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第六讲 角平分线的性质
教学目标：
1.学会用尺规作图，作一个角等于已知角，作已知角的角平分线
2.能利用角平分线的性质解决简单问题
3.角平分线的性质及判定定理的运用
重点难点：
1.角平分线的性质的运用与逆用。
2.利用角平分线构造全等三角形。
3.继续学习证明及综合法证明的格式。
知识导航：
1.角平分线的画法
35
A
M C
O N B
（1）已知∠AOB，求作∠AOB 的角平分线：
①以 O 为圆心，适当长为半径画弧，交 OA 于 M，交 OB 于 N。
②分别以 M，N 为圆心，以大于 MN 长为半径作弧，在∠AOB 的内部两弧交
于点 C。
③过 O、C 两点作射线 OC，射线 OC 就是所求角的角平分线。
2．角平分线的性质及判定
（1）角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等。
（2）角平分线的判定：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的角平分线上。
3．三角形的角平分线的性质
（1）三角形的三条角平分线交于一点，这点到三边的距离相等。
（2）三角形两个外角的角平分线也交于一点，这点到三边所在的直线的距离相等。
（3）三角形外角平分线交点共有三个，所以到三角形三遍所在直线距离相等的点有 4 个。
考点/易错点 1
角平分线是一种对称模型，一般情况下，有下列三种作辅助线的方式：
1． 由角平分线上的一点向角的两边作垂线；
2． 过角平分线上的一点作角平分线的垂线，从而形成等腰三角形；
3． OA=OB，这种对称的图形应用得也较为普遍。
典型例题：
【例 1】尺规作图：请在图上作一个∠AOC，使其是已知∠AOB 的 倍．（要求：写出已知、求作，保留作图
痕迹，在所作图中标上必要的字母，不写作法和结论)
已知： 求作：
【答案】已知： ÐAOB ．求作： ÐAOC ，使 ÐAOC = ÐAOB ．作图如右上所示：
【解析】首先画出∠AOB 的角平分线，再以 OB 为边，画∠BOC=∠BOF．
【例 2】如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，BD 平分∠ABC 交 AC 于点 D，DE
⊥AB 于 E，若 AC=3cm，则 AD+DE 为（ ）
A． 3cm B． 4cm
C． 2cm D． 无法确定
【答案】A．
【解析】∵BD 平分∠ABC，∠C=90°，DE⊥AB，∴DE=DC，∴AD+DE=AD+DC=AC，∵AC=3cm，∴AD+DE=3cm．
【例 3】如图，已知四边形 ABCD 中，AD∥BC，若∠DAB 的平分线 AE 交 CD 于 E，连接 BE，且 BE 恰好平 分∠ABC，则 AB 的长与 AD+BC 的大小关系是（ ）
A． AB＞AD+BC B． AB＜AD+BC C． AB=AD+BC D． 无法确定
【答案】C．
【解析】解法 1：在 AB 上截取 AF=AD，连接 EF，易证 AE⊥BE，△ ADE≌△AFE（SAS），所以∠1=∠2，又
∠2+∠4=90°，∠1+∠3=90°，所以∠3=∠4，所以可证△ BCE≌△BFE，
所以 BC=BF，所以 AB=AF+BF=AD+BC；
解法 2：如图，延长 AE 交 BC 延长线于 F，∵AD∥CB，∴∠CBA+∠BAD=180°，∵BE 平分∠CBA，AE 平分
∠BAD，∴∠EBA+∠BAE=90°，∴∠BEA=180°﹣90°=90°，∴BE⊥AF，由△ ABE≌△FBE（ASA），可得 BA=BF，
AE=FE，于是可证△ ADE≌△FCE（ASA），所以 AD=CF，所以 AB=BC+CF=BC+AD．
【例 4】如图，在△ABC 中，∠C=90°，AC=14，BD 平分∠ABC，交 AC 于 D，AD=10，则点 D 到 AB 的距离 为（ ）
A．10 B．4 C．7 D．6
【答案】B．
【解析】解：如图，过点 D 作 DE⊥AB 于 E，∵AC=14，AD=10，∴CD=AC﹣AD=14﹣10=4，
∵BD 平分∠ABC，∠C=90°，∴DE=CD=4．
【例 5】如图，在△ABC 中，AC=CB，∠C=90°，AD 是∠BAC 的平分线，∠E=90°，那么 AD 与 BE 的长度 关系为 。
【答案】AD=2BE
【解析】理由是：延长 AC，BE 交于 O，∵∠C=∠AEB=90°，∠CDA=∠EDB，∴由三角形内角和定理得：
∠1=∠3，∵∠ACD=∠BCO=90°，
ìÐ1 = Ð3
í
在△ACD 和△BCO 中， ï AC = BC
î
ïÐACD = ÐBCO
，∴△ACD≌△BCO（ASA），∴AD=BO，
∵AD 平分∠CAB，∴∠1=∠2，∵∠AEB=∠AEO=90°，
ìÐ1 = Ð2
í
在△AEO 和△AEB 中， ï AE = AE
î
ïÐAEO = ÐAEB
，∴△AEO≌△AEB（ASA），∴OE=BE，∴BO=2BE，
∴AD=2BE，
【例 6】为了加快灾后重建的步伐，我市某镇要在三条公路围成的一块平地上修建一个砂 石场，如图，要使这个砂石场到三条公路的距离相等，则可供选择的地址（ ）
A． 仅有一处 B． 有四处
C． 有七处 D． 有无数处
【答案】 A．
【解析】利用角平分线性质定理：角的平分线上的点，到这个角的两边的距离相等．又要求砂石场建在三条 公路围成的一块平地上，所以是三个内角平分线的交点一个，外角的平分线的交点三个．满足条件的点有一 个，三角形内部：三个内角平分线交点一个．三角形外部，外角的角平分线三个（不合题意）．
课堂检测：
1. 下列结论错误的是（ ）
A．到已知角两边距离相等的点在同一直线上
B．一射线上有一点到已知角两边的距离相等这条射线平分已知角
C．到角两边距离相等的一个点与这个角的顶点的连线不平分这个角
D．角内有两点各自到角的两边的距离相等，经过这两点的直线平分这个角
2.如图，∠AOB 和一条定长线段 a，在∠AOB 内找一点 P，使 P 到 OA，OB 的距离都等于 a，作法如下：
（1）作 OB 的垂线段 NH，使 NH=a，H 为垂足．
（2）过 N 作 NM∥OB．
（3）作∠AOB 的平分线 OP，与 NM 交于 P．
（4）点 P 即为所求． 其中（3）的依据是（ ）
A． 平行线之间的距离处处相等
B． 到角的两边距离相等的点在角的平分线上
C． 角的平分线上的点到角的两边的距离相等
D． 到线段的两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上
3.如图，△ ABC 的三边 AB，BC，CA 长分别是 20，30，40，其三条角平分线将
△ ABC 分为三个三角形，则 S△ ABO：S△ BCO：S△ CAO 等于（ ）
A．1：1：1 B．1：2：3
C．2：3：4 D．3：4：5
4. 如图，AD、AE 分别是△ABC 中∠A 内角的平分线和外角平分线，则∠DAE= 度．
5.已知线段 a 和直角∠α：
（1）用尺规作△ ABC，使得∠C=∠α，BC=a，AB=2a（保留作图痕迹，不写画法）；
（2）用尺规作△ ABC 的中线 CD 和角平分线 CE（保留作图痕迹，不写画法）；
课后作业：
1.如图，已知点 P 到 AE、AD、BC 的距离相等，下列说法：①点 P 在∠BAC 的平分 线上；②点 P 在∠CBE 的平分线上；③点 P 在∠BCD 的平分线上；④点 P 在∠BAC，
∠CBE，∠BCD 的平分线的交点上．其中正确的是（ ）
A．①②③④ B．①②③ C．④ D．②③
2.两条平行线 a、b 被第三条直线 c 所截得的同旁内角的平分线的交点到直线 c 的距离是 2cm，则 a、b 之间 的距离是（ ）
A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm
3.如图，AD 是△ ABC 的角平分线，若 AB=10，AC=8，则 S△ ABD：S△ ADC=（ ）
A．1：1 B．4：5
C．5：4 D．16：25
4.已知 AB∥CD，AD⊥DC，AE⊥BC 于点 E，∠DAC=35°，AD=AE，∠B 为（）
A．50° B．60°
C．70° D．80°
5．如图，G 是线段 AB 上一点，AC 和 DG 相交于点 E．请先作出∠ABC 的平分线 BF，交 AC 于点 F；（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法与证明）然后证明当： AD∥BC，AD=BC，∠ABC=2∠ADG 时，DE=BF．
6.如图①，OP 是∠AOB 的平分线，请你利用该图形画一对以 OP 所在直线为对称轴的全等三角形．请你参考 这个作全等三角形的方法，解答下列问题：
（1）如图②，在△ABC 中，∠ACB 是直角，∠B=60°，AD、CE 分别是∠BAC、∠BCA 的平分线，AD、CE
相交于点 F．请你判断并写出 FE 与 FD 之间的数量关系；
（2）如图③，在△ABC 中，如果∠ACB 不是直角，而（1）中的其它条件不变，请问，你在（1）中所得结论
是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
7.如图，△ ABC 中，D 为 BC 的中点，DE⊥BC 交∠BAC 的平分线 AE 于点 E，EF⊥AB 于 F，EG⊥AG 交 AC
的延长线于 G．求证：BF=CG．
8.如图，在△ ABC 中，∠ACB=90°，CE⊥AB 于点 E，点 D 是 AB 上一点，且 AD=AC，作 DG∥BC，DG 交
AC 于点 G，交 CE 于点 F，求证：（1）AF 平分∠CAB；（2）FC=FD．
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