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专题反比例函数与三角形-四边形的面积等

反比例函数比例系数k与图形面积经典专题
知识点回顾
由于反比例函数解析式及图象的特殊性，很多中考试题都将反比例函数与面积结合起来进行考察。这种考察方式既能考查函数、反比例函数本身的基础知识内容，又能充分体现数形结合的思想方法，考查的题型广泛，考查方法灵活，可以较好地将知识与能力融合在一起。下面就反比例函数中与面积有关的问题的四种类型归纳如下：
利用反比例函数中|k|的几何意义求解与面积有关的问题
设P为双曲线上任意一点，过点P作x轴、y轴的垂线PM、PN，垂足分别为M、N，则两垂线段与坐标轴所围成的的矩形PMON的面积为S=|PM|×|PN|=|y|×|x|=|xy|   
   ∴xy=k     故S=|k|    从而得
结论1：过双曲线上任意一点作x轴、y轴的垂线，所得矩形的面积S为定值|k|
对于下列三个图形中的情形，利用三角形面积的计算方法和图形的对称性以及上述结论，可得出对应的面积的结论为：
结论2：在直角三角形ABO中，面积S=

结论3：在直角三角形ACB中，面积为S=2|k|

结论4：在三角形AMB中，面积为S=|k|

类型之一 k与三角形的面积
※1、如图，已知双曲线y= （k＞0）经过直角三角形OAB斜边OB的中点D，与直角边AB相交于点C．若△OBC的面积为6，则k=______．

最佳答案
过D点作DE⊥x轴，垂足为E，
由双曲线上点的性质，得S △AOC =S △DOE = k,
∵DE⊥x轴，AB⊥x轴，
∴DE ∥ AB，
∴△OAB ∽ △OED，
又∵OB=2OD，
∴S △OAB =4S △DOE =2k，
由S △OAB -S △OAC =S △OBC ，
得2k-k=6，
解得：k=4．
故答案为：4．

2、如图1-ZT-1，分别过反比例函数y=(x＞0)的图象上任意两点A、B作x轴的垂线，垂足分别为C、D，连接OA、OB，设△AOC和△BOD的面积分别是S1、S2,，比较它们的大小，可得
A.S1＞S2 B.S1=S2 C.S1＜S2 D.S1、S2大小不确定。

3、在下列图形中，阴影部分面积最大的是（C）

4、 如图1-ZT-3，在平面直角坐标系中，点A是函数y= （x＜0）图象上的点，过点A作y轴的垂线交y轴于点B，点C在x轴上，若△ABC的面积为1，则k的值为________。

5、※ 如图，在平面直角坐标系中，点A在函数（k＜0，x＜0）的图象上，过点A作AB∥y轴交x轴于点B，点C在y轴上，连结AC、BC．若△ABC的面积是3，则k=  ．

6、如图1-ZT-4，△OAC和△BAD都是等腰直角三角形，∠ACO=∠ADB=90°，反比例函数y=在第一象限的图象经过点B，若OA2-AB2=8，则k的值为_______。

类型之二 k与平行四边形的面积
7、※ 如图，在平面直角坐标系中，点A是函数y=（k<0，x<0）图象上的点，过点A与y轴垂直的直线交y轴于点B，点C、D在x轴上，且BC∥AD．若四边形ABCD的面积为3，则k值为___．

优质解答
∵AB⊥y轴，
∴AB∥CD，
∵BC∥AD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形AEOB的面积=AB•OE，
∵S平行四边形ABCD=AB•CD=3，
∴四边形AEOB的面积=3，
∴|k|=3，
∵<0，
∴k=-3，
故答案为：-3．

8、如图，菱形OABC的顶点的坐标为（3,4），顶点A在x轴的正半轴上，反比例函数y=(x＞0)的图象经过顶点B，则k的值为（ ）。

A. 12 B. 20 C. 24 D. 32

答案：
过点C作CD⊥OA，
∵C的坐标为（3，4），
∴CD=4，OD=3，
∵CB∥AO，
∴B的纵坐标是4，
∴OC==5，
∴AO=OC=5，
∵四边形COAB是菱形，
∴B的横坐标是8，
∴k=8×4=32，
故选D．

9、如图1-ZT-6，函数y=-x与y=-的图象相交于A、B两点，分别过A、B两点作y轴的垂线，垂足分别为C、D，则四边形ACBD的面积为（ ）。
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8

分析：首先根据反比例函数图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系即S=|k|，得出S△AOC=S△ODB=2，再根据反比例函数的对称性可知：OC=OD，AC=BD，即可求出四边形ACBD的面积．
解答：
解：∵过函数y=-的图象上A，B两点分别作y轴的垂线，垂足分别为点C，D，
∴S△AOC=S△ODB=|k|=2，
又∵OC=OD，AC=BD，
∴S△AOC=S△ODA=S△ODB=S△OBC=2，
∴四边形ABCD的面积为：S△AOC+S△ODA+S△ODB+S△OBC=4×2=8．
故选D．
点评：本题主要考查了反比例函数y=中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为|k|；图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系即S=|k|，是经常考查的一个知识点；同时考查了反比例函数图象的对称性．

10、如图1-ZT-7，点A是反比例函数y=(x＞0)的图象上任意一点，AB∥x轴交反比例函数y=-的图象于点B，以AB为边作□ABCD，其中点C、D在x轴上，则□ABCD的面积未（ ）。
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5

11、如图、1-ZT-8，在□ABOC中，两条对角线交于点E，双曲线y=(k＜0)的一支经过C、E两点，若□ABOC的面积为10，则k的值是（ ）。
A. - B. - C. -4 D.-5

类型之三 k与矩形的面积

12、如图1-ZT-9，A、B两点在双曲线y=上，分别过A、B两点向坐标轴作垂线段，已知S1+S2=6，则S阴影=（ ）。

A. 4 B. 2 C. 1 D.无法确定

13、如图1-ZT-10，反比例函数y=（x＞0）的图象经过矩形OABC对角线的交点M，分别与AB、BC相交于点D、E，若四边形ODBE的面积为9，则k的值为（ ）。

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

考点：
反比例函数系数k的几何意义．
专题：
数形结合．
分析：
本题可从反比例函数图象上的点E、M、D入手，分别找出△OCE、△OAD、矩形OABC的面积与|k|的关系，列出等式求出k值．
解答：
解：由题意得：E、M、D位于反比例函数图象上，则S△OCE=，S△OAD=，
过点M作MG⊥y轴于点G，作MN⊥x轴于点N，则S□ONMG=|k|，
又∵M为矩形ABCO对角线的交点，
∴S矩形ABCO=4S□ONMG=4|k|，
由于函数图象在第一象限，k＞0，则++9=4k，
解得：k=3．
故选C．

点评：
本题考查反比例函数系数k的几何意义，过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于|k|，本知识点是中考的重要考点，同学们应高度关注．

14、如图1-ZT-11，反比例函数y=（,k＞0）的图象与矩形ABCO的两边相交于E、F两点，若E是AB的中点，S△BEF=2，则k的值为________。

分析：设E（a，），则B纵坐标也为，代入反比例函数的y=，即可求得F的横坐标，则根据三角形的面积公式即可求得k的值．
解：设E（a，），则B纵坐标也为，
E是AB中点，所以F点横坐标为2a，代入解析式得到纵坐标：，
BF=-=，所以F也为中点，
S△BEF=2=，k=8．
故答案是：8．
点评：本题考查了反比例函数的性质，正确表示出BF的长度是关键．

15、如图1-ZT-12，点P、Q是反比例函数y= 图象上的两点，PA⊥y轴于点A，QN⊥x轴于点N，PM⊥x轴于点M,QBy轴于点B，连接PB、QM，△ABP的面积记为S1，△QMN的面积记为S2，则S1____________S2(填“＞”“＜”或“=”)。

16、如图1-ZT-13，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，矩形OABC的边OA、OC分别在x轴和y轴上，其中OA=6，OC=3，已知反比例函数y=（,k＞0）的图象经过BC边的中点D,交AB于点E。
（1）k的值为________；
（2）猜想△的面积与△的面积之间的关系，并说明理由。

答案：（1）9；（2）S△OCD=S△OBE，理由见解析． 【解析】 试题分析：（1）根据题意得出点D的坐标，从而可得出k的值： ∵OA=6，OC=3，点D为BC的中点，∴D（3，3）． ∵反比例函数（x＞0）的图象经过点D，∴k=3×3=9． （2）根据三角形的面积公式和点D，E在函数的图象上，可得出S△OCD=S△OAE，再由点D为BC的中点，可得出S△OCD=S△OB...

类型之四 k与多边形的面积
17、 如图1-ZT-14所示，过点A（2，-1）分别作y轴、x轴的平行线交双曲线y=于点B、C，过点C作CE⊥x轴于点E，过点B作BD⊥y轴于点D，连接ED，若五边形ABDEC的面积为34，则k的值为________。

18、如图1-ZT-14，点P是反比例函数y=（k1＞0，x＞0）图象上的一动点，过点P作x轴、y轴的垂线，分别交x轴、y轴于A、B两点，交反比例函数y=（k2＜0，且|k2|＜k1）的图象于E、F两点。
（1） 图1中，四边形PEOF的面积S1=______（用含k1、k2的式子表示）；
（2） 图2中，设P点坐标为（2，3），①点E的坐标是（______，______），点F的坐标是（______，______）（用含k2的式子表示）；
（3） ②若△OEF的面积为，求反比例函数y＝的解析式．

解答：
（1） ∵P是点P是反比例函数y＝（k ＞0，x＞0）图象上一动点，∴S=k1
∵E、F分别是反比例函数y＝（k2＜0且|k2|＜k1）的图象上两点，
∴S△OBF=S△AOE=|k2|，
∴四边形PEOF的面积S1=S矩形PBOA+S△OBF+S△AOE=k1+|k2|，
∵k2＜0，
∴四边形PEOF的面积S1=S矩形PBOA+S△OBF+S△AOE=k1+|k2|=k1-k2．
（2）①∵PE⊥x轴，PF⊥y轴可知，P、E两点的横坐标相同，P、F两点的纵坐标相同，
∴E、F两点的坐标分别为E（2，），F（，3）；
②∵P（2，3）在函数y=的图象上，
∴k1=6，
∵E、F两点的坐标分别为E（2，），F（，3）；
∴PE=3-，PF=2-，
∴S△PEF=（3-）（2-）=，
∴S△OEF=（k1-k2）-
=（6-k2）-==，
∴k2=
∵k2＜0，
∴k2=-2．∴y=

题型之五：k与面积综合
16、如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，P是反比例函数y=（x＞0）图像上任意一点，以P为圆心，PO为半径的圆与坐标轴分别交于A、B。
（1） 求证：线段AB为⊙P的直径；
（2） 求△AOB的面积。
（3） 如图2，Q是反比例函数y=（x＞0）图像上异于点P的另一点，以Q为圆心，QO为半径画圆与坐标轴分别交于点C、D。求证：DO·OC=BO·OA。

反比例函数相关练习题
1.如图，直线y=-x上有一长为动线段MN，作MH、NP都平行y轴交在条件（2）下，第一象限内的双曲线y=于点H、P，问四边形MHPN能否为平行四边形（如图3）？若能，请求出点M的坐标；若不能，请说明理由．

2.如图，已知△P10A1，△P2A1A2都是等腰直角三角形，点P1、P2都在函数y=（x＞0）的图象上，斜边OA1、A1A2都在x轴上．则点A2的坐标为

3.如图，A是反比例函数图象上一点，过A作AB⊥X轴于B，P在Y轴上，△ABP面积为3，则k=

4.如图，在轴的正半轴上依次截取，过点分别作轴的垂线与反比例函数的图象相交于点，得直角三角形并设其面积分别为则的值为 ．．

5.如图，⊙A和⊙B都与x轴和y轴相切，A和B都在反比例函数的图象上，则图中阴影部分的面积等于          .

6.如图，正方形A1B1P1P2的顶点P1、P2在反比例函数（x＞0）的图像上，顶点A1、B1分别在x轴和y轴的正半轴上，再在其右侧作正方形P2P3A2B2，顶点P3在反比例函数（x＞0）的图象上，顶点A3在x轴的正半轴上，则点P3的坐标为

7.如图，已知A(－4，n)，B(2，－4)是一次函数y＝kx＋b的图象和反比例函数的图象的两个交点．
则△AOB的面积是_______；