2022年北京市门头沟区初三一模数学试题及答案.docx

门头沟区2021~2021学年度初三一模试卷
数 学
考生须知
1．本试卷共8页，共五道大题，29道小题，满分120分，考试时间120分钟；
2．在试卷和答题卡的密封线内准确填写学校名称、班级和姓名；
3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效；
4．在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答；
5．考试结束，将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回。
一、选择题（本题共30分，每小题3分）
下列各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．
1．－5的倒数是
A．5 B． C．－5 D．
2．2014年3月5日，李克强总理在政府工作报告中指出：2013年全国城镇新增就业人数约13 100 000人，创历史新高．将数字13 100 000用科学记数法表示为
A．13.1×106 B．1.31×107 C．1.31×108 D．0.131×108
3．在五张完全相同的卡片上，分别写有数字0，－1，－2，1，3，现从中随机抽取一张，抽到写有负数的卡片的概率是
A． B． C． D．
4．在下面四个几何体中，俯视图是三角形的是
A．① B．② C．③ D． ④
5．已知反比例函数的表达式为，它的图象在各自象限内具有y随x增大而减小的特点，那么k的取值范围是
A．k＞1 B．k＜1 C．k＞0 D．k＜0
6．如图，直线AB∥CD，BE平分∠ABC，交CD于D，
∠CDB=30°，那么∠C的度数为
A．120° B．130° C．100° D．150°
7．小明同学在社会实践活动中调查了20户家庭六月份的用水量，具体数据如下表所示：
月用水量（吨）
3
4
5
7
8
9
10
户数
4
2
3
6
3
1
1
那么这20户家庭六月份用水量的众数和中位数分别是
A．5，7 B．7，7 C．7，8 D．3，7
8．如图，⊙O的直径AB与弦CD（不是直径）交于点E，且CE=DE，∠A=30°，
OC = 4，那么CD的长为
A． B．4
C． D．8
9．如图是某一正方体的展开图，那么该正方体是
A B C D
10．如图1，一个电子蜘蛛从点A出发匀速爬行，它先沿线段AB爬到点B，再沿半圆经过点M爬到点C．如果准备在M、N、P、Q四点中选定一点安装一台记录仪，记录电子蜘蛛爬行的全过程．设电子蜘蛛爬行的时间为x，电子蜘蛛与记录仪之间的距离为y，表示y与x函数关系的图象如图2所示，那么记录仪可能位于图1中的
图1 图2
A. 点M B. 点N C. 点P D. 点Q
二、填空题（本题共18分，每小题3分）
11．5的算术平方根是 ．
12．当分式的值为0时，x的值为 ．
13．分解因式： ．
14．如图是小明设计的用激光笔测量城墙高度的示意图，在点P处水平放置一面平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到城墙CD的顶端C处，
已知AB⊥BD，CD⊥BD，AB=1.2米，BP=1.8米，
PD=12米， 那么该城墙高度CD= 米．
15．学习了三角形的有关内容后，张老师请同学们交流这样一个问题：“已知一个等腰三角形的周长是12，其中一条边长为3，求另两条边的长”．同学们经过片刻思考和交流后，小明同学举手讲：“另两条边长为3、6或4.5、4.5” ，你认为小明回答是否正确： ，理由是
．
16．如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=－x2－2x图象位于x轴上方的部分记作F1 ，与x轴交于点P1 和O；F2与F1关于点O对称，与x轴另一个交点为P2；F3与F2关于点P2对称，与x轴另一个交点为P3；…．这样依次得到F1，F2，F3，…，Fn，则其中F1的顶点坐标为 ， F8的顶点坐标为 ，Fn的顶点坐标为 （n为正整数，用含n的代数式表示）．
三、解答题（本题共30分，每小题5分）
17．如图，点A、B、C、D在同一条直线上，BE∥DF，∠A=∠F，AB=FD．
求证：AE=FC．
18．计算：．
19．解不等式组
20．已知x2－2x－7=0，求(x－2)2+(x－3)(x+3) 的值.
21．已知关于x的一元二次方程x2+2x+k－2=0有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）当k为正整数，且该方程的根都是整数时，求k的值．
22．列方程或方程组解应用题：
北京快速公交4号线开通后，为响应“绿色出行”的号召，家住门头沟的李明上班由自驾车改为乘公交．已知李明家距上班地点18千米，他乘公交平均每小时行驶的路程比他自驾车平均每小时行驶的路程的2倍还多9千米，他从家出发到达上班地点，乘公交所用时间是自驾车所用时间的，问李明自驾车上班平均每小时行驶多少千米？
四、解答题（本题共20分，每小题5分）
23． 如图，菱形ABCD的对角线AC和BD交于点O，分别过点C、D作CE∥BD，
DE∥AC，CE和DE交于点E.
（1）求证：四边形ODEC是矩形；
（2）当∠ADB=60°，AD=时，求tan∠EAD的值.
24．2014年1月10日，国内成品油价格迎来了首次降低，某调查员就“汽油降价对用车的影响”这一问题向有机动车的私家车车主进行了问卷调查，并制作了统计图表的一部分如下：
车主的态度
百分比
A. 没有影响
4%
B. 影响不大
p
C. 有影响
52%
D. 影响很大
m
E. 不关心这个问题
10%
（1）结合上述统计图表可得：p= ，m= ；
（2）根据以上信息，补全条形统计图；
（3）2014年1月末，某市有机动车的私家车车主约200 000人，根据上述信息，请你估计一下持有“影响不大”这种态度的车主约有多少人？
25．如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径作⊙O交BC于点D，过点D作⊙O的切线EF，交AB和AC的延长线于E、F．
（1）求证：FE⊥AB；
（2）当AE=6，sin∠CFD=时，求EB的长．
26．阅读下面材料：
小明遇到这样一个问题：如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=60°，CD平分∠ACB，试判断BC和AC、AD之间的数量关系．
小明发现，利用轴对称做一个变化，在BC上截取CA′=CA，连接DA′，得到一对全等的三角形，从而将问题解决（如图2）．
图1 图2
请回答：（1）在图2中，小明得到的全等三角形是△ ≌△ ；
（2）BC和AC、AD之间的数量关系是 ．
参考小明思考问题的方法，解决问题：
如图3，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，BC=CD=10，AC=17，AD=9．求AB的长．
图3

五、解答题（本题共22分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）
27．已知：关于x的一元二次方程－x2+(m+1)x+(m+2)=0（m＞0）．
（1）求证：该方程有两个不相等的实数根；
（2）当抛物线y=－x2+(m+1)x+(m+2)经过点（3，0），求该抛物线的表达式；
（3）在（2）的条件下，记抛物线y=－x2+(m+1)x+(m+2)在第一象限之间的部分为图象G，如果直线
y=k(x+1)+4与图象G有公共点，请结合函数的图象，求直线y=k(x+1)+4与y轴交点的纵坐标t的取值范围．
28．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB的中点，DE⊥BC于E，连接CD．
（1）如图1，如果∠A=30°，那么DE与CE之间的数量关系是 ．
（2）如图2，在（1）的条件下，P是线段CB上一点，连接DP，将线段DP绕点D逆时针旋转60°，得到线段DF，连接BF，请猜想DE、BF、BP三者之间的数量关系，并证明你的结论．
（3）如图3，如果∠A=α（0°＜α＜90°），P是射线CB上一动点（不与B、C重合），连接DP，将线段DP绕点D逆时针旋转2α，得到线段DF，连接BF，请直接写出DE、BF、BP三者之间的数量关系（不需证明）．
图1 图2 图3
29．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）的顶点为M，直线y=m与x轴平行，且与抛物线交于点A和点B，如果△AMB为等腰直角三角形，我们把抛物线上A、B两点之间部分与线段AB围成的图形称为该抛物线的准蝶形，顶点M称为碟顶，线段AB的长称为碟宽．
（1）抛物线的碟宽为 ，抛物线y=ax2（a＞0）的碟宽为 ．
（2）如果抛物线y=a(x－1)2－6a（a＞0）的碟宽为6，那么a= ．
（3）将抛物线yn=anx2+bnx+cn（an＞0）的准蝶形记为Fn（n=1，2，3，…），我们定义F1，F2，…，Fn为相似准蝶形，相应的碟宽之比即为相似比．如果Fn与Fn-1的相似比为，且Fn的碟顶是Fn-1的碟宽的中点，现在将（2）中求得的抛物线记为y1，其对应的准蝶形记为F1．
① 求抛物线y2的表达式；
② 请判断F1，F2，…，Fn的碟宽的右端点是否在一条直线上？如果是，直接写出该直线的表达式；如果不是，说明理由．
门头沟区2014~2015学年度初三一模
数学评分参考
一、选择题（本题共32分，每小题4分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
B
D
C
A
A
B
C
B
C
二、填空题（本题共16分，每小题4分）
题号
11
12
13
14
15
16
答案

2
a(x-5)2
8
略
(-1，1)
(13，-1)
[2n-3，(-1)n+1]
三、解答题（本题共30分，每小题5分）
17．（本小题满分5分）
证明：∵BE∥DF，
∴∠ABE=∠D. ……………………………………………………………1分
∠ABE=∠D
AB=FD
∠A=∠F
在△ABE和△FDC中，
∴△ABE≌△FDC.…………………………………………………………4分
∴AE=FC.……………………………………………………………………5分
18．（本小题满分5分）
解：原式=………………………………………………4分（每个1分）
=.……………………………………………………………………………5分
19．（本小题满分5分）
解：
解不等式①，得.………………………………………………………2分
解不等式②，得……………………………………………………4分
∴ 不等式组的解集为．……………………………………………………5分
20．（本小题满分5分）
解：原式…………………………………………………………2分
………………………………………………………………3分
∵ x2－2x=7，
∴ 原式……………………………………………………4分
………………………………………………………………………5分
21．（本小题满分5分）
解：（1）∵ 原方程有两个不相等的实数根，
∴ △＞0，……………………………………………………………………1分
即22－4(k－2)＞0，
∴ k＜3．……………………………………………………………………2分
（2）∵k为正整数，
∴ k=1，k=2．………………………………………………………………3分
当k=1时，△=8，此时原方程的根是无理数，
∴ k=1不合题意，舍去；…………………………………………………4分
当k=2时，原方程为x2+2x=0，解得x1=0，x2=－2．
∴ k=2．………………………………………………………………………5分
22．（本小题满分5分）
解：设李明自驾车上班平均每小时行使x千米. ……………………………………1分
依题意，得 ………………………………………………………2分
解得 . ………………………………………………………………3分
经检验，是原方程的解，且符合题意.………………………………4分
答：李明自驾车上班平均每小时行使27千米.………………………………………5分
四、解答题（本题共20分，每小题5分）
23．（本小题满分5分）
（1）证明：∵ CE∥BD，DE∥AC，
∴ 四边形ODEC是平行四边形. ……………………………………1分
又 ∵菱形ABCD，
∴ AC⊥BD，∴ ∠DOC=90°.
∴ 四边形ODEC是矩形.………………………………………………2分
（2）如图，过点E作EF⊥AD，交AD的延长线于F.
∵ AC⊥BD，∠ADB=60°，AD=，
∴ OD=，AO=OC=3.……………3分
∵ 四边形ODEC是矩形，
∴ DE=OC=3，∠ODE=90°.
又∵ ∠ADO+∠ODE +∠EDF=180°，
∴ ∠EDF=30°.
在Rt△DEF中，∠F=90°，∠EDF=30°.
∴ EF=.
∴ DF=.………………………………………………………………………4分
在Rt△AFE中，∠DFE=90°，
∴tan∠EAD=.………………………………5分
24．（本小题满分5分）
解：（1）p=24%，m=10%；……………………………………………………2分
（2）补全条形统计图；……………………………………………………………4分
（3）48000人.……………………………………………………………………5分
25．（本小题满分5分）
（1）证明：连接OD . （如图）
∵ OC=OD，
∴ ∠OCD=∠ODC.
∵ AB=AC，
∴∠ACB=∠B.
∴ ∠ODC=∠B.
∴ OD∥AB. ………………………………………………………………1分
∴ ∠ODF =∠AEF.
∵ EF与⊙O相切.
∴ OD⊥EF，∴ ∠ODF =90°.
∴∠AEF =∠ODF =90°.
∴ EF⊥AB. ……………………………………………………………2分
（2）解：由（1）知：OD∥AB，OD⊥EF .
在Rt△AEF中，sin∠CFD = = ，AE=6.
∴ AF=10. …………………………………………………………………3分
∵ OD∥AB，
∴ △ODF∽△AEF.
∴ .
∴ .
解得r= . ………………………………………………………………4分
∴ AB= AC=2r = .
∴ EB=AB－AE= －6= . ……………………………………………5分
26．（本小题满分5分）
解：阅读材料
（1）△ADC≌△A′DC；………………………………………………………………1分
（2）BC=AC+AD.……………………………………………………………………2分
解决问题
如图，在AB上截取AE =AD，连接CE.
∵ AC平分∠BAD，
∴ ∠DAC=∠EAC.
又 ∵AC=AC，
∴ △ADC≌△AEC. ………………………3分
∴ AE=AD=9，CE=CD=10=BC．
过点C作CF⊥AB于点F．
∴ EF=BF．
设EF=BF=x．
在Rt△CFB中，∠CFB=90°，由勾股定理得CF2=CB2－BF2=102－x2．
在Rt△CFA中，∠CFA=90°，由勾股定理得CF2=AC2－AF2=172－(9+x)2．
∴ 102－x2=172－(9+x)2，
解得x=6．……………………………………………………………………………4分
∴ AB=AE+EF+FB=9+6+6=21．
∴ AB的长为21．…………………………………………………………………5分
五、解答题（本题共22分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）
27．（本小题满分7分）
（1）证明：∵ △= (m+1)2－4×(－1)×(m+2)
=(m+3)2. ……………………………………………………………1分
∵ m＞0，
∴ (m+3)2＞0，
即 △＞0，
∴ 原方程有两个不相等的实数根. …………………………………2分
（2）解：∵ 抛物线抛物线y=－x2+(m+1)x+(m+2)经过点（3，0），
∴ －32+3(m+1)+(m+2)=0，………………………………………………3分
∴ m=1.
∴ y=－x2+2x+3. ………………………………………………………4分
（3）解：∵ y=－x2+2x+3=－(x－1)2+4，
∴ 该抛物线的顶点为（1，4）.
∴ 当直线y=k(x+1)+4经过顶点（1，4）时，
∴ 4=k(1+1)+4，
∴ k=0，
∴ y=4.
∴ 此时直线y=k(x+1)+4与y轴交点的纵坐标为4. ………………………5分
∵ y=－x2+2x+3，
∴ 当x=0时，y=3，
∴ 该抛物线与y轴的交点为（0，3）.
∴ 此时直线y=k(x+1)+4与y轴交点的纵坐标为3. ………………………6分
∴ 3＜t≤4. …………………………………………………………………7分
28．（本小题满分7分）
解：（1）DE=EC．……………………………………………………………………1分
（2）DE、BF、BP三者之间的数量关系是BF+BP=DE．…………………2分
理由如下：
∵ ∠ACB=90°，D是AB的中点，∠A=30°
∴ DC=DB，∠CDB=60°．
∵ 线段DP绕点D逆时针旋转60°得到线段DF，
∴ ∠PDF=60°，DP=DF．
又∵∠CDB=60°，∴ ∠CDB－∠PDB=∠PDF－∠PDB，
∴ ∠CDP=∠BDF．
∴ △DCP≌△DBF．………………………………………………………3分
∴ CP=BF．
而 CP=BC－BP，
∴ BF+BP=BC，……………………………………………………………4分
在Rt△CDE中，∠DEC=90°，
∴ ，
∴ CE=DE，
∴ BC=2CE=DE，
∴ BF+BP=DE．………………………………………………………5分
（3）BF+BP=2DEtanα，BF－BP=2DEtanα．……………………………………7分
29．（本小题满分8分）
解：（1）4，；………………………………………………………………………2分
（2）；…………………………………………………………………………3分
（3）① ∵ F1的碟宽︰F2的碟宽=2：1，
∴ .
∵ a1=，
∴ a2=.………………………………………………………………4分
又∵ 由题意得F2的碟顶坐标为（1，1），…………………………5分
∴ .……………………………………………………6分
② F1，F2，…，Fn的碟宽的右端点在一条直线上；……………………7分
其解析式为y=－x+5．……………………………………………………8分
说明：
若考生的解法与给出的解法不同，正确者可参照评分参考相应给分。
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2015门头沟一模