几个典型的代数系统.pptx

第第6章章 几个典型的代数系统几个典型的代数系统 6.1 半群与群半群与群 半群与群都是具有一个二元运算的代数系统，群是半群的特殊例子。事实上，群是历史上最早研究的代数系统，它比半群复杂一些，而半群概念是在群的理论发展之后才引进的。逻辑关系见图6.1.1。第第6章章 几个典型的代数系统几个典型的代数系统 图6.1.1群半群第第6章章 几个典型的代数系统几个典型的代数系统 定义6.1.1设S，*是代数系统，*是二元运算，如果*运算满足结合律，则称它为半群（semigroups）。换言之，x,y,zS,若*是S上的封闭运算且满足(x*y）*z=x*（y*z），则S，*是半群。许多代数系统都是半群。例如，N,+，Z,P(S),SS,（SS=f|f:SS,是复合运算）均是半群。但Z,-不是半群。第第6章章 几个典型的代数系统几个典型的代数系统 再如，设是有限字母表，+是中的字母串*=+，其中是不含字母的空串，运算是字母串的“连接”运算，则*,是半群。如Com*,puter*,经运算后，得Computer仍是字母串。第第6章章 几个典型的代数系统几个典型的代数系统 【例6.1.1】,则S,是半群。这里代表普通的矩阵乘法运算。证明对任意的因为且a1a20,所以,因此运算封闭。第第6章章 几个典型的代数系统几个典型的代数系统 【例6.1.2】,则S,+不是半群。这里+代表普通的矩阵加法运算。证明对任意的取a2=-a1,则且a1+a2=0，所以因此*运算不封闭。所以S,+不是半群。第第6章章 几个典型的代数系统几个典型的代数系统 【例6.1.3】,则S,不是半群。这里代表普通的矩阵乘法运算。证明取则所以,因此*运算不封闭。所以S,不是半群。第第6章章 几个典型的代数系统几个典型的代数系统 对于半群中的元素，我们有一种简便的记法。设半群S,*中元素a（简记为aS）的n次幂记为an，递归定义如下：a1=a an+1=an*a1n Z+即半群中的元素有时可用某些元素的幂表示出来。因为半群满足结合律，所以可用数学归纳法证明 am*an=amn，(am)n=amn。普通乘法的幂、关系的幂、矩阵乘法的幂等具体的代数系统都满足这个幂运算规则。如果有a2=a，则称a为半群中的幂等元。第第6章章 几个典型的代数系统几个典型的代数系统 定定理理6.1.1若S,*是半群，S是有限集合，则S中必含有幂等元。证明因为S,*是半群，aS,有a2,a3,S。因为S是有限集合，所以必定存在ji,使得ai=aj。令p=j-i,便有ai=aj=ap*ai，所以aq=ap*aq(qi)。因为p1,所以可找到k1,使得kpiakp=ap*akp=ap*(ap*akp)=a2p*akp=a2p*(ap*akp)=akp*akp即在S中存在元素b=akp,使得b*b=b。第第6章章 几个典型的代数系统几个典型的代数系统 下面介绍一些特殊半群。定义6.1.2如果半群S,*中二元运算*是可交换的，则称S,*是可交换半群(commutativesemigroups)。如Z,+,Z,P(S),均是可交换半群。但SS,*,不是可交换半群。定义6.1.3含有关于*运算的幺元的半群S，*，称它为独异点（monoid），或含幺半群，常记为S,*,e(e是幺元)。第第6章章 几个典型的代数系统几个典型的代数系统 【例6.1.4】Z,+是独异点，幺元是0，Z,+,0;Z,是独异点，幺元是1，Z,1；P(S),是独异点，幺元是，P(S),；*,是独异点，幺元是(空串)，*,；SS,是独异点，幺元是IA，SS,IA；但ZE,不是独异点，因为无幺元，（1ZE，ZE：偶数集）。第第6章章 几个典型的代数系统几个典型的代数系统 定义6.1.4(1)设S，*为一半群,若TS,*在T中封闭，则T，*称为子半群。（2）设S，*为一独异点,若TS,*在T中封闭，且幺元eT,则T，*,e称为子独异点。我们前面提过，对于有穷集合的二元运算，可用运算表来给出。第第6章章 几个典型的代数系统几个典型的代数系统 定理6.1.2一个有限独异点，S,*,e的运算表中不会有任何两行或两列元素相同。证明设S中关于运算*的幺元是e。因为对于任意的a，bS且ab时，总有 e*a=ab=e*b和a*e=ab=b*e。所以，在*的运算表中不可能有两行或两列是相同的。该定理容易理解，因为幺元所在的行、列均与表头相同，所以不会出现两行（列）元素完全相同的情况。第第6章章 几个典型的代数系统几个典型的代数系统 【例6.1.5】S=a,b,c,*运算的定义如表6.1.1所示，判断S,*的代数结构？解（1）*是S上的二元运算，因为*运算关于S集合封闭。（2）从运算表中可看出a,b,c均为左幺元（3）x,y,zS,有x*(y*z)=x*z=z(x*y)*z=x*z=z第第6章章 几个典型的代数系统几个典型的代数系统 表6.1.1第第6章章 几个典型的代数系统几个典型的代数系统 【例6.1.6】Z4,+4,Z4=0，1，2，3=Z/R(R是Z上的模4同余关系)，Z4上运算+4，定义为m，nZ4，m+4n=(m+n)(mod4)，它由表6.1.2给出。判断Z4,+4的代数结构。第第6章章 几个典型的代数系统几个典型的代数系统 解（1）+4运算显然封闭。（2）由+4的定义可知+4可结合。（3）从运算表中可知0是幺元，所以Z4,+4是独异点。但在该表中没有任意两行（列）元素完全相同。半群及独异点的下列性质是明显的。第第6章章 几个典型的代数系统几个典型的代数系统 表6.1.2第第6章章 几个典型的代数系统几个典型的代数系统 定理6.1.3设S，*,T，。是半群,f为S到T的同态,这时称f为半群同态。对半群同态有（1）同态象f(S)，为一半群。（2）当S，*为独异点时，则f(S)，。为一独异点。利用上一章的知识立刻可以得到这些结论。独异点中含有幺元。前面曾提到，对于含有幺元的运算可考虑元素的逆元，并不是每个元素均有逆元的，这一点引出了一个特殊的独异点群。第第6章章 几个典型的代数系统几个典型的代数系统 定义6.1.5如果代数系统G，*满足（1）G，*为一半群；（2）G，*中有幺元e；（3）G，*中每一元素xG都有逆元x-1，则称代数系统G，*为群（groups）。或者说，群是每个元素都可逆的独异点。群的基集常用字母G表示，因而字母G也常用于表示群。第第6章章 几个典型的代数系统几个典型的代数系统 【例6.1.7】（1）Z,+（整数集与数加运算）为一群（加群）,数0为其幺元。Z,不是群。因为除幺元1外所有整数都没有逆元。（2）N4,4为一4阶群,数0为其么元。（3）A,P(A),是半群，幺元为，非空集合无逆元，所以不是群。(4)A,P(A),是半群，幺元为A，非空集合无逆元，所以不是群。第第6章章 几个典型的代数系统几个典型的代数系统 (5)A,P(A),的幺元为，SP(A),S的逆元是S，所以是群。(6)Q+,（正有理数与数乘）为一群，1为其么元。Q,不是群，因为数0无逆元。因为零元无逆元，所以含有零元的代数系统就不会是群。第第6章章 几个典型的代数系统几个典型的代数系统 【例6.1.8】设g=a,b,c,d,*为G上的二元运算，它由表6.1.3给出,不难证明G是一个群。且e是G中的幺元；G中任何元素的逆元就是它自己，在a,b,c三个元素中，任何两个元素运算的结果都等于另一个元素，这个群称为klein四元群。第第6章章 几个典型的代数系统几个典型的代数系统 表6.1.3第第6章章 几个典型的代数系统几个典型的代数系统 【例6.1.9】设G,*是一个独异点,并且每个元素都有右逆元,证明G,*为群。证明设e是G,*中的幺元。每个元素都有右逆元，即xG，yG使得x*y=e，而对于此y，又zG使得y*z=e。由于xG均有x*e=e*x=e，因此z=e*z=x*y*z=x*e=x即 x*y=e=y*z=y*x=e第第6章章 几个典型的代数系统几个典型的代数系统 y既是x的右逆元，又是x的左逆元，故xG均有逆元，G,*为群。对群G，*的任意元素a,我们可以同半群一样来定义它的幂：a0=e，对任何正整数n，an+1=an*a，群的幂运算有下列性质：第第6章章 几个典型的代数系统几个典型的代数系统 定理6.1.4对群G，*的任意元素a,b，有（1）(a-1)-1a（2）(a*b)-1b-1*a-1（3）(an)-1=(a-1)n（记为a-n）（n为整数）第第6章章 几个典型的代数系统几个典型的代数系统 证明（1）因为a-1的逆元是a，即a*a-1=a-1*a=e，所以(a-1)-1a。（2）因为(a*b)*(b-1*a-1)=a*(b*b-1)*a-1=e(b-1*a-1)*(a*b)=b-1*(a-1*a)*b=e所以a*b的逆元为b-1*a-1，即(a*b)-1b-1*a-1。第第6章章 几个典型的代数系统几个典型的代数系统 （3）对n进行归纳。群首先是独异点，所以a n+1=an*a。n=1时命题显然真。设n=k时(a-1)k是ak的逆元为真,即(ak)-1=(a-1)k，那么ak+1*(a-1)k+1=ak*(a*a-1)*(a-1)k ak*(a-1)k=e(a-1)k+1*ak+1=(a-1)k*(a-1*a)*ak(a-1)k*ak=e故ak+1的逆元为(a-1)k+1，即(ak+1)-1=(a-1)k+1。归纳完成,得证。第第6章章 几个典型的代数系统几个典型的代数系统 定理6.1.5对群G，*的任意元素a,b，及任何整数m，n,有（1）am*an=am+n（2）(am）n=amn证明留给读者。群的下列性质是明显的。第第6章章 几个典型的代数系统几个典型的代数系统 定理6.1.6设G，*为群，则（1）G有唯一的幺元，G的每个元素恰有一个逆元。（2）方程a*xb，y*ab都有解且有唯一解。（3）当Ge时,G无零元。第第6章章 几个典型的代数系统几个典型的代数系统 （1）结论是十分明显的。(2)先证a-1*b是方程a*xb的解。将a-1*b代入方程左边的x，得 a*(a-1*b)=(a*a-1)*b=e*b=b所以a-1*b是该方程的解。下面证明唯一性。假设c是方程a*xb的解，必有a*c=b,从而有c=e*c=(a-1*a)*c=a-1*(a*c)=a-1*b唯一性得证。同理可证b-1*a是方程y*ab的唯一解。（3）若G有零元,那么由定理5.1.5知它没有逆元，与G为群矛盾。（注意，G=e时,e既是幺元，又是零元。）第第6章章 几个典型的代数系统几个典型的代数系统 定理6.1.7设G，*为群，则G的所有元素都是可约的。因此，群中适合消去律，即对任意a,x,ySa*x=a*y 蕴涵x=yx*a=y*a 蕴涵x=y第第6章章 几个典型的代数系统几个典型的代数系统 定义6.1.6设G为有限集合时，称G为有限群（finitegroup）,此时G的元素个数也称G的阶数（order）；否则，称G为无限群（infinitegroup）。由定理6.1.7可知，特别地，当G为有限群时，*运算的运算表的每一行（列）都是G中元素的一个全排列。对于有限群，运算可用表给出,称为群表。从而有限群G，*的运算表中没有一行（列）上有两个元素是相同的。因此，当G分别为1，2，3阶群时,*运算都只有一个定义方式(即不计元素记号的不同,只有一张定义*运算的运算表,分别如表6.1.4、6.1.5和6.1.6所示),于是可以说,1,2,3阶的群都只有一个。第第6章章 几个典型的代数系统几个典型的代数系统 表6.1.4*eee表6.1.5*e aea e a a e第第6章章 几个典型的代数系统几个典型的代数系统 表6.1.6第第6章章 几个典型的代数系统几个典型的代数系统 【例6.1.10】设G,*为有限独异点,适合消去律,证明G,*为群。证明设e是G,*中的幺元。由G,*适合消去律，即a，b，cG均有a*b=a*cb=cb*a=c*ab=c又由于G,*为有限独异点，所以aG，n I+使得an=ea*an-1=e=an-1*a故aG，an-1G是a的逆元，故G,*为群。第第6章章 几个典型的代数系统几个典型的代数系统 定理6.1.8设G，*为群，则幺元是G的唯一的幂等元素。证明设G中有幂等元x，那么x*x=x，又x=x*e，所以x*x=x*e。由定理6.1.7得x=e。故得证。设G，*为群,如果我们用aG和Ga分别表示下列集合aG=a*g|gGGa=g*a|gG那么我们有以下定理。第第6章章 几个典型的代数系统几个典型的代数系统 定理6.1.9设G，*为一群,a为G中任意元素，那么aG=G=Ga。特别地，当G为有限群时，*运算的运算表的每一行（列）都是G中元素的一个全排列。证明aGG是显然的。设gG，那么a-1*gG，从而a*(a-1*g)aG，即gaG。因此GGa。aG=G得证。Ga=G同理可证。第第6章章 几个典型的代数系统几个典型的代数系统 【例6.1.11】设g=a,b,c,d,*为G上的二元运算，它由表6.1.7给出,不难证明G是一个群，且e是G中的幺元；G中元素b的逆元就是它自己，a与c互逆。在a,b,c三个元素中，任何两个元素运算的结果都等于另一个元素，这是除了klein四元群外的另一个四阶群。对群还可以引入元素的阶的概念。第第6章章 几个典型的代数系统几个典型的代数系统 表6.1.7第第6章章 几个典型的代数系统几个典型的代数系统 定义6.1.7设G，*为群，aG，满足等式an=e的最小正整数n称为a的阶(order)，记作|a|=n。若不存在这样的正整数n,称a是无限阶。【例6.1.12】(1)任何群G的幺元e的阶为1,且只有幺元e的阶为1。(2)Z,+中幺元0的阶为1，而整数a=10时,a有无限阶。(3)Z4,+4中1的阶是4,2的阶是2,3的阶是4。关于元素的阶有以下性质。第第6章章 几个典型的代数系统几个典型的代数系统 定理6.1.10有限群G的每个元素都有有限阶,且其阶数不超过群G的阶数|G|。证明设a为G的任一元素,考虑e=a0,a1,a2,a|G|这|G|+1个G中元素，由于G中只有|G|个元素,由鸽巢原理，它们中至少有两个是同一元素,不妨设as=at0st|G|于是at-s=e,因此a有有限阶,且其阶数至多是t-s,不超过群G的阶数|G|。第第6章章 几个典型的代数系统几个典型的代数系统 定理6.1.11设G，*为群,G中元素a的阶为r,那么,an=e当且仅当r整除n。证明先证充分性。设are，r整除n，那么设n=kr（k为整数），因为are，所以an=akr=(ar)k=er=e。再证必要性。设ane，n=mrk，其中m为n除以r的商，k为余数，因此0kr。于是eanamr+kamr*akak因此,由r的最小性得k=0，r整除n。第第6章章 几个典型的代数系统几个典型的代数系统 理6.1.12设G，*为群，a为G中任一元素，那么|a|=|a-1|。证明设a的阶为n,由(a-1)n=(an)-1=e-1=e,可知a-1的阶是存在的。只要证a具有阶n当且仅当a-1具有阶n。由于逆元是相互的，即(a-1)-1a，因此只需证：当a具有阶n时，a-1也具有阶n。设a的阶是n，a-1的阶是t。由于(a-1)n(an)-1e-1e，故tn。又因为at(a-1)t)-1e-1e，故nt。因此，nt,即|a|=|a-1|。第第6章章 几个典型的代数系统几个典型的代数系统 【例6.1.13】设G是n阶有限群，证明：（1）G中阶大于2的元素个数一定是偶数；（2）若n是偶数，则G中阶等于2的元素个数一定是奇数。证明（1）设A=x|xG，x的阶大于2，则aA，a-1a，否则a2=e与aA矛盾。因为a与a-1的阶相同，且a-1相对于a是唯一的，所以aA，a-1与a成对出现，故G中阶大于2的元素个数一定是偶数。第第6章章 几个典型的代数系统几个典型的代数系统 （2）当n是偶数时，因为G中阶大于2的元素个数一定是偶数，所以G中阶小于等于2的元素个数是偶数，由于阶为1的元素是唯一的幺元e，因此G中阶等于2的元素一定是奇数。第第6章章 几个典型的代数系统几个典型的代数系统 定义6.1.8设G，*为一群。若*运算满足交换律，则称G为交换群或阿贝尔群（Abelgroup）。阿贝尔群又称加群，常表示为G，+（这里的+不是数加，而泛指可交换二元运算，*常被称为乘）。加群的幺元常用0来表示，常用-x来表示x的逆元。如 I,+（整数集与数加运算）为一阿贝尔群（加群）。Q,+，R,+C,+均为交换群。Q+,（正有理数与数乘）为一阿贝尔群，1为其幺元。N4,4为一4阶阿贝尔群。第第6章章 几个典型的代数系统几个典型的代数系统 定理6.1.13设G，*为一个群，G，*为阿贝尔群的充分必要条件是对任意x,yG,有（x*y）*(x*y)=(x*x)*(y*y)。证明先证必要性。设G，*为阿贝尔群，这对于任意的x,yG，有（x*y）=(y*x)，所以(x*x)*(y*y)=x*（x*y)*y=x*（y*x)*y=（x*y）*(x*y)再证充分性。第第6章章 几个典型的代数系统几个典型的代数系统 设对于任意的x,yG，有（x*y）*(x*y)=(x*x)*(y*y)。因为x*（x*y)*y=(x*x)*(y*y)=（x*y）*(x*y)=x*（y*x)*y由消去律可得（x*y）=(y*x)所以G，*为阿贝尔群。第第6章章 几个典型的代数系统几个典型的代数系统 6.2 子子 群群 定义6.2.1设G，*为群，H,如果H，*为G的子代数，且H，*为一群，则称H，*为G的子群(subgroups)，记作HG。第第6章章 几个典型的代数系统几个典型的代数系统 【例6.2.1】Z,+是Q,+的子群；Q,+是R,+的子群；R,+是C,+的子群。【例6.2.2】EI,E为偶数集。那么E,+为I,+的子群；M I,M为奇数集,但M,+不是I,+的子群。显然,对任何群G,e，*及G，*均为其子群,它们被称为平凡子群,其它子群则称为非平凡子群或真子群。第第6章章 几个典型的代数系统几个典型的代数系统 子群有下列特性定理6.2.1设G，*为群，那么H，*为G，*的子群的充分必要条件是（1）G的幺元eH。（2）若a，bH，则a*bH。（3）若aH，则a-1H。第第6章章 几个典型的代数系统几个典型的代数系统 证明先证必要性。设H为子群。（1）设H，*的幺元为e,对于任意xSG,那么e*x=x=e*x。由于在G中满足消去律,故e=e,eH得证。（2）是显然的（因H为子代数）。（3）设H，*中任一元素a在H中逆元为b,那么a*b=b*a=e,因为HG,所以a,bG由逆元的唯一性,b就是a在G中的逆元,即b=a-1H。第第6章章 几个典型的代数系统几个典型的代数系统 充分性是明显的。事实上只要条件（2）、（3）便可使H，*为G，*的子群,因为H不空时条件（2）、（3）蕴涵条件（1），因此，可用（2）、（3）来判别非空子集H是否构成G的子群H，*。对于有限群,子群的判别更为简单。第第6章章 几个典型的代数系统几个典型的代数系统 定理6.2.2设G，*为群,H为G的非空有限子集，且H对*运算封闭,那么H，*为G，*的子群。证明由于H为有限集,设|H|=k,aH。考虑a1,a2,ak+1,它们都在H中(H对*运算封闭),由鸽巢原理，因此必定有ai=aj(0ijk+1),从而aj-i=e,故eH。第第6章章 几个典型的代数系统几个典型的代数系统 若H=e,H，*为G的子群得证。若He,设a为H中任意一个不同于e的元素。同上可证,有r2使ar=e,从而有ar=a*ar-1=ar-1*a=e因此,a-1=ar-1H。据定理6.2.1,H，*为G的子群得证。第第6章章 几个典型的代数系统几个典型的代数系统 定理6.2.3设G，*为群，H是G的非空子集，那么H，*为G，*的子群的充分必要条件是a，bH有a*b-1H。证明先证必要性。任取a,bH,由于H是G的子群，必有b-1H,所以a*b-1H。第第6章章 几个典型的代数系统几个典型的代数系统 再证充分性。因为H非空，必存在aH(取b=a)，由已知条件有a*a-1H，即eH。任取aH,由e,aH有e*a-1H,即a-1H。任取a,bH,则b-1H,由已知条件有a*(b-1)-1H，即abH。据定理6.2.1,H，*为G的子群得证。第第6章章 几个典型的代数系统几个典型的代数系统 【例6.2.3】Klein四元群，e,*,e,a,*,e,b,*,e,c,*均是其子群。【例6.2.4】设G为群，aG,令H=ak|k Z,即a的所有的幂构成的集合，则H是G的子群，称为由a生成的子群，记作a。a称为生成元(generater)。证明因为aa，所以a。任取am,a1a,有am(a1)-1=ama-1=am-la由定理6.2.3可知aG。第第6章章 几个典型的代数系统几个典型的代数系统 【例6.2.5】Z,+除0=0外，子群都是无限阶。1=0,1,-1,2,-2,=Z,称1是 Z的生成元。2=0,2,-2,4,-4,=2k|k Z=2Z【例6.2.6】设G,*是群，对任一个aG，令C是与G中所有的元素都可交换的元素构成的集合，即C=y|y*a=a*y，yG则C,*是G的子群，称为G的中心。第第6章章 几个典型的代数系统几个典型的代数系统 证明由e与G中所有元素可交换可知eC。C是G的非空子集。由y*a=a*y可得y=a*y*a-1，因此x，yC，因为x*y-1=（a*x*a-1）*（a*y-1*a-1）=a*x*y-1*a-1因此x*y-1*a=a*x*y-1所以x*y-1H，故C,*是G的子群。第第6章章 几个典型的代数系统几个典型的代数系统 6.3 循环群和置换群循环群和置换群 在这一节里我们要介绍两种重要的群循环群和置换群。定义6.3.1如果G为群，且G中存在元素a,使G以a为生成元，称G，*为循环群(cyclicgroup)，即G的任何元素都可表示为a的幂（约定e=a0）。第第6章章 几个典型的代数系统几个典型的代数系统 【例6.3.1】（1）Z,+为循环群，1或（l）为其生成元。（2）令A=2i|iI，那么A,(为普通的数乘)是循环群，2是生成元。（3）Z8,+8为循环群，1，3都可以是生成元。（4）(为矩阵乘法)，幺元为因为,所以逆元为，生成元为第第6章章 几个典型的代数系统几个典型的代数系统 定理6.3.1设G，*为循环群，a为生成元，则G为阿贝尔群。证明对于任意的x,yG,必有s,tZ使得x=as,y=at，所以x*y=as*at=as+t=at+s=at*as=y*x所以，G，*为阿贝尔群。定理6.3.2G为由a生成的有限循环群，则有G=e，a，a2,，an-1其中n=|G|，也是a的阶从而n阶循环群必同构于Zn,n。第第6章章 几个典型的代数系统几个典型的代数系统 证明由于G为有限群,a有有限阶，设为k，k|G|=n。易证e，a，a2,，ak-1为G的子群（只要证其每一元素ai有逆元ak-i）。现证Ge，a，a2,，ak-1从而知n=k，G=e，a，a2,，an-1。第第6章章 几个典型的代数系统几个典型的代数系统 设有amG，但ame，a，a2,，ak-1。令m=pk+q，其中p为k除m的商,q为余数，0qk，于是am=apk+q=apk*aq=aq这就是说aqe，a，a2,，ak-1，0qk，产生矛盾。因此G=e，a，a2,，ak-1,命题得证。第第6章章 几个典型的代数系统几个典型的代数系统 定理6.3.3设G，*为无限循环群且G=a，则G只有两个生成元a和a-1,且G，*同构于Z,+。证明首先证明a-1是其生成元，因为a-1G,须证Ga-1，设akG,因为ak=（a-1）-k，G=a-1。第第6章章 几个典型的代数系统几个典型的代数系统 再证明G只有两个生成元a和a-1。假设b是G的生成元，则G=b,由aG可知存在整数s使得a=bs,又由bG可知存在整数t使得b=at,有a=bs=(at)s=ats由消去律得a ts-1=e因为G，*为无限循环群，所以ts-1=0,从而有t=s=1或t=s=-1。因此b=a或b=a-1。第第6章章 几个典型的代数系统几个典型的代数系统 上面定理6.3.2和定理6.3.3告诉我们，循环群本质上只有两种，一种同构于Z,+，另一种同构于Zn,+，弄清了Z,+与Zn,+，也就弄清了所有无限的和有限的循环群。第第6章章 几个典型的代数系统几个典型的代数系统 定理6.3.4循环群的子群都是循环群。证明设G，*为a生成的循环群，H，*为其子群。当然，H中元素均可表示为ar形。（1）若He=e,显然H为循环群。（2）若He，那么H中有ak(k0)。由于H为子群，H中必还有a-k，因此，不失一般性，可设k为正整数，并且它是H中元素的最小正整数指数。现证H为ak生成的循环群。第第6章章 几个典型的代数系统几个典型的代数系统 设am为H中任一元素令mpk+q，其中p为k除m的商，q为余数，0qk。于是 am=apk+qapk*aq aq=a-pk*am 由于am,a-pkH（因apkH），故aqH，根据k的最小性，q0，从而am=gpk=(ak)p，H为循环群得证。根据上述定理，立即可以推得以下定理。第第6章章 几个典型的代数系统几个典型的代数系统 定理6.3.5设G，*为a生成的循环群。（1）若G为无限群，则G有无限多个子群，它们分别由a0,a1,a2,a3,生成。（2）若G为有限群，|G|n，且n有因子k1,k2,k3,kr，那么G有r个循环子群，它们分别由ak1,ak2,ak3,生成。第第6章章 几个典型的代数系统几个典型的代数系统 【例6.3.2】Z，有循环子群：0,，2Z,，3Z,，4Z,，Z，下面考虑置换群。定义6.3.2任意集合A上的双射函数称为变换。对任意集合A定义集合G，即A,G=f|f是A上的变换，。为函数的复合运算，G,。是群，称为A的全变换群，记作SA,SA的子群称为A的变换群。第第6章章 几个典型的代数系统几个典型的代数系统 【例6.3.3】平面上全体平移组成一个变换群。解设1：+1（一个双射函数），2：+2，则2。1：+（1+2）,。封闭。e：是幺元。1的逆元为-11：-1。所以平面上全体平移组成一个变换群。第第6章章 几个典型的代数系统几个典型的代数系统 定理6.3.6每个群均同构于一个变换群。证明设G，*为任一群,对G中每一元素a，定义双射函数fa:GG如下:fa（x）a*x显然fa为双射，令F=fa|aG第第6章章 几个典型的代数系统几个典型的代数系统 下证F,。为群（。为函数复合运算）。（1）F对。运算封闭。设faF，fbF,那么aG，bG。考虑fa。fb：对任意xG，有 fa。fb（x）fa(fb(x)a*b*xfab（x）即fa。fbfab。由于a*bG，fabF,故fa。fbF。第第6章章 几个典型的代数系统几个典型的代数系统 （2）。运算显然满足结合律。（3）。运算有幺元feF。e为群G的幺元。（4）F中每一元素fa均有逆元fa-1。第第6章章 几个典型的代数系统几个典型的代数系统 【例6.3.4】设A=1,2,3,A上有6个置换：一般地，A=a1，a2，an时，A上有n!个置换。置换满足(ai)aji时，可表示为第第6章章 几个典型的代数系统几个典型的代数系统 置换的合成运算通常用记号。表示之，对置换的独特表示形式计算它们的合成时，可像计算两个关系的合成那样来进行。例如：因此,应当注意(i。j)(x)=j(i(x)第第6章章 几个典型的代数系统几个典型的代数系统 对于置换的复合运算而言，A上的全体置换中有幺元恒等函数,又称幺置换，且每一置换都有逆置换，因此置换全体构成一个群。定义6.3.4将n个元素的集合A上的置换全体记为Sn，那么称群Sn,。为n次对称群（symmetricgroup），它的子群又称为n次置换群（permutationgroup）。第第6章章 几个典型的代数系统几个典型的代数系统 【例6.3.5】令A=1,2,3,4,S4=|为A上置换，因此，S4,。为四次对称群。解第第6章章 几个典型的代数系统几个典型的代数系统 表6.3.1第第6章章 几个典型的代数系统几个典型的代数系统 定义6.3.5设是S=1,2,n上的n元置换。若(i1)=i2,(i2)=i3,(ik-1)=ik,(ik)=i1且保持S中的其它元素不变，则称为S上的k阶轮换，记作（i1,i2,ik）。若k=2,这时也称为S上的对换。下面介绍置换的轮换表示。设置换为其轮换表示为=（1357）（26）（4）（8）第第6章章 几个典型的代数系统几个典型的代数系统 轮换有下面性质：(1)每个置换均可写成一些轮换的乘积，使得不同轮换中没有公共元素。例如，长度为1的轮换往往忽略不写，即上式通常记为（23）（456）。(2)同一置换中任何不相交轮换可交换，因为不同轮换中没有公共元素，这些轮换的次序可任意改变。如上式（23）（456）=（456）（23）。第第6章章 几个典型的代数系统几个典型的代数系统 (3)如果不计这种次序，每个置换可唯一表成没有公共元素的一些轮换之积。(4)每个轮换可表成一些对换之积。例如（1，2，3，n）=(1n)(1n-1)(13)(12),所以每个置换中可表成有限个对换之积。这种表达式（甚至对换的个数）显然不唯一。但是，同一个置换以多种方式表成对换之积时，其所含对换个数的奇偶性是不变的。表成奇（偶）数个对换之积的置换叫做奇（偶）置换。显然，两个奇置换或两个偶置换之积是偶置换，一个奇置换与一个偶置换之积是奇置换。第第6章章 几个典型的代数系统几个典型的代数系统 6.4 陪集与拉格朗日定理陪集与拉格朗日定理 定义6.4.1设G，*为群，A,BG,且A,B非空，则AB=a*baA,bB称为A,B的乘积。【例6.4.1】设S3=(1),(12),(13),(23),(123),(132),A=(1),(12),B=(123),(13),求AB,BA。解AB=（123），（13），（12）（123），（12）（13）=（123），（13）第第6章章 几个典型的代数系统几个典型的代数系统 BA=（123），（13），（123）(12），（13）（12）=（123），（13）,(23),(132)一般地，|AB|A|B|,当G可交换，则AB=BA。当A=a时，aB=aB。乘积的性质：设G，*为群，A,B,CG,且A,B,C非空,则第第6章章 几个典型的代数系统几个典型的代数系统 （1）（AB）C=A(BC)（因为群中所有元素都满足结合律）。（2）eA=Ae=A（因为群中所有元素乘一幺元都等于元素本身）。定义6.4.2设H，*为G，*的子群，那么对任一gG，称gH为H的左陪集(leftcoset)称Hg为H的右陪集(rightcoset)。这里gH=g*h|hH，Hg=h*g|hH第第6章章 几个典型的代数系统几个典型的代数系统 【例6.4.2】在S3中，H=(1),(12),则(13）H=(13)(1),(13)(12)=(13),(132)(123)H=(123)(1),(123)(12)=(123),(23)关于左（右）陪集我们有以下定理。第第6章章 几个典型的代数系统几个典型的代数系统 定理6.4.1设H，*为G，*的子群，那么（1）对任意gG，|gH|=|H|（|Hg|=|H|）。（2）当gH时，gH=H（Hg=H）。证明（1）只要证H与gH之间存在双射即可。定义函数f:HgH如下:对任何一hH，有f（h）=g*h第第6章章 几个典型的代数系统几个典型的代数系统 设h1h2，则f（h1）=g*h1,f（h2）=g*h2，若f（h1）=f（h2），那么由消去律即得h1=h2，与h1h2矛盾。f为单射得证。f为满射是显然的。因此f为双射。|gH|=|H|得证。同理可证|Hg|=|H|。所以一个元素乘以集合使该集合的基数保持不变。（2）由定理6.1.9立即可得。第第6章章 几个典型的代数系统几个典型的代数系统 下面几个定理讨论陪集的性质。定理6.4.2设H，*为G，*的子群，有（1）aaH。（2）若baH,则bH=aH。第第6章章 几个典型的代数系统几个典型的代数系统 证明（1）因为H，*为G，*的子群，所以G中的幺元e一定在子群H中,所以a=a*eaH,因此aaH，得证。(2)若baH,则存在hH,使b=ah,bH=(ah)H=a(hH),由定理6.4.1之（2）可知hH=H,因此bH=a(hH)=aH。第第6章章 几个典型的代数系统几个典型的代数系统 定理6.4.3任意两陪集或相同或不相交。即设H，*为G，*的子群，a，bG，则或者aH=bH（Ha=Hb），或者aHbH=（HaHb=）。证明我们用否定一个推出另一个的方法。只需证明若相交则相同。设 aHbH，那 么 有 caHbH,因 此 存 在h1,h2H使得a*h1=b*h2。于是ab*h2*h-11。第第6章章 几个典型的代数系统几个典型的代数系统 为证aHbH，设xaH，那么有h3H，使得x=a*h3=b*(h2*h-11*h3)bH。aHbH得证。同理可证bHaH。于是aH=bH得证。对于右陪集Ha，Hb，同上可证平行的命题。第第6章章 几个典型的代数系统几个典型的代数系统 定理6.4.4设H，*为G，*的子群，a，bG有a,b属于H的同一左陪集a-1*bH。证明设a,b属于H的同一左陪集，则有gG，使a，bgH，因而有h1,h2H,使得a=g*h1，bg*h2。于是a-1*b=(g*h1)-1*(g*h2)=h-11*h2H反 之，设 a-1*bH,即 有 hH使 a-1*b=h。因 而b=a*haH。而aaH显然，故a，b在同一左陪集aH中。利用陪集还可定义陪集等价关系。第第6章章 几个典型的代数系统几个典型的代数系统 定理6.4.5设H，*为群G，*的子群,则R=a,b|a,bG,a-1*bH是G上的一个等价关系，且aR=aH，称R为群G上H的左陪集等价关系。证明首先证明R是一个等价关系。（1）aG,a-1G,有a-1*a=eH,所以a,aR，因此R是自反的。第第6章章 几个典型的代数系统几个典型的代数系统 （2）若a,bR,有a-1*bH，（a-1*b）-1=b-1*a,因为H群G的子群，所以（a-1*b）-1H，即b-1*aR,所以b,aR,因此R是对称的。（3）若a,b,b,cR,则有a-1*bH和 b-1*cH,所以(a-1*b)*(b-1*c)H，而(a-1b)*(b-1*c)=a-1*cH,所以a,cH,因此R是传递的。第第6章章 几个典型的代数系统几个典型的代数系统 定理6.4.6设G，*为有限群，H是G的子群，那么|H|G|（H的阶整除G的阶）。证明设R是G中的等价关系，将G分成不同等价类，由以上讨论知由于这k个左陪集是两两不相交的，所以有|G|=|a1H|+|a2H|+|akH|(6.4.1)第第6章章 几个典型的代数系统几个典型的代数系统 由定理6.4.1可知|aiH|=|H|(i=1,2,k),将这些式子代入式(6.4.1)得|G|=k|H|其中k为不同左（右）陪集的数目。定理得证。第第6章章 几个典型的代数系统几个典型的代数系统 推论1：有限群G，*中任何元素的阶均为G的阶的因子。证明 设a为G中任一元素,a的阶为r那么令H=a=e,a,a2，ar-1,则H必为G的r阶子群，由定理6.4.6,因此r整除|G|。推论2:质数阶的群没有非平凡子群。第第6章章 几个典型的代数系统几个典型的代数系统 证明如果有非平凡子群，则该子群的阶必是原来群的阶的一个因子，则与原来群的阶是质数相矛盾。推论3：设G，*是群且G=4,则G同构于4阶循环群C4或Klein四元群D2。证明设G=e,a,b,c,其中e是幺元。因为元素阶只可能是1，2，4。若有4阶元a，则|a|=4,a=e,a,a2,a3C4(表示同构)。第第6章章 几个典型的代数系统几个典型的代数系统 若G中无4阶元素，则G中有一个幺元，剩余的