高中圆锥曲线解题技巧和方法综合.pdf

圆锥曲线的解题技巧 一、常规七大题型：（1）中点弦问题 具有斜率的弦中点问题，常用设而不求法（点差法）：设曲线上两点为，代入方程，然后两方程相减，再应用中点关系及斜率公式（当然在这里也要注意斜率不存在的请款讨论），消去四个参数。如：（1）)0(12222babyax与直线相交于 A、B，设弦 AB 中点为 M(x0,y0)，则有02020kbyax。（2）)0,0(12222babyax与直线 l相交于 A、B，设弦 AB 中点为 M(x0,y0)则有02020kbyax（3）y2=2px（p0）与直线 l相交于 A、B 设弦 AB 中点为 M(x0,y0),则有 2y0k=2p,即 y0k=p.典型例题 给定双曲线。过 A（2，1）的直线与双曲线交于两点 及，求线段的中点 P 的轨迹方程。（2）焦点三角形问题 椭圆或双曲线上一点 P，与两个焦点、构成的三角形问题，常用正、余弦定理搭桥。典型例题 设 P(x,y)为椭圆上任一点，为焦点，。（1）求证离心率sinsin)sin(e；（2）求的最值。（3）直线与圆锥曲线位置关系问题 直线与圆锥曲线的位置关系的基本方法是解方程组，进而转化为一元二次方程后利用判别式、根与系数的关系、求根公式等来处理，应特别注意数形结合的思想，通过图形的直观性帮助分析解决问题，如果直线过椭圆的焦点，结合三大曲线的定义去解。典型例题 （1）求证：直线与抛物线总有两个不同交点 （2）设直线与抛物线的交点为 A、B，且 OA OB，求 p 关于 t的函数 f(t)的表达式。（4）圆锥曲线的相关最值（范围）问题 圆锥曲线中的有关最值（范围）问题，常用代数法和几何法解决。若命题的条件和结论具有明显的几何意义，一般可用图形性质来解决。若命题的条件和结论体现明确的函数关系式，则可建立目标函数（通常利用二次函数，三角函数，均值不等式）求最值。（1），可以设法得到关于 a 的不等式，通过解不等式求出 a 的范围，即：“求范围，找不等式”。或者将 a 表示为另一个变量的函数，利用求函数的值域求出 a 的范围；对于（2）首先要把NAB 的面积表示为一个变量的函数，然后再求它的最大值,即：“最值问题，函数思想”。最值问题的处理思路：1、建立目标函数。用坐标表示距离，用方程消参转化为一元二次函数的最值问题，关键是由方程求 x、y的范围；2、数形结合，用化曲为直的转化思想；3、利用判别式，对于二次函数求最值，往往由条件建立二次方程，用判别式求最值；4、借助均值不等式求最值。典型例题 已知抛物线 y2=2px(p0)，过 M（a,0）且斜率为 1 的直线 L与抛物线交于不同的两点 A、B，|AB|2p（1）求 a 的取值范围；（2）若线段 AB 的垂直平分线交 x轴于点 N，求NAB 面积的最大值。（5）求曲线的方程问题 1曲线的形状已知-这类问题一般可用待定系数法解决。典型例题 已知直线 L 过原点，抛物线 C 的顶点在原点，焦点在 x 轴正半轴上。若点 A（-1，0）和点 B（0，8）关于 L的对称点都在 C 上，求直线 L和抛物线 C 的方程。2曲线的形状未知-求轨迹方程 典型例题 已知直角坐标平面上点 Q（2，0）和圆 C：x2+y2=1,动点 M 到圆 C 的切线长与|MQ|的比等于常数（0）,求动点 M 的轨迹方程，并说明它是什么曲线。（6）存在两点关于直线对称问题 在曲线上两点关于某直线对称问题，可以按如下方式分三步解决：求两点所在的直线，求这两直线的交点，使这交点在圆锥曲线形内。（当然也可以利用韦达定理并结合判别式来解决）典型例题 已知椭圆 C 的方程，试确定 m的取值范围，使得对于直线，椭圆 C 上有不同两点关于直线对称 （7）两线段垂直问题 圆锥曲线两焦半径互相垂直问题，常用来处理或用向量的坐标运算来处理。典型例题 已知直线的斜率为，且过点，抛物线，直线与抛物线 C 有两个不同的交点（如图）。（1）求的取值范围；M N Q O（2）直线的倾斜角为何值时，A、B 与抛物线 C 的焦点连线互相垂直。四、解题的技巧方面：在教学中，学生普遍觉得解析几何问题的计算量较大。事实上，如果我们能够充分利用几何图形、韦达定理、曲线系方程，以及运用“设而不求”的策略，往往能够减少计算量。下面举例说明：（1）充分利用几何图形 解析几何的研究对象就是几何图形及其性质，所以在处理解析几何问题时，除了运用代数方程外，充分挖掘几何条件，并结合平面几何知识，这往往能减少计算量。典型例题 设直线与圆相交于 P、Q 两点，O 为坐标原点，若，求的值。（2）充分利用韦达定理及“设而不求”的策略 我们经常设出弦的端点坐标而不求它，而是结合韦达定理求解，这种方法在有关斜率、中点等问题中常常用到。典型例题 已知中心在原点 O，焦点在轴上的椭圆与直线相交于 P、Q 两点，且，求此椭圆方程。（3）充分利用曲线系方程 利用曲线系方程可以避免求曲线的交点，因此也可以减少计算。典型例题 求经过两已知圆和0 的交点，且圆心在直线：上的圆的方程。（4）充分利用椭圆的参数方程 椭圆的参数方程涉及到正、余弦，利用正、余弦的有界性，可以解决相关的求最值的问题 这也是我们常说的三角代换法。典型例题 P 为椭圆22221xyab上一动点，A 为长轴的右端点，B 为短轴的上端点，求四边形 OAPB 面积的最大值及此时点 P 的坐标。（5）线段长的几种简便计算方法 充分利用现成结果，减少运算过程 一般地，求直线与圆锥曲线相交的弦 AB 长的方法是：把直线方程代入圆锥曲线方程中，得到型如的方程，方程的两根设为，判别式为，则|12ak，若直接用结论，能减少配方、开方等运算过程。例 求直线被椭圆所截得的线段 AB 的长。结合图形的特殊位置关系，减少运算 在求过圆锥曲线焦点的弦长时，由于圆锥曲线的定义都涉及焦点，结合图形运用圆锥曲线的定义，可回避复杂运算。例 、是椭圆的两个焦点，AB 是经过的弦，若，求值|22BFAF 利用圆锥曲线的定义，把到焦点的距离转化为到准线的距离 例 点 A（3，2）为定点，点 F是抛物线的焦点，点 P 在抛物线上移动，若取得最小值，求点 P 的坐标。圆锥曲线解题方法技巧归纳 第一、知识储备：1.直线方程的形式（1）直线方程的形式有五件：点斜式、两点式、斜截式、截距式、一般式。（2）与直线相关的重要内容 倾斜角与斜率tan,0,)k 点 到 直 线 的 距 离0022AxByCdAB 夹 角 公 式：2121tan1kkk k（3）弦长公式 直线ykx b上两点1122(,),(,)A x yB x y间的距离：2121ABkxx 221212(1)()4kxxx x 或12211AByyk（4）两条直线的位置关系 121 2llkk=-1 212121/bbkkll且 2、圆锥曲线方程及性质(1)、椭圆的方程的形式有几种？（三种形式）标准方程：221(0,0)xymnmnmn且 距离式方程：2222()()2xcyxcya 参数方程：cos,sinxayb(2)、双曲线的方程的形式有两种 标准方程：221(0)xym nmn 距离式方程：2222|()()|2xcyxcya(3)、三种圆锥曲线的通径你记得吗？22222bbpaa椭圆：；双曲线：；抛物线：(4)、圆锥曲线的定义你记清楚了吗？如：已知21FF、是椭圆13422yx的两个焦点，平面内一个动点 M 满足221MFMF则动点 M 的轨迹是（）A、双曲线；B、双曲线的一支；C、两条射线；D、一条射线(5)、焦点三角形面积公式：122tan2F PFPb在椭圆上时，S 122cot2F PFPb在双曲线上时，S（其中2221212121212|4,cos,|cos|PFPFcF PFPFPFPFPFPFPF）(6)、记住焦半径公式：（1）00;xaexaey椭圆焦点在 轴上时为焦点在y轴上时为，可简记为“左加右减，上加下减”。（2）0|xe xa双曲线焦点在 轴上时为 （3）11|,|22ppxxy抛物线焦点在 轴上时为焦点在y轴上时为(6)、椭圆和双曲线的基本量三角形你清楚吗？第二、方法储备 1、点差法（中点弦问题）设11,yxA、22,yxB，baM,为椭圆13422yx的弦AB中点则有 1342121yx，1342222yx；两式相减得 03422212221yyxx 3421212121yyyyxxxxABk=ba43 2、联立消元法：你会解直线与圆锥曲线的位置关系一类的问题吗？经典套路是什么？如果有两个参数怎么办？设直线的方程，并且与曲线的方程联立，消去一个未知数，得到一个二次方程，使用判别式0，以及根与系数的关系，代入弦长公式，设曲线上的两点1122(,),(,)A x yB x y，将这两点代入曲线方程得到12 两个式子，然后1-2，整体消元 ，若有两个字母未知数，则要找到它们的联系，消去一个，比如直线过焦点，则可以利用三点 A、B、F 共线解决之。若有向量的关系，则寻找坐标之间的关系，根与系数的关系结合消元处理。一旦设直线为ykx b，就意味着 k 存在。例 1、已知三角形 ABC 的三个顶点均在椭圆805422 yx上，且点 A是椭圆短轴的一个端点（点 A 在 y轴正半轴上）.（1）若三角形 ABC 的重心是椭圆的右焦点，试求直线 BC 的方程;（2）若角 A 为090，AD 垂直 BC 于 D，试求点 D 的轨迹方程.分析：第一问抓住“重心”，利用点差法及重心坐标公式可求出中点弦 BC 的斜率，从而写出直线 BC 的方程。第二问抓住角 A 为090可得出 AB AC，从而得016)(14212121yyyyxx，然后利用联立消元法及交轨法求出点 D 的轨迹方程；解：（1）设 B（1x,1y）,C(2x,2y),BC 中点为(00,yx),F(2,0)则有11620,1162022222121yxyx 两式作差有 016)(20)(21212121yyyyxxxx04500kyx (1)F(2,0)为三角形重心，所以由2321xx，得30 x，由03421yy得20y，代入（1）得56k 直线 BC 的方程为02856 yx 2)由 AB AC 得016)(14212121yyyyxx （2）设直线BC方程为8054,22yxbkxy代入，得080510)54(222bbkxxk 2215410kkbxx，222154805kbxx 2222122154804,548kkbyykkyy 代入（2）式得 0541632922kbb，解得)(4 舍b或94b 直 线 过 定点（0，)94，设 D（x,y），则1494xyxy，即016329922yxy 所以所求点D 的轨迹方程是)4()920()916(222yyx。4、设而不求法 例 2、如图，已知梯形 ABCD中CDAB2，点 E 分有向线段AC所成的比为，双曲线过 C、D、E 三点，且以 A、B 为焦点当4332时，求双曲线离心率e的取值范围。分析：本小题主要考查坐标法、定比分点坐标公式、双曲线的概念和性质，推理、运算能力和综合运用数学知识解决问题的能力。建立直角坐标系xOy，如图，若设 Chc,2，代入12222byax，求得h，进 而 求 得,EExy再 代 入12222byax，建 立 目 标 函 数(,)0f a b c，整理(,)0f e，此运算量可见是难上加难.我们对h可采取设而不求的解题策略,建立目标函数(,)0f a b c，整理(,)0f e,化繁为简.解法一：如图，以 AB 为垂直平分线为y轴，直线 AB 为x轴，建立直角坐标系xOy，则 CD y轴因为双曲线经过点 C、D，且以 A、B 为焦点，由双曲线的对称性知 C、D 关于y轴对称 依题意，记 A0 ,c，Chc,2，E00,yx，其中|21ABc为双曲线的半焦距，h是梯形的高，由定比分点坐标公式得 122120cccx，10hy 设双曲线的方程为12222byax，则离心率ace 由点 C、E 在双曲线上，将点 C、E 的坐标和ace代入双曲线方程得 14222bhe，11124222bhe 由式得 14222ebh，将式代入式，整理得 214442e，故 1312e 由题设4332得，43231322e 解得 107 e 所以双曲线的离心率的取值范围为10,7 分析：考虑,AEAC为焦半径,可用焦半径公式,AEAC用,E C的横坐标表示，回避h的计算,达到设而不求的解题策略 解法二：建系同解法一，,ECAEaexACaex ，22121Ecccx，又1AEAC，代入整理1312e，由题设4332得，43231322e 解得 107 e 所以双曲线的离心率的取值范围为10,7 5、判别式法 例3已知双曲线122:22xyC，直线l过点 0,2A，斜率为k，当10k时，双曲线的上支上有且仅有一点 B 到直线l的距离为2，试求k的值及此时点 B 的坐标。分析 1：解析几何是用代数方法来研究几何图形的一门学科，因此，数形结合必然是研究解析几何问题的重要手段.从“有且仅有”这个微观入手，对照草图，不难想到：过点 B 作与l平行的直线，必与双曲线 C 相切.而相切的代数表现形式是所构造方程的判别式0.由此出发，可设计如下解题思路：10)2(:kxkyl 把直线 l 的方程代入双曲线方程，消去 y，令判别式0 直线 l 在 l的上方且到直线 l的距离为2 kkkxyl2222:的值解得k 解题过程略.分析 2：如果从代数推理的角度去思考，就应当把距离用代数式表达，即所谓“有且仅有一点 B 到直线l的距离为2”，相当于化归的方程有唯一解.据此设计出如下解题思路：简解：设点)2,(2xxM为双曲线 C 上支上任一点，则点 M 到直线l的距离为：212222kkxkx 10k 于是，问题即可转化为如上关于x的方程.由于10k，所以kxxx22，从而有 转化为一元二次方程根的问题 求解 问题 关于x的方程10212222kkkxkx有唯一.222222kxkxkxkx 于是关于x的方程 )1(22222kkxkx 02)1(2,)2)1(2(222222kxkkkxkkx .02)1(2,022)1(22)1(221222222kxkkkkxkkkxk 由10k可知：方程 022)1(22)1(22122222kkxkkkxk的二根同正，故02)1(22kxkk恒成立，于是 等价于 022)1(22)1(22122222kkxkkkxk.由如上关于x的方程有唯一解，得其判别式0，就可解得 552k.点评：上述解法紧扣解题目标，不断进行问题转换，充分体现了全局观念与整体思维的优越性.例 4 已知椭圆 C:和点 P（4，1），过 P 作直线交椭圆于A、B 两点，在线段 AB 上取点 Q，使，求动点 Q 的轨迹所在曲线的方程.分析：这是一个轨迹问题，解题困难在于多动点的困扰，学生往往不知从何入手。其实，应该想到轨迹问题可以通过参数法求解.因此，首先是选定参数，然后想方设法将点 Q 的横、纵坐标用参数表达，最后通过消参可达到解题的目的.由于点),(yxQ的变化是由直线 AB 的变化引起的，自然可选择直线AB 的斜率k作为参数，如何将yx,与k联系起来？一方面利用点 Q 在直线 AB 上；另一方面就是运用题目条件：来转化.由 A、B、P、Q 四点共线，不难得到)(82)(4BABABAxxxxxxx，要建立x与k的关系，只需将直线 AB 的方程代入椭圆 C 的方程，利用韦达定理即可.通过这样的分析，可以看出，虽然我们还没有开始解题，但对于如何解决本题，已经做到心中有数.将直线方程代入椭圆方程，消去y，利用韦达定理 利用点 Q 满足直线 AB 的方程：y=k(x4)+1，消去参数 k 点 Q 的轨迹方程 QBAQPBAP )(82)(4BABABAxxxxxxx kfx 在得到 kfx 之后，如果能够从整体上把握，认识到：所谓消参，目的不过是得到关于yx,的方程（不含k），则可由1)4(xky解得41xyk，直接代入 kfx 即可得到轨迹方程。从而简化消去参的过程。简解：设),(),(,2211yxQyxByxA，则由QBAQPBAP可得：xxxxxx212144，解之得：)(82)(4212121xxxxxxx （1）设直线 AB 的方程为：1)4(xky，代入椭圆 C 的方程，消去y得出关于 x 的一元二次方程：08)41(2)41(412222kxkkxk （2）.128)41(2,12)14(42221221kkxxkkkxx 代入（1），化简得：.234kkx (3)与1)4(xky联立，消去k得：.0)4(42xyx 在（2）中，由02464642kk，解得 41024102k，结合（3）可求得.910216910216x 故知点Q 的轨迹方程为：042yx （910216910216x）.点评：由方程组实施消元，产生一个标准的关于一个变量的一元二次方程，其判别式、韦达定理模块思维易于想到.这当中，难点在引出参，活点在应用参，重点在消去参.，而“引参、用参、消参”三步曲，正是解析几何综合问题求解的一条有效通道.6、求根公式法 例 5 设直线l过点 P（0，3），和椭圆xy22941顺次交于 A、B 两点，试求的取值范围.分析：本题中，绝大多数同学不难得到：APPB=BAxx，但从此后却一筹莫展,问题的根源在于对题目的整体把握不够.事实上，所谓求取值范围，不外乎两条路：其一是构造所求变量关于某个（或某几个）参数的函数关系式（或方程），这只需利用对应的思想实施；其二则是构造关于所求量的一个不等关系.分析 1:从第一条想法入手，=BAxx已经是一个关系式，但由于有两个变量BAxx,，同时这两个变量的范围不好控制，所以自然想到利用第 3 个变量直线AB的斜率k.问题就转化为如何将BAxx,转化为关于k的表达式，到此为止，将直线方程代入椭圆方程，消去 y得出关于x的一元二次方程，其求根公式呼之欲出.所求量的取值范围 把直线 l的方程 y=kx+3 代入椭圆方程，消去 y 得到关于 x的一元二次方程 xA=f（k），xB=g（k）得到所求量关于 k 的函数关系式 求根公式 AP/PB=（xA/xB）由判别式得出 k 的取值范围 简解 1：当直线l垂直于 x 轴时，可求得51PBAP;当l与 x 轴不垂直时，设)(,2211yxByxA，直线l的方程为：3kxy，代入椭圆方程，消去y得045544922kxxk 解之得 .4959627222,1kkkx 因为椭圆关于 y轴对称，点 P 在 y轴上，所以只需考虑0k的情形.当0k时，4959627221kkkx，4959627222kkkx，所以 21xxPBAP=5929592922kkkk=59291812kkk=25929181k.由 049180)54(22kk,解得 952k，所以 51592918112k，综上 511PBAP.分析 2:如果想构造关于所求量的不等式，则应该考虑到：判别式往往是产生不等的根源.由判别式值的非负性可以很快确定k的取值范围，于是问题转化为如何将所求量与k联系起来.一般来说，韦达定理总是充当这种问题的桥梁，但本题无法直接应用韦达定理，原因在于21xxPBAP不是关于21,xx的对称关系式.原因找到后，解决问题的方法自然也就有了，即我们可以构造关于21,xx的对称关系式.简解 2：设直线l的方程为：3kxy，代入椭圆方程，消去y得 045544922kxxk （*）则.4945,4954221221kxxkkxx 令21xx，则，.20453242122kk 在（*）中，由判别式,0可得 952k，从而有 5362045324422kk，所以 536214，解得 551.把直线 l的方程 y=kx+3 代入椭圆方程，消去 y得到关于 x的一元二次方程 xA+xB=f（k），xA xB=g（k）构造所求量与 k 的关系式 关于所求量的不等式 韦达定理 AP/PB=（xA/xB）由判别式得出 k 的取值范围 结合10得151.综上，511PBAP.点评：范围问题不等关系的建立途径多多，诸如判别式法，均值不等式法，变量的有界性法，函数的性质法，数形结合法等等.本题也可从数形结合的角度入手，给出又一优美解法.解题犹如打仗，不能只是忙于冲锋陷阵，一时局部的胜利并不能说明问题，有时甚至会被局部所纠缠而看不清问题的实质所在，只有见微知著，树立全局观念，讲究排兵布阵，运筹帷幄，方能决胜千里.第三、推理训练：数学推理是由已知的数学命题得出新命题的基本思维形式，它是数学求解的核心。以已知的真实数学命题，即定义、公理、定理、性质等为依据，选择恰当的解题方法，达到解题目标，得出结论的一系列推理过程。在推理过程中，必须注意所使用的命题之间的相互关系（充分性、必要性、充要性等），做到思考缜密、推理严密。通过编写思维流程图来锤炼自己的大脑，快速提高解题能力。例 6 椭圆长轴端点为BA,，O为椭圆中心，F为椭圆的右焦点，且1 FBAF，1OF（）求椭圆的标准方程；（）记椭圆的上顶点为M，直线l交椭圆于QP,两点，问：是否存在直线l，使点F恰为PQM的垂心？若存在，求出直线l的方程;若不存在，请说明理由。思维流程：（）（）消元 解题过程：（）如图建系，设椭圆方程为22221(0)xyabab,则1c 又1 FBAF即 22()()1acacac ，22a 故椭圆方程为2212xy （）假设存在直线l交椭圆于QP,两点，且F恰为PQM的垂心，则 2,1ab 写出椭圆方程 由1AFFB，1OF()()1ac ac，1c 1PQk由 F 为PQM的重心,PQMFMPFQ 2222yxmxy 2234220 xmxm 两根之和，两根之积 0MPFQ 得出关于 m 的方程 解出 m 设1122(,),(,)P x yQ x y，(0,1),(1,0)MF，故1PQk，于 是 设 直 线l为 yxm，由2222yxmxy 得，2234220 xmxm 12210(1)(1)MPFQx xyy 又(1,2)iiyxm i 得1221(1)()(1)0 x xxmxm 即 21 2122()(1)0 xxxxmmm 由韦达定理得 222242(1)033mmmmm 解得43m 或1m（舍）经检验43m 符合条件 点石成金：垂心的特点是垂心与顶点的连线垂直对边，然后转化为两向量乘积为零 例 7、已知椭圆E的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，且经过(2,0)A、(2,0)B、31,2C三点（）求椭圆E的方程：（）若点D为椭圆E上不同于A、B的任意一点，(1,0),(1,0)FH，当DFH内切圆的面积最大时，求DFH内心的坐标；思维流程：（）（）由椭圆经过 A、B、C 三点 设方程为122nymx 得到nm,的方程解出nm,由DFH内切圆面积最大 转化为DFH面积最大 转化为点D的纵坐标的绝对值最大最大 D为椭圆短轴端点 DFH面积最大值为3 内切圆周长rSDFH1 33内切圆r 解题过程：（）设椭圆方程为122 nymx0,0 nm，将(2,0)A、(2,0)B、3(1,)2C代入椭圆E的方程，得 41,914mmn解得11,43mn.椭圆E的方程22143xy （）|2FH，设DFH边上的高为hhSDFH221 当点D在椭圆的上顶点时，h最大为3，所以DFHS的最大值为3 设DFH的内切圆的半径为R，因为DFH的周长为定值 6所以，621RSDFH 所以R的最大值为33所以内切圆圆心的坐标为3(0,)3.得出D点坐标为33,0 点石成金：的内切圆的内切圆的周长rS21 例 8、已知定点)01(，C及椭圆5322 yx，过点C的动直线与椭圆相交于AB，两点.（）若线段AB中点的横坐标是12，求直线AB的方程；（）在x轴上是否存在点M，使MBMA 为常数？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.思维流程：（）解：依题意，直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为(1)yk x，将(1)yk x代入5322 yx，消去y整理得 2222(31)6350.kxk xk 设1122()()A xyB xy，则4222122364(31)(35)0 (1)6.(2)31kkkkxxk ，由线段AB中点的横坐标是12，得2122312312xxkk ，解得33k ，符合题意。所以直线AB的方程为 310 xy，或 310 xy.（）解：假设在x轴上存在点(,0)Mm，使MBMA 为常数.当 直 线AB与x轴 不 垂 直 时，由（）知 22121222635 .(3)3131kkxxx xkk，所以212121212()()()()(1)(1)MAMBxmxmy yxmxmkxx 22221212(1)()().kx xkmxxkm将(3)代入，整理得 222222114(2)(31)2(61)5333131mkmmkMAMBmmkk 2216142.33(31)mmmk 注意到MBMA 是与k无关的常数，从而有761403mm，此时4.9MAMB 当 直 线AB与x轴 垂 直 时，此 时 点AB，的 坐 标 分 别 为221133，、，当73m 时，亦有4.9MAMB 综上，在x轴上存在定点703M，使MBMA 为常数.点石成金：222222114(2)(31)2(61)5333131mkmmkMAMBmmkk 2216142.33(31)mmmk 例 9、已知椭圆的中心在原点，焦点在 x 轴上，长轴长是短轴长的 2倍且经过点 M（2，1），平行于 OM的直线l在 y轴上的截距为 m（m0），l交椭圆于 A、B 两个不同点。（）求椭圆的方程；（）求 m 的取值范围；（）求证直线 MA、MB 与 x 轴始终围成一个等腰三角形.思维流程：解：（1）设椭圆方程为)0(12222babyax 则2811422222bababa解得 椭圆方程为12822yx（）直线l平行于 OM，且在 y轴上的截距为 m 又 KOM=21 mxyl21的方程为：由0422128212222mm xxyxmxy 直 线l 与 椭 圆 交 于A、B两 个 不 同 点，0,22,0)42(4)2(22mmmm且解得（）设直线 MA、MB 的斜率分别为 k1，k2，只需证明 k1+k2=0即可 设42,2),(),(221212211mxxmxxyxByxA且 则21,21222111xykxyk 由可得042222mmxx 42,222121mxxmxx 而)2)(2()2)(1()2()1(2121211221221121xxxyxyxyxykk)2)(2()1(4)2)(2(42)2)(2()1(4)(2()2)(2()2)(121()2)(121(212212121211221xxmmmmxxmxxmxxxxxmxxmx 00)2)(2(444242212122kkxxmmmm 故直线MA、MB 与 x 轴始终围成一个等腰三角形.点石成金：直线 MA、MB 与 x 轴始终围成一个等腰三角形021 kk 例 10、已知双曲线12222byax的离心率332e，过),0(),0,(bBaA的直线到原点的距离是.23 （1）求双曲线的方程；（2）已知直线)0(5kkxy交双曲线于不同的点 C，D 且C，D都在以B为圆心的圆上，求k的值.思维流程：解：（1）,332ac原 点 到 直 线AB：1byax的 距 离.3,1.2322abcabbaabd.故所求双曲线方程为.1322yx（2）把33522yxkxy代入中 消 去y，整 理 得 07830)31(22kxxk.设CDyxDyxC),(),(2211的中点是),(00yxE，则 .11,315531152002002210kxykkkxykkxxxBE ,000kkyx 即7,0,03153115222kkkkkkk又 故所求k=7.点石成金:C，D都在以B为圆心的圆上BC=BDBE CD;例 11、已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆C上的点到焦点距离的最大值为 3，最小值为 1 （）求椭圆C的标准方程；（II）若直线:ly=kx+m与椭圆C相交于A、B两点（A、B不是左右顶点），且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标 思维流程：解：（）由题意设椭圆的标准方程为22221(0)xyabab，由已知得：31acac ，222213acbac，椭圆的标准方程为22143xy （II）设1122()()A xyB xy，联立221.43ykx mxy，得 222(3 4)84(3)0kxmkxm，则 22222212221226416(3 4)(3)03408344(3).34m kkmkmmkxxkmx xk ，即，又22221212121223(4)()()()34mky ykxmkxmk x xmk xxmk 因为以AB为直径的圆过椭圆的右顶点(20)D，1ADBDkk，即1222211xyxy.1212122()40y yx xxx 2222223(4)4(3)1540343434mkmmkkkk 2271640mmkk 解得：12227kmkm ，且均满足22340km 当12mk 时，l的方程(2)yk x，直线过点(20)，与已知矛盾；当227km 时，l的方程为27yk x，直线过定点207，所以，直线l过定点，定点坐标为207，点石成金：以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点 CA CB;例 12、已知双曲线)0,0(12222babyax的左右两个焦点分别为21FF、,点 P 在双曲线右支上.（）若当点 P 的坐标为)516,5413(时,21PFPF,求双曲线的方程；（）若|3|21PFPF,求双曲线离心率e的最值,并写出此时双曲线的渐进线方程.思维流程：解：（）(法一)由题意知,1PF)516,5413(c,2PF)516,5413(c,21PFPF,021PFPF)5413(c0)516()5413(2c（1 分）解得 5,252cc.由双曲线定义得:,2|21aPFPF 2222)516()54135()516()54135(2 a6)341()341(22,4,3ba 所求双曲线的方程为:116922yx (法二)因21PFPF,由斜率之积为1,可得解.（）设2211|,|rPFrPF,(法 一)设P的 坐 标 为),(yx,由 焦 半 径 公 式 得aexexarexaexar|,|21,caxaexexarr2212),(3,3,2,2acaaxca 2，e的最大值为 2,无最小值.此时31,2222eaacabac,此时双曲线的渐进线方程为xy3 (法二)设21PFF,0(.(1)当时,22121423,2rcrrcrr，且,22122rrra 此时 2242222rrace.(2)当），（0,由余弦定理得:cos610cos2222222122212rrrrrrc）（2cos6102cos6102222rrace,)1,1(cos,)2,1(e,综上,e的最大值为2,但e无最小值.(以下法一)