高等数学同济下册期末考试题及答案5套.pdf

1/13 高等数学（下册）考试试卷（一）一、填空题（每小题 3 分，共计 24 分）1、z=)0()(log22ayxa的定义域为 D=。2、二重积分1|22)ln(yxdxdyyx的符号为 。3、由曲线xyln及直线1eyx，1y所围图形的面积用二重积分表示为 ，其值为 。4、设曲线 L 的参数方程表示为),()()(xtytx则弧长元素ds 。5、设曲面为922yx介于0z及3z间的部分的外侧，则dsyx)122（。6、微分方程xyxydxdytan的通解为 。7、方程04)4(yy的通解为 。8、级数1)1(1nnn的和为 。二、选择题（每小题 2 分，共计 16 分）1、二元函数),(yxfz在),(00yx处可微的充分条件是（）（A）),(yxf在),(00yx处连续；（B）),(yxfx，),(yxfy在),(00yx的某邻域内存在；（C）yyxfxyxfzyx),(),(0000当0)()(22yx时，是无穷小；（D）0)()(),(),(lim22000000yxyyxfxyxfzyxyx。2、设),()(xyxfyxyfu其中f具有二阶连续导数，则2222yuyxux等于（）（A）yx；（B）x；(C)y；(D)0。3、设：,0,1222zzyx则三重积分zdVI等于（）（A）4 2020103cossindrrdd；（B）200102sindrrdd；2/13 （C）2020103cossindrrdd；（D）200103cossindrrdd。4、球面22224azyx与柱面axyx222所围成的立体体积 V=（）（A）20cos202244adrrad；（B）20cos202244adrrard；（C）20cos202248adrrard；（D）22cos20224adrrard。5、设有界闭区域 D 由分段光滑曲线 L 所围成，L 取正向，函数),(),(yxQyxP在 D 上具有一阶连续偏导数，则LQdyPdx)(（A）DdxdyxQyP)(；（B）DdxdyxPyQ)(；（C）DdxdyyQxP)(；（D）DdxdyyPxQ)(。6、下列说法中错误的是（）（A）方程022yxyyx是三阶微分方程；（B）方程xydxdyxdxdyysin是一阶微分方程；（C）方程0)3()2(22232dyyxydxxyx是全微分方程；（D）方程xyxdxdy221是伯努利方程。7、已知曲线)(xyy 经过原点，且在原点处的切线与直线062yx平行，而)(xy 满足微分方程052yyy，则曲线的方程为y（）（A）xex2sin；（B）)2cos2(sinxxex；（C）)2sin2(cosxxex；（D）xex2sin。8、设0limnnnu ,则 1nnu（）（A）收敛；（B）发散；（C）不一定；（D）绝对收敛。三、求解下列问题（共计 15 分）1、（7 分）设gf,均为连续可微函数。)(),(xyxgvxyxfu，3/13 求yuxu,。2、（8 分）设txtxdzzftxu)(),(，求tuxu,。四、求解下列问题（共计 15 分）。1、计算I 2022xydyedx。（7 分）2、计算dVyxI)(22，其中是由x21,222zzzy及所围成的空间闭区域（8 分）五、（13 分）计算LyxydxxdyI22，其中 L 是xoy面上的任一条无重点且分段光滑不经过原点)0,0(O的封闭曲线的逆时针方向。六、（9 分）设对任意)(,xfyx满足方程)()(1)()()(yfxfyfxfyxf，且)0(f存在，求)(xf。七、（8 分）求级数11212)2()1(nnnnx的收敛区间。高等数学（下册）考试试卷（二）1、设zyxzyx32)32sin(2，则yzxz 。2、xyxyyx93lim00 。3、设 202),(xxdyyxfdxI，交换积分次序后，I 。4、设)(uf为可微函数，且,0)0(f则222)(1lim2230tyxtdyxft 。5、设 L 为取正向的圆周422yx，则曲线积分 Lxxdyxyedxyey)2()1(。6、设kxyzjxzyiyzxA)()()(222，则Adiv 。7、通解为xxececy221的微分方程是 。8、设xxxf0,10,1)(，则它的 Fourier 展开式中的na 。4/13 二、选择题（每小题 2 分，共计 16 分）。1、设函数0,00,),(2222422yxyxyxxyyxf ,则在点（0，0）处（）（A）连续且偏导数存在；（B）连续但偏导数不存在；（C）不连续但偏导数存在；（D）不连续且偏导数不存在。2、设),(yxu在平面有界区域 D 上具有二阶连续偏导数，且满足 02yxu 及 22xu 022yu，则（）（A）最大值点和最小值点必定都在 D 的内部；（B）最大值点和最小值点必定都在 D 的边界上；（C）最大值点在 D 的内部，最小值点在 D 的边界上；（D）最小值点在 D 的内部，最大值点在 D 的边界上。3、设平面区域 D：1)1()2(22yx，若DdyxI21)(，DdyxI32)(则有（）（A）21II；（B）21II；（C）21II；（D）不能比较。4、设是由曲面1,xxyxyz及0z 所围成的空间区域，则dxdydzzxy32=（）（A）3611；（B）3621；（C）3631；（D）3641。5、设),(yxf在曲线弧 L 上有定义且连续，L 的参数方程为)()(tytx )(t，其中)(),(tt在,上具有一阶连续导数，且0)()(22tt，则曲线积分Ldsyxf),(（）(A)dtttf)(),(；(B)dtttttf)()()(),(22；(C)dtttttf)()()(),(22；(D)dtttf)(),(。6、设是取外侧的单位球面1222zyx，则曲面积分 zdxdyydzdxxdydz=（）(A)0；(B)2；(C)；(D)4。7、下列方程中，设21,yy是它的解，可以推知21yy 也是它的解的方程是（）(A)0)()(xqyxpy；(B)0)()(yxqyxpy；5/13 (C)()()(xfyxqyxpy；(D)0)()(xqyxpy。8、设级数 1nna为一交错级数，则（）(A)该级数必收敛；(B)该级数必发散；(C)该级数可能收敛也可能发散；(D)若)0(0nan，则必收敛。三、求解下列问题（共计 15 分）1、（8 分）求函数)ln(22zyxu在点 A（0，1，0）沿 A 指向点 B（3，-2，2）的方向的方向导数。2、（7 分）求函数)4(),(2yxyxyxf在由直线0,0,6xyyx所围成的闭区域 D 上的最大值和最小值。四、求解下列问题（共计 15 分）1、（7 分）计算3)1(zyxdvI，其中是由0,0,0zyx及1zyx 所围成的立体域。2、（8 分）设)(xf为连续函数，定义dvyxfztF)()(222，其中222,0|),(tyxhzzyx，求dtdF。五、求解下列问题（15 分）1、（8 分）求LxxdymyedxmyyeI)cos()sin(，其中 L 是从 A（a，0）经2xaxy到 O（0，0）的弧。2、（7 分）计算dxdyzdzdxydydzxI222，其中是)0(222azzyx 的外侧。六、（15 分）设函数)(x具有连续的二阶导数，并使曲线积分 Lxdyxydxxexx)()(2)(32与路径无关，求函数)(x。高等数学（下册）考试试卷（三）一、填空题（每小题 3 分，共计 24 分）1、设yzxztdteu2，则zu 。2、函数)2sin(),(yxxyyxf在点（0，0）处沿)2,1(l的方向导数 6/13 )0,0(lf=。3、设为曲面0,122zyxz所围成的立体，如果将三重积分dvzyxfI),(化为先对z再对y最后对x三次积分，则 I=。4、设),(yxf为连续函数，则IDtdyxft),(1lim20 ，其中222:tyxD。5、Ldsyx)(22 ，其中222:ayxL。6、设是一空间有界区域，其边界曲面是由有限块分片光滑的曲面所组成，如果函数),(zyxP，),(zyxQ，),(zyxR在上具有一阶连续偏导数，则三重积分与第二型曲面积分之间有关系式：，该关系式称为 公式。7、微分方程96962xxyyy的特解可设为*y 。8、若级数11)1(npnn发散，则p 。二、选择题（每小题 2 分，共计 16 分）1、设),(bafx存在，则xbxafbaxfx),(),(lim0=（）（A）),(bafx；（B）0；（C）2),(bafx；（D）21),(bafx。2、设2yxz，结论正确的是（）（A）022xyzyxz；（B）022xyzyxz；（C）022xyzyxz；（D）022xyzyxz。3、若),(yxf为关于x的奇函数，积分域 D 关于y轴对称，对称部分记为21,DD，),(yxf在 D 上连续，则Ddyxf),(（）（A）0；（B）21),(Ddyxf；（C）41),(Ddyxf；(D)22),(Ddyxf。4、设：2222Rzyx，则dxdydzyx)(22=（）（A）538R；（B）534R；（C）5158R；（D）51516R。5、设在xoy面内有一分布着质量的曲线 L，在点),(yx处的线密度为),(yx，则曲线弧的重心的x坐标x 7/13 为（）（）x=LdsyxxM),(1；（B）x=LdxyxxM),(1；（C）x=Ldsyxx),(；（D）x=LxdsM1,其中 M 为曲线弧的质量。、设为柱面122yx和1,0,0zyx在第一卦限所围成部分的外侧，则 曲面积分ydxdzxxzdydzzdxdyy22（）（A）0；（B）4；（C）245；（D）4。、方程)(2xfyy的特解可设为（）（A）A，若1)(xf；（B）xAe，若xexf)(；（C）EDxCxBxAx234，若xxxf2)(2；（D）)5cos5sin(xBxAx，若xxf5sin)(。、设xxxf010,1)(，则它的 Fourier 展开式中的na等于（）（A）)1(1 2nn；（B）0；（C）n1；（D）n4。三、（分）设ttxfy),(为由方程 0),(tyxF 确定的yx,的函数，其中Ff,具有一阶连续偏导数，求dxdy。四、（分）在椭圆4422 yx上求一点，使其到直线0632 yx的距离最短。五、（分）求圆柱面yyx222被锥面22yxz和平面0z割下部分的面积。六、（分）计算 xyzdxdyI，其中为球面 1222zyx 的0,0 yx部分 的外侧。七、（10 分）设xxdxdf2sin1)(cos)(cos，求)(xf。八、（10 分）将函数)1ln()(32xxxxf展开成x的幂级数。8/13 高等数学（下册）考试试卷（一）参考答案 一、1、当10a时，1022yx；当1a时，122yx；2、负号；3、23;110Dyeeydxdyd；4、dttt)()(22；5、180；6、Cxxysin；7、xxeCeCxCxCy2423212sin2cos；8、1；二、1、D；2、D；3、C；4、B；5、D；6、B；7、A；8、C；三、1、21fyfxu；)(xyxgxyu；2、)()(txftxfxu；)()(txftxftu；四、1、)1(21420200220222 edyyedxedydyedxyyyxy；2、2020212022132233142rdzrdrddzrdrdI柱面坐标；五、令2222,yxxQyxyP则xQyxxyyP22222)(，)0,0(),(yx；于是当 L 所围成的区域 D 中不含 O（0，0）时，xQyP,在 D 内连续。所以由 Green公式得：I=0；当 L所围成的区域 D中含 O（0，0）时，xQyP,在 D内除 O（0，0）外都连续，此时作曲线l为)10(222yx，逆时针方向，并假设*D为L及l所围成区域，则 2)(222*yxDllLllLdxdyyPxQGreenI公式 六、由所给条件易得：0)0()0(1)0(2)0(2ffff 又xxfxxfxfx)()(lim)(0=xxfxfxfxfxfx)()()(1)()(lim0 9/13 xfxfxfxfxfx)0()()()(1)(1lim20)(1)0(2xff 即)0()(1)(2fxfxf cxfxf)0()(arctan即)0(tan)(cxfxf 又 0)0(f 即Zkkc,)0(tan()(xfxf 七、令tx 2，考虑级数11212)1(nnnnt 212321232limtntntnnn 当12t即1t时，亦即31x时所给级数绝对收敛；当1t即3x或1x时，原级数发散；当1t即1x时，级数11121)1(nnn收敛；当1t即3x时，级数1121)1(nnn收敛；级数的半径为 R=1，收敛区间为1，3。高等数学（下册）考试试卷（二）参考答案 一、1、1；2、-1/6；3、202/4222/),(),(yyydxyxfdydxyxfdy；4、)0(32f；5、8；6、)(2zyx；7、02yyy；8、0；二、1、C；2、B；3、A；4、D；5、C；6、D；7、B；8、C；三、1、函数)ln(22zyxu在点 A（1，0，1）处可微，且 10/13 )1,0,1(221zyxxuA2/1；01)1,0,1(2222zyyzyxyuA；2/11)1,0,1(2222zyzzyxzuA 而),1,2,2(ABl所以)31,32,32(l,故在 A 点沿ABl方向导数为：AluAxucos+Ayucos+Azucos .2/13121)32(03221 2、由0)24(0)1()4(22yxxfxyyxxyfyx得 D 内的驻点为),1,2(0M且4)1,2(f，又0)0,(,0),0(xfyf 而当0,0,6yxyx时，)60(122),(23xxxyxf 令0)122(23 xx得4,021 xx 于是相应2,621 yy且.64)2,4(,0)6,0(ff ),(yxf在 D 上的最大值为4)1,2(f，最小值为.64)2,4(f 四、1、的联立不等式组为yxzxyx101010:所以 1010103)1(xyxzyxdzdydxI xdyyxdx1021041)1(121 101652ln21)4311(21dxxx 2、在柱面坐标系中 200022)()(thrdzrfzdrdtFtdrrhrrhf03231)(2 11/13 所以 31)(232thtthfdtdF31)(222htfht 五、1、连接OA，由Green公式得：OAOALIOAOAL 0,220)coscos(yaxyxxxGreendxdymyeye公式 281am 2、作辅助曲面2221:ayxaz，上侧，则由 Gauss公式得：I+11=11 =azzyxayxdxdyadxdydzzyx0,2222222)(2 =azyxazdxdydz042222 4043212aadzza 六、由题意得：)()(2)(32xxexxx 即xxexxx2)(2)(3)(特征方程0232 rr，特征根2,121rr 对应齐次方程的通解为：xxececy221 又因为2是特征根。故其特解可设为：xeBAxxy2*)(代入方程并整理得：1,21BA 即 xexxy2*)2(21 故所求函数为：xxxexxececx2221)2(21)(高等数学（下册）考试试卷（三）参考答案 12/13 一、1、2222zxzyxeye；2、5；3、1111102222),(xxyxdzzyxfdydx；4、325);0,0(af、；6、RdxdyQdzdxPdydzdvzRyQxP)(，Gauss公式；7、CBxAx2 8、0P。二、1、C；2、B；3、A；4、C；5、A；6、D；7、B；8、B 三、由于dttxfdxtxfdytx),(),(，0dtFdyFdxFtyx 由上两式消去dt，即得：yttxttxFfFFfFfdxdy 四、设),(yx为椭圆4422 yx上任一点，则该点到直线0632 yx的距离为 13326yxd；令)44()326(222yxyxL，于是由：04408)326(602)326(422yxLyyxLxyxLyx 得条件驻点：)53,58(),53,58(),53,58(),53,38(4321MMMM 依题意，椭圆到直线一定有最短距离存在，其中1313133261minMyxd即为所求。五、曲线yyxyxz22222在yoz面上的 投影为0)0(22xzyyz 于是所割下部分在yoz面上的投影域为：yzyDyz2020:，y 由图形的对称性，所求面积为第一卦限部分的两倍。dzxyxAyzD22)()(12 x yzDyyydzdyyydydz21202282222 13/13 六、将分为上半部分2211:yxz和下半部分2221:yxz，21,在面xoy上的投影域都为：,0,0,1:22yxyxDxy 于是：1221dxdyyxxyzdxdyxyD 1511cossin201022dd极坐标；2151)(1(22dxdyyxxyxyzdxdyxyD，21I=152 七、因为xxdxdf2sin1)(cos)(cos，即xxf2sin1)(cos 所以22)(xxf cxxxf3312)(八、)1ln()1ln()1)(1ln()(22xxxxxf 又1,1(,)1()1ln(11uununnn 112111,1(,)1()1()(nnnnnnxxnxnxf 111,1(),1()1(nnnnxxxn