2022年初中数学中考烟台试题解析.docx

山东省烟台市2022年中考数学试卷
一、选择题〔此题共12小题，每题3分，总分值36分〕
1．〔3分〕〔2022•烟台〕﹣6的倒数是〔　　〕

A．

B．
﹣
C．
6
D．
﹣6
考点：
倒数．
分析：
根据乘积是1的两个数叫做互为倒数解答．
解答：
解：∵〔﹣6〕×〔﹣〕=1，
∴﹣6的倒数是﹣．
应选B．
点评：
此题考查了倒数的定义，是根底题，熟记概念是解题的关键．
2．〔3分〕〔2022•烟台〕以下是回收、绿色包装、节水、低碳四个标志，其中是中心对称图形的是〔　　〕

A．

B．

C．

D．

考点：
中心对称图形．
分析：
根据中心对称图形的定义，结合选项所给图形进行判断即可．
解答：
解：A、不是中心对称图形，故本选项错误；
B、是中心对称图形，故本选项正确；
C、不是中心对称图形，故本选项错误；
D、不是中心对称图形，故本选项错误；
应选B．
点评：
此题主要考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
3．〔3分〕〔2022•烟台〕“厉行勤俭节约，反对铺张浪费〞势在必行，最新统计数据显示，中国每年浪费食物总量折合粮食大约是210000000人一年的口粮．将210000000用科学记数法表示为〔　　〕

A．
2.1×109
B．
0.21×109
C．
2.1×108
D．
21×107
考点：
科学记数法—表示较大的数．
分析：
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
解答：
解：将210000000用科学记数法表示为：2.1×108．
应选：C．
点评：
此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4．〔3分〕〔2022•烟台〕以下水平放置的几何体中，俯视图不是圆的是〔　　〕

A．

B．

C．

D．

考点：
简单几何体的三视图．
分析：
俯视图是从上往下看得到的视图，分别判断出各选项的俯视图即可得出答案．
解答：
解：A、俯视图是一个圆，故本选项错误；
B、俯视图是一个圆，故本选项错误；
C、俯视图是一个正方形，不是圆，故本选项正确；
D、俯视图是一个圆，故本选项错误；
应选C．
点评：
此题考查了俯视图的知识，注意俯视图是从上往下看得到的视图．
5．〔3分〕〔2022•烟台〕以下各运算中，正确的选项是〔　　〕

A．
3a+2a=5a2
B．
〔﹣3a3〕2=9a6
C．
a4÷a2=a3
D．
〔a+2〕2=a2+4
考点：
同底数幂的除法；合并同类项；幂的乘方与积的乘方；完全平方公式．
分析：
根据合并同类项的法那么、幂的乘方及积的乘方法那么、同底数幂的除法法那么，分别进行各选项的判断即可．
解答：
解：A、3a+2a=5a，原式计算错误，故本选项错误；
B、〔﹣3a3〕2=9a6，原式计算正确，故本选项正确；
C、a4÷a2=a2，原式计算错误，故本选项错误；
D、〔a+2〕2=a2+2a+4，原式计算错误，故本选项错误；
应选B．
点评：
此题考查了同底数幂的除法、幂的乘方与积的乘方，解答此题的关键是熟练掌握各局部的运算法那么．
6．〔3分〕〔2022•青岛〕如图，将四边形ABCD先向左平移3个单位，再向上平移2个单位，那么点A的对应点A′的坐标是〔　　〕

A．
〔6，1〕
B．
〔0，1〕
C．
〔0，﹣3〕
D．
〔6，﹣3〕
考点：
坐标与图形变化-平移．
专题：
推理填空题．
分析：
由于将四边形ABCD先向左平移3个单位，再向上平移2个单位，那么点A也先向左平移3个单位，再向上平移2个单位，据此即可得到点A′的坐标．
解答：
解：∵四边形ABCD先向左平移3个单位，再向上平移2个单位，
∴点A也先向左平移3个单位，再向上平移2个单位，
∴由图可知，A′坐标为〔0，1〕．
应选B．
点评：
此题考查了坐标与图形的变化﹣﹣平移，此题此题考查了坐标系中点、线段的平移规律，在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．
7．〔3分〕〔2022•烟台〕一个多边形截去一个角后，形成另一个多边形的内角和为720°，那么原多边形的边数为〔　　〕

A．
5
B．
5或6
C．
5或7
D．
5或6或7
考点：
多边形内角与外角．
分析：
首先求得内角和为720°的多边形的边数，即可确定原多边形的边数．
解答：
解：设内角和为720°的多边形的边数是n，那么〔n﹣2〕•180=720，
解得：n=6．
那么原多边形的边数为5或6或7．
应选D．
点评：
此题考查了多边形的内角和定理，理解分三种情况是关键．
8．〔3分〕〔2022•烟台〕将正方形图1作如下操作：第1次：分别连接各边中点如图2，得到5个正方形；第2次：将图2左上角正方形按上述方法再分割如图3，得到9个正方形…，以此类推，根据以上操作，假设要得到2022个正方形，那么需要操作的次数是〔　　〕

A．
502
B．
503
C．
504
D．
505
考点：
规律型：图形的变化类．
分析：
根据正方形的个数变化得出第n次得到2022个正方形，那么4n+1=2022，求出即可．
解答：
解：∵第1次：分别连接各边中点如图2，得到4+1=5个正方形；
第2次：将图2左上角正方形按上述方法再分割如图3，得到4×2+1=9个正方形…，
以此类推，根据以上操作，假设第n次得到2022个正方形，那么4n+1=2022，
解得：n=503．
应选：B．
点评：
此题主要考查了图形的变化类，根据得出正方形个数的变化规律是解题关键．
9．〔3分〕〔2022•烟台〕实数a，b分别满足a2﹣6a+4=0，b2﹣6b+4=0，且a≠b，那么的值是〔　　〕

A．
7
B．
﹣7
C．
11
D．
﹣11
考点：
根与系数的关系．
专题：
计算题．
分析：
根据两等式得到a与b为方程x2﹣6x+4=0的两根，利用根与系数的关系求出a+b与ab的值，所求式子通分并利用同分母分式的加法法那么计算，再利用完全平方公式变形，将a+b与ab的值代入计算即可求出值．
解答：
解：根据题意得：a与b为方程x2﹣6x+4=0的两根，
∴a+b=6，ab=4，
那么原式===7．
应选A
点评：
此题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解此题的关键．
10．〔3分〕〔2022•烟台〕如图，⊙O1的半径为1cm，⊙O2的半径为2cm，将⊙O1，⊙O2放置在直线l上，如果⊙O1在直线l上任意滚动，那么圆心距O1O2的长不可能是〔　　〕

A．
6cm
B．
3cm
C．
2cm
D．
0.5cm
考点：
圆与圆的位置关系．
分析：
根据在滚动的过程中两圆的位置关系可以确定圆心距的关系．
解答：
解：∵⊙O1的半径为1cm，⊙O2的半径为2cm，
∴当两圆内切时，圆心距为1，
∵⊙O1在直线l上任意滚动，
∴两圆不可能内含，
∴圆心距不能小于1，
应选D．
点评：
此题考查了两圆的位置关系，此题中两圆不可能内含．
11．〔3分〕〔2022•烟台〕如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一局部，其对称轴为x=﹣1，且过点〔﹣3，0〕．以下说法：①abc＜0；②2a﹣b=0；③4a+2b+c＜0；④假设〔﹣5，y1〕，〔，y2〕是抛物线上两点，那么
y1＞y2．其中说法正确的选项是〔　　〕

A．
①②
B．
②③
C．
①②④
D．
②③④
考点：
二次函数图象与系数的关系．
分析：
根据图象得出a＞0，b=2a＞0，c＜0，即可判断①②；把x=2代入抛物线的解析式即可判断③，求出点〔﹣5，y1〕关于对称轴的对称点的坐标是〔3，y1〕，根据当x＞﹣1时，y随x的增大而增大即可判断④．
解答：
解：∵二次函数的图象的开口向上，
∴a＞0，
∵二次函数的图象y轴的交点在y轴的负半轴上，
∴c＜0，
∵二次函数图象的对称轴是直线x=﹣1，
∴﹣=﹣1，
∴b=2a＞0，
∴abc＜0，∴①正确；
2a﹣b=2a﹣2a=0，∴②正确；
∵二次函数y=ax2+bx+c图象的一局部，其对称轴为x=﹣1，且过点〔﹣3，0〕．
∴与x轴的另一个交点的坐标是〔1，0〕，
∴把x=2代入y=ax2+bx+c得：y=4a+2b+c＞0，∴③错误；
∵二次函数y=ax2+bx+c图象的对称轴为x=﹣1，
∴点〔﹣5，y1〕关于对称轴的对称点的坐标是〔3，y1〕，
根据当x＞﹣1时，y随x的增大而增大，
∵＜3，
∴y2＜y1，∴④正确；
应选C．
点评：
此题考查了二次函数的图象与系数的关系的应用，题目比较典型，主要考查学生的理解能力和辨析能力．
12．〔3分〕〔2022•烟台〕如图1，E为矩形ABCD边AD上一点，点P从点B沿折线BE﹣ED﹣DC运动到点C时停止，点Q从点B沿BC运动到点C时停止，它们运动的速度都是1cm/s．假设P，Q同时开始运动，设运动时间为t〔s〕，△BPQ的面积为y〔cm2〕．y与t的函数图象如图2，那么以下结论错误的选项是〔　　〕

A．
AE=6cm
B．
sin∠EBC=

C．
当0＜t≤10时，y=t2
D．
当t=12s时，△PBQ是等腰三角形
考点：
动点问题的函数图象．
分析：
由图2可知，在点〔10，40〕至点〔14，40〕区间，△BPQ的面积不变，因此可推论BC=BE，由此分析动点P的运动过程如下：
〔1〕在BE段，BP=BQ；持续时间10s，那么BE=BC=10；y是t的二次函数；
〔2〕在ED段，y=40是定值，持续时间4s，那么ED=4；
〔3〕在DC段，y持续减小直至为0，y是t的一次函数．
解答：
解：〔1〕结论A正确．理由如下：
分析函数图象可知，BC=10cm，ED=4cm，故AE=AD﹣ED=BC﹣ED=10﹣4=6cm；

〔2〕结论B正确．理由如下：
如答图1所示，连接EC，过点E作EF⊥BC于点F，
由函数图象可知，BC=BE=10cm，S△BEC=40=BC•EF=×10×EF，∴EF=8，
∴sin∠EBC===；

〔3〕结论C正确．理由如下：
如答图2所示，过点P作PG⊥BQ于点G，
∵BQ=BP=t，
∴y=S△BPQ=BQ•PG=BQ•BP•sin∠EBC=t•t•=t2．

〔4〕结论D错误．理由如下：
当t=12s时，点Q与点C重合，点P运动到ED的中点，设为N，如答图3所示，连接NB，NC．
此时AN=8，ND=2，由勾股定理求得：NB=，NC=，
∵BC=10，
∴△BCN不是等腰三角形，即此时△PBQ不是等腰三角形．

点评：
此题考查动点问题的函数图象，需要结合几何图形与函数图象，认真分析动点的运动过程．突破点在于正确判断出BC=BE=10cm．
二、填空题〔此题共6小题，每题3分，总分值18分〕
13．〔3分〕〔2022•烟台〕分解因式：a2b﹣4b3=　b〔a+2b〕〔a﹣2b〕　．
考点：
提公因式法与公式法的综合运用．
分析：
先提取公因式b，再根据平方差公式进行二次分解．平方差公式：a2﹣b2=〔a+b〕〔a﹣b〕．
解答：
解：a2b﹣4b3=b〔a2﹣4b2〕
=b〔a+2b〕〔a﹣2b〕．
故答案为b〔a+2b〕〔a﹣2b〕．
点评：
此题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用平方差公式进行二次分解，注意分解要彻底．
14．〔3分〕〔2022•烟台〕不等式的最小整数解是　x=3　．
考点：
一元一次不等式组的整数解．
分析：
先求出一元一次不等式组的解集，再根据x是整数得出最小整数解．
解答：
解：，
解不等式①，得x≥1，
解不等式②，得x＞2，
所以不等式组的解集为x＞2，
所以最小整数解为3．
故答案为：x=3．
点评：
此题考查的是一元一次不等式组的整数解，正确解出不等式组的解集是解决此题的关键．求不等式组的解集，应遵循以下原那么：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．
15．〔3分〕〔2022•烟台〕如图，四边形ABCD是等腰梯形，∠ABC=60°，假设其四边满足长度的众数为5，平均数为，上、下底之比为1：2，那么BD=．
考点：
等腰梯形的性质；算术平均数；众数．
分析：
设梯形的四边长为5，5，x，2x，根据平均数求出四边长，求出△BDC是直角三角形，根据勾股定理求出即可．
解答：
解：设梯形的四边长为5，5，x，2x，
那么=，
x=5，
那么AB=CD=5，AD=5，BC=10，
∵AB=AD，
∴∠ABD=∠ADB，
∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠DBC，
∴∠ABD=∠DBC，
∵∠ABC=60°，
∴∠DBC=30°，
∵等腰梯形ABCD，AB=DC，
∴∠C=∠ABC=60°，
∴∠BDC=90°，
∴在Rt△BDC中，由勾股定理得：BD==5，
故答案为：5．
点评：
此题考查了梯形性质，平行线性质，勾股定理，三角形内角和定理，等腰三角形的性质等知识点的应用，关键是求出BC、DC长和得出三角形DCB是等腰三角形．
16．〔3分〕〔2022•烟台〕如图，▱ABCD的周长为36，对角线AC，BD相交于点O．点E是CD的中点，BD=12，那么△DOE的周长为　15　．
考点：
三角形中位线定理；平行四边形的性质．
分析：
根据平行四边形的对边相等和对角线互相平分可得，OB=OD，又因为E点是CD的中点，可得OE是△BCD的中位线，可得OE=BC，所以易求△DOE的周长．
解答：
解：∵▱ABCD的周长为36，
∴2〔BC+CD〕=36，那么BC+CD=18．
∵四边形ABCD是平行四边形，对角线AC，BD相交于点O，BD=12，
∴OD=OB=BD=6．
又∵点E是CD的中点，
∴OE是△BCD的中位线，DE=CD，
∴OE=BC，
∴△DOE的周长=OD+OE+DE=BD+〔BC+CD〕=6+9=15，即△DOE的周长为15．
故答案是：15．

点评：
此题考查了三角形中位线定理、平行四边形的性质．解题时，利用了“平行四边形对角线互相平分〞、“平行四边形的对边相等〞的性质．
17．〔3分〕〔2022•烟台〕如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=54°，∠BAC的平分线与AB的垂直平分线交于点O，将∠C沿EF〔E在BC上，F在AC上〕折叠，点C与点O恰好重合，那么∠OEC为　108　度．
考点：
线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；翻折变换〔折叠问题〕．
分析：
连接OB、OC，根据角平分线的定义求出∠BAO，根据等腰三角形两底角相等求出∠ABC，再根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得OA=OB，根据等边对等角可得∠ABO=∠BAO，再求出∠OBC，然后判断出点O是△ABC的外心，根据三角形外心的性质可得OB=OC，再根据等边对等角求出∠OCB=∠OBC，根据翻折的性质可得OE=CE，然后根据等边对等角求出∠COE，再利用三角形的内角和定理列式计算即可得解．
解答：
解：如图，连接OB、OC，
∵∠BAC=54°，AO为∠BAC的平分线，
∴∠BAO=∠BAC=×54°=27°，
又∵AB=AC，
∴∠ABC=〔180°﹣∠BAC〕=〔180°﹣54°〕=63°，
∵DO是AB的垂直平分线，
∴OA=OB，
∴∠ABO=∠BAO=27°，
∴∠OBC=∠ABC﹣∠ABO=63°﹣27°=36°，
∵DO是AB的垂直平分线，AO为∠BAC的平分线，
∴点O是△ABC的外心，
∴OB=OC，
∴∠OCB=∠OBC=36°，
∵将∠C沿EF〔E在BC上，F在AC上〕折叠，点C与点O恰好重合，
∴OE=CE，
∴∠COE=∠OCB=36°，
在△OCE中，∠OEC=180°﹣∠COE﹣∠OCB=180°﹣36°﹣36°=108°．
故答案为：108．

点评：
此题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，等腰三角形三线合一的性质，等边对等角的性质，以及翻折变换的性质，综合性较强，难度较大，作辅助线，构造出等腰三角形是解题的关键．
18．〔3分〕〔2022•烟台〕如图，正方形ABCD的边长为4，点E在BC上，四边形EFGB也是正方形，以B为圆心，BA长为半径画，连结AF，CF，那么图中阴影局部面积为　4π　．
考点：
正方形的性质；整式的混合运算．
分析：
设正方形EFGB的边长为a，表示出CE、AG，然后根据阴影局部的面积=S扇形ABC+S正方形EFGB+S△CEF﹣S△AGF，列式计算即可得解．
解答：
解：设正方形EFGB的边长为a，那么CE=4﹣a，AG=4+a，
阴影局部的面积=S扇形ABC+S正方形EFGB+S△CEF﹣S△AGF
=+a2+a〔4﹣a〕﹣a〔4+a〕
=4π+a2+2a﹣a2﹣2a﹣a2
=4π．
故答案为：4π．
点评：
此题考查了正方形的性质，整式的混合运算，扇形的面积计算，引入小正方形的边长这一中间量是解题的关键．
三、解答题〔本大题共8个小题，总分值46分〕
19．〔6分〕〔2022•烟台〕先化简，再求值：，其中x满足x2+x﹣2=0．
考点：
分式的化简求值．
专题：
计算题．
分析：
先根据分式混合运算的法那么把原式进行化简，再求出x的值，把x的值代入进行计算即可．
解答：
解：原式=•
=•
=，
由x2+x﹣2=0，解得x1=﹣2，x2=1，
∵x≠1，
∴当x=﹣2时，原式==．
点评：
此题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法那么是解答此题的关键．
20．〔6分〕〔2022•烟台〕如图，一艘海上巡逻船在A地巡航，这时接到B地海上指挥中心紧急通知：在指挥中心北偏西60°方向的C地，有一艘渔船遇险，要求马上前去救援．此时C地位于北偏西30°方向上，A地位于B地北偏西75°方向上，A、B两地之间的距离为12海里．求A、C两地之间的距离〔参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.45，结果精确到0.1〕
考点：
解直角三角形的应用-方向角问题．
分析：
过点B作BD⊥CA交CA延长线于点D，根据题意可得∠ACB和∠ABC的度数，然后根据三角形外角定理求出∠DAB的度数，AB=12海里，可求出BD、AD的长度，在Rt△CBD中，解直角三角形求出CD的长度，继而可求出A、C之间的距离．
解答：
解：过点B作BD⊥CA交CA延长线于点D，
由题意得，∠ACB=60°﹣30°=30°，
∠ABC=75°﹣60°=15°，
∴∠DAB=∠DBA=45°，
在Rt△ABD中，AB=12，∠DAB=45°，
∴BD=AD=ABcos45°=6，
在Rt△CBD中，CD==6，
∴AC=6﹣6≈6.2〔海里〕．
答：A、C两地之间的距离为6.2海里．

点评：
此题考查了解直角三角形的知识，解答此题的关键是构造直角三角形，利用三角函数的知识求解相关线段的长度，难度一般．
21．〔7分〕〔2022•烟台〕如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O与坐标原点重合，A、C分别在坐标轴上，点B的坐标为〔4，2〕，直线y=﹣x+3交AB，BC分别于点M，N，反比例函数y=的图象经过点M，N．
〔1〕求反比例函数的解析式；
〔2〕假设点P在y轴上，且△OPM的面积与四边形BMON的面积相等，求点P的坐标．
考点：
反比例函数与一次函数的交点问题．
分析：
〔1〕求出OA=BC=2，将y=2代入y=﹣x+3求出x=2，得出M的坐标，把M的坐标代入反比例函数的解析式即可求出答案；
〔2〕求出四边形BMON的面积，求出OP的值，即可求出P的坐标．
解答：
解：〔1〕∵B〔4，2〕，四边形OABC是矩形，
∴OA=BC=2，
将y=2代入y=﹣x+3得：x=2，
∴M〔2，2〕，
把M的坐标代入y=得：k=4，
∴反比例函数的解析式是y=；

〔2〕∵S四边形BMON=S矩形OABC﹣S△AOM﹣S△CON
=4×2﹣4=4，
由题意得： OP×AM=4，
∵AM=2，
∴OP=4，
∴点P的坐标是〔0，4〕或〔0，﹣4〕．
点评：
此题考查了用待定系数法求反比例函数的解析式，一次函数与反比例函数的交点问题，三角形的面积，矩形的性质等知识点的应用，主要考查学生应用性质进行计算的能力，题目比较好，难度适中．
22．〔9分〕〔2022•烟台〕今年以来，我国持续大面积的雾霾天气让环保和健康问题成为焦点．为了调查学生对雾霾天气知识的了解程度，某校在学生中做了一次抽样调查，调查结果共分为四个等级：A．非常了解；B．比较了解；C．根本了解；D．不了解．根据调查统计结果，绘制了不完整的三种统计图表．
对雾霾了解程度的统计表：
对雾霾的了解程度
百分比
A．非常了解
5%
B．比较了解
m
C．根本了解
45%
D．不了解
n
请结合统计图表，答复以下问题．
〔1〕本次参与调查的学生共有　400　人，m=　15%　，n=　35%　；
〔2〕图2所示的扇形统计图中D局部扇形所对应的圆心角是　126　度；
〔3〕请补全图1示数的条形统计图；
〔4〕根据调查结果，学校准备开展关于雾霾知识竞赛，某班要从“非常了解〞态度的小明和小刚中选一人参加，现设计了如下游戏来确定，具体规那么是：把四个完全相同的乒乓球标上数字1，2，3，4，然后放到一个不透明的袋中，一个人先从袋中随机摸出一个球，另一人再从剩下的三个球中随机摸出一个球．假设摸出的两个球上的数字和为奇数，那么小明去；否那么小刚去．请用树状图或列表法说明这个游戏规那么是否公平．
考点：
游戏公平性；扇形统计图；条形统计图；列表法与树状图法．
分析：
〔1〕根据“根本了解〞的人数以及所占比例，可求得总人数；在根据频数、百分比之间的关系，可得m，n的值；
〔2〕根据在扇形统计图中，每局部占总体的百分比等于该局部所对应的扇形圆心的度数与360°的比可得出统计图中D局部扇形所对应的圆心角；
〔3〕根据D等级的人数为：400×35%=140；可得〔3〕的答案；
〔4〕用树状图列举出所有可能，进而得出答案．
解答：
解：〔1〕利用条形图和扇形图可得出：本次参与调查的学生共有：180÷45%=400；
m=×100%=15%，n=1﹣5%﹣15%﹣45%=35%；

〔2〕图2所示的扇形统计图中D局部扇形所对应的圆心角是：360°×35%=126°；

〔3〕∵D等级的人数为：400×35%=140；
如下列图：
；

〔4〕列树状图得：

所以从树状图可以看出所有可能的结果有12种，数字之和为奇数的有8种，
那么小明参加的概率为：P==，
小刚参加的概率为：P==，
故游戏规那么不公平．
故答案为：400，15%，35%；126．
点评：
此题主要考查了游戏公平性，涉及扇形统计图的意义与特点，即可以比较清楚地反映出局部与局部、局部与整体之间的数量关系．
23．〔8分〕〔2022•烟台〕烟台享有“苹果之乡〞的美誉．甲、乙两超市分别用3000元以相同的进价购进质量相同的苹果．甲超市销售方案是：将苹果按大小分类包装销售，其中大苹果400千克，以进价的2倍价格销售，剩下的小苹果以高于进价10%销售．乙超市的销售方案是：不将苹果按大小分类，直接包装销售，价格按甲超市大、小两种苹果售价的平均数定价．假设两超市将苹果全部售完，其中甲超市获利2100元〔其它本钱不计〕．问：
〔1〕苹果进价为每千克多少元
〔2〕乙超市获利多少元并比较哪种销售方式更合算．
考点：
分式方程的应用．
分析：
〔1〕先设苹果进价为每千克x元，根据两超市将苹果全部售完，其中甲超市获利2100元列出方程，求出x的值，再进行检验即可求出答案；
〔2〕根据〔1〕求出每个超市苹果总量，再根据大、小苹果售价分别为10元和5.5元，求出乙超市获利，再与甲超市获利2100元相比较即可．
解答：
解：〔1〕设苹果进价为每千克x元，根据题意得：
400x+10%x〔﹣400〕=2100，
解得：x=5，
经检验x=5是原方程的解，
答：苹果进价为每千克5元．

〔2〕由〔1〕得，每个超市苹果总量为：=600〔千克〕，
大、小苹果售价分别为10元和5.5元，
那么乙超市获利600×〔﹣5〕=1650〔元〕，
∵甲超市获利2100元，
∴甲超市销售方式更合算．
点评：
此题考查了分式方程的应用，关键是读懂题意，找出题目中的等量关系，根据两超市将苹果全部售完，其中甲超市获利2100元列出方程，解方程时要注意检验．
24．〔2022•烟台〕如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，连接AC交⊙O于点D，E为上一点，连结AE，BE，BE交AC于点F，且AE2=EF•EB．
〔1〕求证：CB=CF；
〔2〕假设点E到弦AD的距离为1，cos∠C=，求⊙O的半径．
考点：
切线的性质；相似三角形的判定与性质．
分析：
〔1〕如图1，通过相似三角形〔△AEF∽△AEB〕的对应角相等推知，∠1=∠EAB；又由弦切角定理、对顶角相等证得∠2=∠3；最后根据等角对等边证得结论；
〔2〕如图2，连接OE交AC于点G，设⊙O的半径是r．根据〔1〕中的相似三角形的性质证得∠4=∠5，所以由“圆周角、弧、弦间的关系〞推知点E是弧AD的中点，那么OE⊥AD；然后通过解直角△ABC求得cos∠C=sin∠GAO==，那么以求r的值．
解答：
〔1〕证明：如图1，
∵AE2=EF•EB，
∴=．
又∠AEF=∠AEB，
∴△AEF∽△AEB，
∴∠1=∠EAB．
∵∠1=∠2，∠3=∠EAB，
∴∠2=∠3，
∴CB=CF；

〔2〕解：如图2，连接OE交AC于点G，设⊙O的半径是r．
由〔1〕知，△AEF∽△AEB，那么∠4=∠5．
∴=．
∴OE⊥AD，
∴EG=1．
∵cos∠C=，且∠C+∠GAO=90°，
∴sin∠GAO=，
∴=，即=，
解得，r=，即⊙O的半径是．

点评：
此题考查了切线的性质，相似三角形的判定与性质．解答〔2〕题的难点是推知点E是弧AD的中点．
25．〔10分〕〔2022•烟台〕，点P是直角三角形ABC斜边AB上一动点〔不与A，B重合〕，分别过A，B向直线CP作垂线，垂足分别为E，F，Q为斜边AB的中点．
〔1〕如图1，当点P与点Q重合时，AE与BF的位置关系是　AE∥BF　，QE与QF的数量关系式　QE=QF　；
〔2〕如图2，当点P在线段AB上不与点Q重合时，试判断QE与QF的数量关系，并给予证明；
〔3〕如图3，当点P在线段BA〔或AB〕的延长线上时，此时〔2〕中的结论是否成立请画出图形并给予证明．
考点：
全等三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线．
分析：
〔1〕证△BFQ≌△AEQ即可；
〔2〕证△FBQ≌△DAQ，推出QF=QD，根据直角三角形斜边上中线性质求出即可；
〔3〕证△AEQ≌△BDQ，推出DQ=QE，根据直角三角形斜边上中线性质求出即可．
解答：
解：〔1〕AE∥BF，QE=QF，
理由是：如图1，∵Q为AB中点，
∴AQ=BQ，
∵BF⊥CP，AE⊥CP，
∴BF∥AE，∠BFQ=∠AEQ，
在△BFQ和△AEQ中

∴△BFQ≌△AEQ〔AAS〕，
∴QE=QF，
故答案为：AE∥BF，QE=QF．

〔2〕QE=QF，
证明：如图2，延长FQ交AE于D，
∵AE∥BF，
∴∠QAD=∠FBQ，
在△FBQ和△DAQ中

∴△FBQ≌△DAQ〔ASA〕，
∴QF=QD，
∵AE⊥CP，
∴EQ是直角三角形DEF斜边上的中线，
∴QE=QF=QD，
即QE=QF．

〔3〕〔2〕中的结论仍然成立，
证明：如图3，
延长EQ、FB交于D，
∵AE∥BF，
∴∠1=∠D，
在△AQE和△BQD中
，
∴△AQE≌△BQD〔AAS〕，
∴QE=QD，
∵BF⊥CP，
∴FQ是斜边DE上的中线，
∴QE=QF．

点评：
此题考查了全等三角形的性质和判定，直角三角形斜边上中线性质的应用，注意：①全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，②全等三角形的性质是：全等三角形的对应边相等，对应角相等．
26．〔2022•烟台〕如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是边长为2的正方形，二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A，B，与x轴分别交于点E，F，且点E的坐标为〔﹣，0〕，以0C为直径作半圆，圆心为D．
〔1〕求二次函数的解析式；
〔2〕求证：直线BE是⊙D的切线；
〔3〕假设直线BE与抛物线的对称轴交点为P，M是线段CB上的一个动点〔点M与点B，C不重合〕，过点M作MN∥BE交x轴与点N，连结PM，PN，设CM的长为t，△PMN的面积为S，求S与t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围．S是否存在着最大值假设存在，求出最大值；假设不存在，请说明理由．
考点：
二次函数综合题．
分析：
〔1〕根据题意易得点A、B的坐标，然后把点A、B、E的坐标分别代入二次函数解析式，列出关于a、b、c的方程组，利用三元一次方程组来求得系数的值；
〔2〕如图，过点D作DG⊥BE于点G，构建相似三角形△EGD∽△ECB，根据它的对应边成比例得到=，由此求得DG=1〔圆的半径是1〕，那么易证得结论；
〔3〕利用待定系数法求得直线BE为：y=x+．那么易求P〔1，〕．然后由相似三角形△MNC∽△BEC的对应边成比例，线段间的和差关系得到CN=t，DN=t﹣1．所以
S=S△PND+S梯形PDCM﹣S△MNC=﹣+t〔0＜t＜2〕．由抛物线的性质可以求得S的最值．
解答：
解：〔1〕由题意，得A〔0，2〕，B〔2，2〕，E的坐标为〔﹣，0〕，
那么，
解得，，
∴该二次函数的解析式为：y=﹣x2+x+2；

〔2〕如图，过点D作DG⊥BE于点G．
由题意，得
ED=+1=，EC=2+=，BC=2，
∴BE==．
∵∠BEC=∠DEG，∠EGD=∠ECB=90°，
∴△EGD∽△ECB，
∴=，
∴DG=1．
∵⊙D的半径是1，且DG⊥BE，
∴BE是⊙D的切线；

〔3〕由题意，得
E〔﹣，0〕，B〔2，2〕．
设直线BE为y=kx+h〔k≠0〕．那么
，
解得，，
∴直线BE为：y=x+．
∵直线BE与抛物线的对称轴交点为P，对称轴直线为x=1，
∴点P的纵坐标y=，即P〔1，〕．
∵MN∥BE，
∴∠MNC=∠BEC．
∵∠C=∠C=90°，
∴△MNC∽△BEC，
∴=，
∴=，那么CN=t，
∴DN=t﹣1，
∴S△PND=DN•PD=〔t﹣1〕•=t﹣．
S△MNC=CN•CM=×t•t=t2．
S梯形PDCM=〔PD+CM〕•CD=•〔+t〕•1=+t．
∵S=S△PND+S梯形PDCM﹣S△MNC=﹣+t〔0＜t＜2〕．
∵抛物线S=﹣+t〔0＜t＜2〕的开口方向向下，
∴S存在最大值．当t=1时，S最大=．

点评：
此题考查了二次函数综合题，其中涉及到的知识点有待定系数法求二次函数的解析式，相似三角形的判定与性质以及二次函数最值的求法．注意配方法在〔3〕题中的应用．