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2.1 线性定常齐次状态方程的解(自由解)2.2 矩阵指数函数状态转移矩阵 2.3 线性定常系统非齐次方程的解2.4 线性时变系统的解2.5 离散时间系统状态方程的解2.6 连续时间状态空间表达式的离散化2.1 线性定常齐次状态方程的解(自由解)所谓系统的自由解，是指系统输入为零时，由初始状态引起的自由运动。此时，状态方程为齐次微分方程：(1)若初始时刻 时的状态给定为 则式(1)有唯一确定解：(2)若初始时刻从 开始，即 则其解为：(3)证明 和标量微分方程求解类似，先假设式(1)的解 为 的矢量幂级数形式，即(4)代入式(1)得：(5)既然式(4)是式(1)的解，则式(5)对任意时刻 都成立，故 的同次幂项的系数应相等，有：在式(4)中，令 ，可得：将以上结果代入式(4)，故得：(6)等式右边括号内的展开式是 矩阵，它是一个矩阵指数函数，记为 ，即(7)于是式(6)可表示为：再用 代替 即在代替 的情况下，同样可以证明式2)的正确性。2.2 矩阵指数函数状态转移矩阵2.2.1 状态转移矩阵齐次微分方程(1)的自由解为：或1性质一这就是组合性质，它意味着从 转移到0，再从0转移到 的组合。或(1)2.2.2 状态转移矩阵(矩阵指数函数)的基本性质即2.性质二或(2)3.性质三或(3)4.性质四或(4)这个性质说明，矩阵与A A矩阵是可以交换的。5.性质五 对于 方阵A和B，当且仅当AB=BAAB=BA时，有 而当ABBAABBA是，则 这个性质说明，除非距阵A与B是可交换的，它们各目的矩阵指数函数之积与其和的矩阵指数函数不等价。这与标量指数函数的性质是不同的。2.2.3 几个特殊的矩阵指数函数1若 A A 为对角线矩阵，即(5)则(6)2.若 A A 能够通过非奇异变换予以对角线化，即则(7)3.若 A A 为约旦矩阵则(8)4.若(9)1.根据 的定义直接计算2.变换 A A 为约旦标准型（1）A A 特征根互异其中 T T 是使 A A 变换为对角线矩阵的变换阵。由式（7），有：2.2.4 的计算3.利用拉氏反变换法求(10)证明 齐次微分方程两边取拉氏变换即故4.应用凯莱哈密顿定理求对上式两边取拉氏反变换，从而得到齐次微分方程的解：（1）由凯莱哈密顿定理，方阵A满足其自身的特征方程，即所以有它是的线性组合。同理以此类推，都可用 线性表示。(2)在 定义中，用上面的方法可以消去 A A 的 n及 n以上的冥次项，即（11）（3）的计算公式A的特征值互异时，则 证明 根据A满足其自身特征方程的定理，可知特征值 和 A A 是可以互换的，因此，也必须满足式（11），从而有：（12）上式对 求解，记得式（12）。A A 的特征值均相同，为 时，则证明 同上，有：(13)上式对 ，求异数，有：再对 求异数，有：重复以上步骤，最后有：由上面的n个方程，对 求解，记得公式（13）。2.3 线性定常系统非齐次方程的解 现在讨论线性定常系统在控制作用 作用下的强制运动。此时状态方程为非齐次矩阵微分方程：当初始时刻 初始状态 时，其解为：式中，。（1）（2）当初始时刻为 ，初始状态为 时，其解为：式中，。（3）证明 采用类似标量微分方程求解的方法，将式（1）写成：等式两边同左乘 ，得：即（4）对式（4）在 上间积分，有：整理后可得式（2）：同理，若对式（4）在 上积分，即可证明式（3）。式（2）也可从拉氏变换法求得，对式（1）进行拉氏变换，有：即上式左乘 ，得：（5）注意式（5）等式右边第二项，其中：两个拉氏变换函数的积是一个卷积的拉氏变换，即以此代入式（5），并取拉氏反变换，即得 ：在特定控制作用下，如脉冲函数、阶跃函数和斜坡函数的激励下，则系统的解式（2）可以简化为以下公式：1.脉冲响应即当 时2.阶跃响应即当 时3.斜坡响应即当 时（6）（7）（8）2.4 线性时变系统的解2.4.1 时变系统状态方程解的特点 为了讨论时变系统状态方程的求解方法，现在先讨论一个标量时变系统：采用分离变量法，将上式写成：对上式两边积分得：（1）因此（2）或者写成：仿照定常系统齐次状态方程的求解公式，式(2)中的 也可以表示为状态转移矩阵，不过这时状态转移矩阵不仅是时间t 的函数，而且也是初始时刻t。的函数。故采用符号 来表示这个二元函数：（3）于是式(2)可写成：（4）能否将式(3)这个关系式也推广到矢量方程：遗憾的是，只有当 满足乘法可交换条件，上述关系才能成立。现证明如下：使之有（5）如果 是齐次方程的解，那么 必须满足：（6）把 展开成幂级数：上式两边对时间取导数：(7)(8)(9)把式(7)两边左乘 有：比较式(8)和式(9)，可以看出，要使成立，其必要和充分条件是：（10）即 是乘法可交换的。但是，这个条件是很苛刻的一般是不成立的。从而时变系统的自由解，通常不能像定常系统那样写成一个封闭形式。2.4.2 线性时变齐次矩阵微分方程的解 尽管线性时变系统的自由解不能像定常系统那样写成一个封闭的解析形式，但仍然能表示为状态转移的形式。对于齐次矩阵微方程：（11）其解为：（12）式中，类似于前述线性定常系统中的 ，它也是 非奇异方阵，并满足如下的矩阵微分方程和初始条件：（13）（14）证明 将解式(12)代入式(11)，有即又在解式(12)中令 ，有：即 这就证明了，满足式(13)、式(14)的 ,按式(12)所求得的 是齐次微分方程(11)的解。2.4.3 状态转移矩阵 基本性质与线性定常系统的转移矩阵类似，同样有：因为：且故式(15)成立。2），见式（14）。（15）1）3）（16）因为从式(14)和式(15)可得：或 那么无论右乘 ，或左乘 ，式(16)都成立，故 是非奇异阵，其逆存在，且等于 。4）见式（13）。在这里，一般是不能交换的。2.4.4 线性时变系统非齐次状态方程式的解线性时变系统的非齐次状态方程为：且 的元素在时间区间 内分段连续，则其解为：（17）（18）证明 线性系统满足叠加原理，故可将式(17)的解看成由初始状态 的转移和控制作用激励的状态 的转移两部分组成。即（19）代入式(17)，有：即可知：在t t。t t区间积分，有：于是 在式(19)中令 ，并注意到中 ，可知 ，这样由上式即可得到式(18)。2.4.5 状态转移矩阵的计算因为 A A 是常数矩阵，所以上式直接表示为：在定常系统中，齐次状态方程 的解是：式中，只与 有关。在时变系统中，齐次状态方程 的解，一般的表示为：前已证明，只有当 是可交换时，即（20）才有：在一般情况下 对于不满足式(20)的时变系统，的计算，一般采用级数近似法，即（21）这个关系式的证明是十分简单的，只需验证它满足式(13)的矩阵方程和式(14)的起始条件即可。可知式(21)满足式(13)和式(14)。2.5 离散时间系统状态方程的解2.5.1 递推法线性定常离散时问控制系统的状态方程为：这个一阵差分方程 的解为：或（1）即（2）2.5.2 Z Z 变换法 对于线性定常离散系统的状态方程，也可以来用 Z Z 变换法来求解。设定常离散系统的状态方程是：对上式两端进行 Z Z 变换，有：或所以：对上式两端取 Z Z 的反变换，得：(3)对式2)和式(3)比较，有：（4）（5）如果要获得采样瞬时之问的状态和输出，只需在此采样周期内，即在 内，利用连续状态方程解的表达式：为了突出地表示f的有效期在 ，可以令 (这里0101)于是上式变成：（6）显然，这个公式的形式和离散状态方程是完全一致的，如果使的值在0和1之间变动，那么便可获得采样瞬时之间全部的状态和输出信息。将式(2)和式(3)比较，有（7）（8）二者形式上虽有不同，但实际上是完全一样的。2.6 连续时间状态空间表达式的离散化2.6.1 离散化方法对于连续时间的状态空间表达式：将其离散化之后则得离散时间状态空问表达式为：C C 和 D D 则仍与式(1)中的一样。（1）（2）式中（4）（3）2.6.2 近似离散化 在采样周期 T T 较小时，一般当其为系统最小时间常数的l/10左右时，离散化的状态方程可近似表示为：（5）也就是说：（6）（7）证明 根据导数的定义：以此代入 中，得现讨论 这一段的导数，有：整理后，即得式(5)。2.6.3 线性时变系统的离散化1线性时变系统离散化设原系统状态空间表达式为：离散化之后的状态空间表达式为：仿照时不变系统的证明方法，可以求出上式中的七 ，这里直接写出其结果如下：（8）（11）（9）（10）式中，区段内的状态转移矩阵，可以在 附近用泰勒级数展开作近似计算：（12）考虑到 的下列性质：将以上诸式代人式(12)，并在 T T 很小时忽略 T T 的二次幂以上的高阶项，可得 的近似计算式：（13）据此，按式(11)不难求得 。也可仿本节中介绍的近似离散化的方法，得近似的计算公式如下：（15）（14）2离散化时变状态方程的解仿离散化定常状态方程解式时变状态方程式(9)的解为：（16）（17）式中，应满足以下条件：本章完本章完3.1 能控性的定义3.2 线性定常系统的能控性判别3.3 线性连续定常系统的能观性3.4 离散时间系统的能控性与能观性3.5 时变系统的能控性与能观性3.6 能控性与能观性的对偶关系3.7 状态空间表达式的能控标准型与能观标准型3.8 线性系统的结构分解3.9 传递函数阵的实现问题3.10 传递函数中零极点对消与状态能控性和能观 性之间的关系3.1 能控性的定义1线性连续定常系统的能控性定义线性连续定常系统：如果存在一个分段连续的输入 ，能在有限时间区间 内，使系统由某一初始状态 ，转移到指定的任一终端状态工 ，则称此状态是能控的。若系统的所有状态都是能控的，则称此系统是状态完全能控的，或简称系统是能控的。几点说明：1)在线性定常系统中，为简便计，可以假定初始时刻 ，初始状态为 ，而任意终端状态就指定为零状态。即 2)也可以假定 =0，而工 为任意终端状态，换句话说，若存在一个无约束控制作用 ，在有限时间 内，能将 由零状态驱动到任意 。在这种情况下，称为状态的能达性。3)在讨论能控性问题时，控制作用从理论上说是无约束的，其取值并非唯一的，因为我们关心的只是它能否将 驱动到 ，而不计较 的轨迹如何。2线性连续时变系统的能控性定义线性连续时变系统：3离散时间系统这里只考虑单输入的n阶线性定常离散系统：3.2 线性定常系统的能控性判别3.2.1 具有约旦标准型系统的能控性判别1单输入系统具有约旦标准型系统矩阵的单输入系统，状态方程为：线性定常系统能控性判别准则有两种形式，一种是先将系统进行状态变换，把状态方程化为约旦标准型 ，再根据 阵，确定系统的能控性；另一种方法是直接根据状态方程的 A 阵和 B 阵，确定其能控性。或式中(2)(1)为简明起见，下面列举三个具有上述类型的二阶系统，对其能控性加以剖析。(3)(4)(5)1)对于式(3)的系统，系统矩阵A为对角线型，其标量微分方程形式为：(6)(7)2)对于式(4)的系统，系统矩阵A为约旦型，微分方程组为：3)对于式(5)的系统，系统矩阵虽也为约旦型，但控制矩阵第二行的元素却为0，其微分子方程组为：(8)(9)(10)(11)2具有一般系统矩阵的多输入系统系统的状态方程为：(12)3.2.2 直接从A与B判别系统的能控性1单输入系统线性连续定常单输入系统：其能控的充分必要条件是由 A、b 构成的能控性矩阵：满秩，即 。否则，当 时，系统为不能控的。2多输入系统对多输入系统，其状态方程为：其能控的充分必要条件是矩阵：式中,B 为 阶矩阵；为 r 维列矢量。的秩为 。(14)(15)3.3 线性连续定常系统的能观性3.3.1能观性定义 能观性所表示的是输出 反映状态矢量 的能力，与控制作用没有直接关系，所以分析能观性问题时，只需从齐次状态方程和输出方程出发，即 如果对任意给定的输入 ，在有限观测时间 ,使得根据 期间的输出 能唯一地确定系统在初始时刻的状态 ，则称状态 是能观测的。若系统的每一个状态都是能观测的，则称系统是状态完全能观测的，或简称是能观的。(1)3.3.2 定常系统能观性的判别 定常系统能观性的判别也有两种方法，一种是对系统进行坐标变换，将系统的状态空间表达式变换成约旦标准型，然后根据标准型下的 C 阵，判别其能观性，另一种方法是直接根据 A 阵和 C 阵进行判别。1转换成约旦标准型的判别方法线性时不变系统的状态空问表达式为：现分两种情况叙述如下：(1)A为对角线矩阵(2)这时式(2)用房承租形式表示，可有：(3)(4)从而可得结构图如图所示。将式(3)带入输出方程式(4)，得：(2)A 为约旦标准型矩阵以三阶为例：这时，状态方程的解为：从而(5)由式(5)可知，当且仅当输出矩阵C中第一列元素不全为零时，y(t)中总包含着系统的全部自由分量而为完全能观。2直接从A、C阵判断系统的能观性 约旦标准型系统具有串联型的结构，如图所示：3.4 离散时间系统的能控性与能观性3.4.1 能控性矩阵 M离散时间系统的状态方程如下：(1)3.4.2 能观性矩阵N离散时间系统的能观性，是从下述两个方程出发的。式中,为 维列矢量；C 为 输出矩阵，其余同式(6)。(2)当系统为单输入系统时，式中 为标量控制作用控制阵 为 维列矢量；G为系统矩阵 ；为状态矢量 。根据3.3节中能观性定义，如果知道有限采样周期内的输出 ，就能唯一地确定任意初始状态矢量 ，则系统是完全能观的，现根据此定义推导能观性条件。从式(1)，有：若系统能观，那么在知道 时，应能确定出 ，现从式(7)可得：(3)写成矩阵形式：有唯一解的充要条件是其系数矩阵的秩等于 。这个系数矩阵称为能观性矩阵。仿连续时间系统，记为N。即(4)(5)3.5 时变系统的能控性与能观性3.5.1 能控性判别1.有关线性时变系统能控性的几点说明这个限制条件是为了保证系统状态方程的解存在且唯一。3)根据能控性定义，可以导出能控状态和控制作用之问的关系式。4)非奇异变换不改变系统的能控性。2)定义中的 ，是系统在允许控制作用下，由初始状态 转移到目标状态(原点)的时刻。1)定义中的允许控制 ，在数学上要求其元在 区间是绝对平方可积的，即5)如果 是能控状态，则 也是能控状态，是任意非零实数。7)由线性代数关于线性空间的定义可知，系统中所有的能控状态构成状态空间中的一个子空间。此子空间称为系统的能控子空间，记为 。6)如果 和 是能控状态，则 也必定是能控状态。2线性连续时变系统的能控性判别时变系统的状态方程如下：为非奇异的。系统在 上状态完全能控的充分必要条件是格拉姆矩阵为非奇异的。(1)(2)3.5.2 能观性判别1有关线性时变系统能观性的几点讨论2)根据不能观测的定义，可以写出不能观测状态的数学表达式：这是一个很重要的关系式，下面的几个推论都是由它推证出来的。3)对系统作线性非奇异变换，不改变其能观测性。5)如果 和 都是不能观的，则 也是不能观的。1)时间区间 是识别初始状态 所需要的观测时间，对时变系统来说，这个区问的大小和初始时刻 的选择有关。4)如果 是不能观测的，为任意非零实数，则 也是不能观测的。6)根据前面分析可以看出，系统的不能观测状态构成状态空间的一个子(3)2线性连续时变系统能观性判别为非奇异的。在 上状态完全能观测的充分必要条件是格拉姆矩阵 3.5.3 连续时变系统可控性和可观性判别法则和连续定常系统的判别法之间的关系时变系统(4)(5)态空间中是零空间，则该系统才是完全能观的。空间，称为不能观子空间，记为 。只有当系统的不能观子空问 。在状众所周知，一个矩阵：因此，有 这个矩阵的列矢量线性无关与 非奇异等价。式中，为列矢量，当且仅当由 构成的格拉姆矩阵 为非奇异时，列矢量是线性无关的。现在3.6 能控性与能观性的对偶关系 能控性与能观性有其内在关系，这种关系是由卡尔曼提出的对偶原理确定的，利用对偶关系可以把对系统能控性分析转化为对其对偶系统能观性的分析。从而也沟通了最优控制问题和最优估计问题之间的关系。3.6.1 线性系统的对偶关系有两个系统，一个系统 为：另一个系统 ：为：若满足下述条件，则称 与 是互为对偶的。式中，为 维状态矢量；各为r与m维控制矢量；各为 与 维输出矢量；为 系统矩阵；各为，与 ，维控制矩阵；各为 与 维输出矩阵。3.6.2 对偶原理3.6.3 时变系统的对偶原理 时变系统的对偶关系和定常系统稍有不同，且其对偶原理的证明也复杂得多。对偶原理是现代控制理论中一个十分重要的概念，利用对偶原理可以把系统能控性分析方面所得到的结论用于其对偶系统，从而很容易地得到其对偶系统能观性方面的结论。系统 和 是互为对偶的两个系统，则 的能控性等价于 的能观性，的能观性等价于 的能控性。或者说，若 是状态完全能控的(完全能观的)，则 是状态完全能观的(完全能控的)。3.7 状态空间表达式的能控标准型与能观标准型3.7.1 单输入系统的能控标准艰如果系统是状态完全能控的，即满足：对于一般的 维定常系统：1能控标准 型(1)若线性定常单输入系统：是能控的，则存在线性非奇异变换：(2)(3)使其状态空间表达式(1)化成：(4)其中(5)称形如式(4)的状态空间表达式为能控标准 型。其中 ，为特征多项式：的各项系数。若线性定常单输入系统：2.能控标准 型(6)相应的状态空间表达式(6)转换成：(7)是能控的，则存在线性非奇异变换：(8)其中(9)(10)(11)并称形如式(8)的状态空间表达式为能控标准 型。式(9)中的 是系统特征多项式：的各项系数，亦即系统的不变量。式(11)中的是 相乘的结果，即：(12)3.7.2 单输出系统的能观标准型 与变换为能控标准型的条件相似，只有当系统是状态完全能观时，即有：系统的状态空间表达式才可能导出能观标准型。若线性定常系统：是能观的，则存在非奇异变换：(13)(14)1能观标准 型 状态空间表达式的能观标准型也有两种形式，能观标准 型和能观标准 型，它们分别与能控标准 型和能控标准 型相对偶。使其状态空间表达式(13)化成：(15)其中(16)(17)(18)称形如式(15)的状态空间表达式为能观标准 型。其中是矩阵A的特征多项式的各项系数。取变换阵 ：直接验证，或者用对偶原理来证明。证明过程如下：首先构造 的对偶系统 然后写出对偶系统 的能控标准 型，的状态空间表达式的能观标准 型即是 的能控标准 型，即(19)的能控标准I型对应的系数阵；2能观标准 型(20)若线性定常单输出系统：是能观的，则存在非奇异变换 式中，为系统 的能控标准II型对应的系数阵；(21)的对偶系统 的能控标准 型对应的系数阵。为系统为系统使其状态空问表达式(20)变换为：(22)其中(23)(24)(25)称形如式(22)的状态空间表达式为能观标准 型。3.8 线性系统的结构分解3.8.1 按能控性分解设线性定常系统(1)是状态不完全能控，其能控性判别矩阵：的秩则存在非奇异变换：(2)将状态空间表达式(1)变换为：(3)其中(4)(5)(6)可以看出，系统状态空间表达式变换为式(3)后，系统的状态空间就被分解成能控的和不能控的两部分，其中 维子空问：是能控的，而 维子系统：是不能控的。对于这种状态结构的分解情况如图所示，因为 对 不起作用，仅作无控的自由运动。显然，若不考虑 维子系统，便可得到一个低维的能控系统。至于非奇异变换阵：(7)其中 个列矢量可以按如下方法构成，前 个列矢量 是能控性矩阵M中的 个线性无关的列，另外的 个列 在确保 为非奇异的条件下，完全是任意的。3.8.2 按能观性分解设线性定常系统：其状态不完全能观的，其能观性判别矩阵的秩(8)则存在非奇异变换：(9)将状态空间表达式(8)变换为：(10)其中(11)(12)(13)可见，经上述变换后系统分解为能观的 ，维子系统：结构图如下。显然，若不考虑 维不能观测的子系统，便得到一个 。维的能观系统。和不能观的 ，维子系统：非奇异变换阵 是这样构成的，取(14)3.8.3 按能控性和能观性进行分解 1)如果线性系统是不完全能控和不完全能观的，若对该系统同时按能控性和能观性进行分解，则可以把系统分解成能控且能观、能控不能观、不能控能观、不能控不能观四部分。当然，并非所有系统都能分解成有这四个部分的。2)变换矩阵R确定之后只需经讨一次变换便可对系统同时按能控性和能观性进行结构分解但是R阵的构造需要涉及较多的线性空间概念。3)结构分解的另一种方法：先把待分解的系统化约旦标准型，然后按能空判别法则和能管判别个状态变量的能控型和能观性，最后按能控能观、能控不能观、不能控能观、不能控不能观四种类型分类排列，即可组成相应的子系统。3.9 传递函数阵的实现问题3.9.1 实现问题的基本概念对于给定传递函数阵 W(s)，若有一状态空间表达式：则称该状态空间表达式为传递函数阵W(s)的一个实现。使之成立3.9.2 能控标准型实现和能观标准型实现(1)3.7节已经介绍，对于一个单输入单输出系统，一旦给出系统的传递函数，便可以直接写出其能控标准型实现和能观标准型实现。本节介绍如何将这些标准型实现推广到多输入多输出系统。为此，必须把 维的传递函数阵写成和单输入单输出系统的传递函数相类似的形式，即式中，为 维常数阵；分母多项式为该传递函数阵的特征多项式。显然W(s)是一个严格真有理分式的矩阵，且当 时，W(s)对应的就是单输入单输出系统的传递函数。(2)对于式形式的传递函数阵的能控标准型实现为：(3)(4)(5)与此类推，其能观标准型实现为：(6)(7)(8)式中，和 。为 阶零矩阵和单位矩阵；为输入矢量的维数。3.9.3最小实现1.最小实现的定义传递函数W(s)的一个实现：如果W(s)不存在其它实现：(9)(10)使 的维数小于 的维数，则称式(9)的实现为最小实现。2.寻求最小实现的步骤传递函数阵W(s)的一个实现：为最小实现的充分必要条件是(A，B，C)既是能控的又是能观的：这个定理的证明从略。根据这个定理可以方便的确定任何一一个具有严格的真有理分式的传递函数阵W(s)的最小实现。一般可以按照如下步骤来进行。1)对给定传递函数阵W(s)，先初选出一种实现(A，B，C)：通常最方便的是选取能控标准型实现或能观标准型实现。2)对上面初选的实现 (A，B，C )，找出其完全能控且完全能观部分 ，于是这个能控能观部分就是W(s)的最小实现。3.10 传递函数中零极点对消与状态能控性和能观性之间的关系 既然系统的能控且能观性与其传递函数阵的最小实现是同义的，那么能否通过系统传递函数阵的特征来判别其状态的能控性和能观性呢?可以证明，对于单输入系统、单输出系统或者单输人单输出系统要使系统是能控并能观的充分必要条件是其传递函数的分子分母间没有零极点对消。可是对于多输人多输出系统来说，传递函数阵没有零极点对消，只是系统最小实现的充分条件，也就是说，即使出现零极点对消，这种系统仍有可能是能控和能观的。对于一个单输入单输出系统(A，b，c)欲使其是能控并能观的充分必要条件是传递函数的分子分母问没有零极点对消。(1)(2)本章完