图2敏度分析系统总体结构

图3拟载荷法敏度分析框图

图4单位载荷法敏度分析框图
· ( 1) 单刚求导数的实施
    在有限元计算中, 各单元的有关计算多是在局部坐标系中给出的, 需转换到统一的总体坐标系中才能组装。因此为提高效率, 能够待单刚坐标转换之后对单刚求导。在实施求导过程中, 中只有一个, 其余。这里nn是参与优化的单元对应的变量号, , 是设计变量总数。因此, 将单刚对全部设计交量求导时, 只用计算单刚对一个设计变量的导数。
· (2)单位应力载荷下的位移响应的求解
    由于商用软件大多能处理多工况问题, 故仅只需将单位虚载荷作为一种载荷工况来处理, 即可利用有限元分析程序自身求得。
· (3)求的实施
    只有那些与有关得矩阵元素才为非零值, 因而其非零元素数目较少。在计算时, 只需计算那些非零元素的乘积, 而且不必计算总刚, 而只需直接从中求解。这样省去了总刚组集这一庞大的计算工作量, 因而计算效率可大大提高。
· (4)的组装
    在单位载荷法中, 无需对进行组装便可获得。可是在拟载荷法中进行敏度分析时, 则需要对进行组装才能获得, 这是因为在商用有限元软件中直接求是不可能的, 需要经过对求导才能间接获得。需要指出的是的组装与K的组装从方法上来说是完全相同的, 故这里不再详述。
· (5)求解
    为了充分利用已有的结构分析信息, 对于的求解策略应仔细考虑。在用有限元法求解U时, 一般采用Coleskey三角分解法。而求解与求解U类似, 是相当耗时的, 其中很大一部分时间消耗在三角分解上, 真正回代求解时则是十分迅速的。因此, 能够直接利用总刚分解后的信息, 进行少量的分解回代即可求解。