2022年华二冬令营数学试卷答案.docx

冲刺 17 年自主招生之
2022 年华二冬令营数学试卷
y

1
••••••
2
••••••
-2
-1
0
1
2
x
1、“帽子函数〞的图像如下列图：
(1)求此函数的解析式； (2)假设有抛物线 y=-x2+a(a<3), 求它与“帽子函数〞图像的交点个数；
4
(3)请试写出一个抛物线解析式，使它与“帽子函数〞图像有且只有 2 个交点，横坐标分别
5 7
为 ，．
2 2
í
ìx, k £x <k +1
【解析】：⑴y=ï2
1
ï-x+k+1,k+£x <k +1
ïî2
⑵ a<0时，无交点
a=0时，一个交点
0 <a <3 时，两个交点
4
⑶考虑到 a =3 时，抛物线 y =-x2 +3 与帽子函数交于æ-1 , 1 ö、æ1 , 1 ö两点，
4 4 ç
2 2 ÷
ç2 2 ÷
èøèø
所以可以将 y =-x2 +3 向右平移 3 个单位，即满足条件
4
该抛物线解析式为y=-(x-3)2+3
4
2、在一个 8×8 的正方形方格纸中，一个角剪去一个 2×2 的小正方形，问其余局部可否剪
成 15 块“L〞型(如图)纸片，假设能剪，给出剪切方法，假设不能剪，请说明理由。
【解析】〔一道根底的染色问题〕如图进行黑白相间染色，那么 L 型放入方格纸中，必定可以盖住 1 个黑格子和 3 个白格子，或者 3 个黑格子和 1 个白格子。L 形格子盖住的黑格子数都是奇数个，所以 15 个 L 形盖住的黑格子也还是奇数个，而方格纸中有偶数个黑格子，矛盾。所以不能。

3、n 为正整数，S = 1+ 2 + 3 ++n, S为一个由同一个数字组成的三位数，求n的值.
【解析】设该三位数为 aaa ，那么 S =n (n +1)= 111×a
2
变形为 n (n + 1)= 2 ´ 3 ´ 37 ´a ，
考虑到 a 为整数，且1 £a £ 9 只能 a = 6 ， n = 36
4、寒山寺每隔9秒敲一次钟，第一次敲钟时，甲、乙两船分别向上、下游驶去，速度分别为3m/s,9m/s，当甲船听到第 108 声时，乙船只能听见第_声.(V声=300m/s)
【解析】设第一次敲钟时的时刻为 0 秒，
那么甲听到第 108 声的时刻为 107 ´ 9 +107 ´ 9 ´ 3 =972 8 秒
300-3 11

(k-1)´9´9900k

900
设乙只能听到第k声，那么乙听到第k声的时刻为(k-1)´9+=-
300-9 97 97
那么有 900k -900 £ 972 8 ，解得 k <105.8
97 97 11
所以乙只能听到第 105 声
5、对于满足(x-3)2+(y-3)2 =6的所有实数对(x,y), x

这个最大值为 .
【解析】设 x =k ，那么 x =ky
y
代入原式，得(ky-3)2+(y-3)2=6化为(k2+1)y2-(6k+6)y+12=0
要使y有实数解，那么D=(6k+6)2-48(k2+1)³0
使 最大
y
2
解得3-2 £k £ 3 + 22
2
所以最大值为3 + 2
注：本试卷为冬令营考卷，主要目的为筛选竞赛考生，所以难度较高，2,8,9,10 等题均需要一定的竞赛背景，难度超出一般自招难度，不必过于较真
6、方程 x - 2 -1 =a 有三个整数解，求a 的值.
【解析】 f (x)=x - 2 -1 的图像如下列图，只有 y = 1 与 f (x)有三个整数解，
所以 a =1〔当然也可以用分类讨论的方法做〕
7、假设方程 x2 + 2(a +1)x + 2a +1 = 0 有一个小于 1 的正数根,那么实数a 的取值范围
.
【解析】对原式进行十字相乘可得(x + 1)(x + 2a + 1)= 0所以 x =-1或 -2a -1
∵方程有一个小于 1 的正数根
∴ 0 <-2a -1 <1 ，解得 -1 <a <-1
2
8、方程x2+y2+z2+w2 =u2共有_组整数解.
【解析】无数组整数解，取(x, y, z, w, u )= (0, 0, 0, k, k) ，其中k 为任意整数
6
9、正方形ABCD中有一点E，使E到A、B、C的距离之和最小为 2+ 求此正方
形的边长.
【解析】费马点问题：是指位于三角形内且到三角形三个顶点距离之和最短的点。简证：将 DABP 绕点 A 旋转 60°至 DAB ' P ' ，那么 DAPP ' 为正三角形
距离之和 PA +PB +PC =PP '+P ' B '+PC ³B 'C ，
当 B ', P ', P,C 四点共线时“=〞成立，此时ÐAPB =ÐBPC =ÐCPA =120°所以费马点该点所对三角形三边的张角相等，均为120°
C
A
P'
P
B
H
a
3a
E
2a
B'
C B A
3
对于此题，点 E 应满足 ÐAEB =ÐBEC =ÐCEA = 120°
2
设 EH =a ，那么 AE = 2a ， AH =BH =
3a ，BE =(
- 1)a
3
EA +EB +EC = 2a +(
-1)a+2a=(3+
3)a=+

解得 a =
6 ，∴边长 AB =
6
3
6a = 2
10、9 名同学分别投票给“杨坤组〞与“那英组〞，最终“杨坤组〞5 票，“那英组〞4
票，问“杨坤组〞的票数始终压过“那英组〞的概率为_.
C4 4
【解析】满足条件的情况数为8= 14 ，总情况数为C = 126
5 9
所以概率 P=14=1
126 9
C n
卡塔兰数公式：2n〔比较复杂，自行百度〕
n + 1