2022年北京顺义区初三二模数学试卷(含答桉).docx

顺义区 2022 届初三第二次统一练习数学试卷
一、选择题〔共 8 个小题，每题 4 分，共 32 分〕
以下各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．
5
1．5 的倒数是
A．−5 B．1 C．
5
D．5
2．如果一个角等于 54°，那么它的补角等于
A．146° B．36° C．126° D．54°
3．据 2022 年上海世界博览会官方网站报道，在 5 月 1 日当天的入园人数为 204 959 人，将 204 959 用科学记数法表示并保存三个有效数字应为
A．2.050×105
B．2.05×105
C．0.205×106
D．205×103
4．如下列图的四个立体图形中，左视图是圆的个数是
圆柱 圆锥 圆台 球
A．4 B．3 C．2 D．1
5．为参加2022年“北京市初中毕业生升学体育考试〞，小静同学进行了刻苦的练习，在测仰卧起坐时，记
录下 5 次的成绩〔单位：个〕分别为：40，45，45，46，48．这组数据的众数、中位数依次是
A．45，45 B．45，45.5 C．46，46 D．48，45.5
6．二次函数 y= x2 − 2x− 4 的顶点坐标是
A．(−1,−3)
B．(−1,−5)
C．(1,−3)
D．(1 , − 5)
7．甲、乙各抛一次质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有 1 至 6 的点数，假设甲、乙的点数相同时，算两人平手；假设甲的点数大于乙时，算甲获胜；假设乙的点数大于甲时，算乙获胜．那么甲获胜的概率是
A．7 B．5 C．1 D．1
12 12 2 3
第 7�题
6 5
A
8．如图，有一圆形展厅，在其圆形边缘上的点 A处安装了一台监视器，它的监控角度是65� ．为了监控整个展厅，最少需在圆形边缘上共. 安. 装. 这样的监视器
A．5台 B．4台 C．3 台 D．2台
二、填空题〔此题共 16 分，每题 4 分〕
2x− 5
9．假设分式

3x+ 2
的值为0，那么x的值为．
10．一个扇形的半径为6cm，圆心角为150°，那么这个扇形的面积为cm2．
11．假设关于x的方程x2 +3x−k=0有实数根，那么k的取值范围是．
12．如图，在 Rt △ABC中， ∠ACB= 90° ， ∠A= 60° ．将△ABC绕
直角顶点C按顺时针方向旋转，得△A'B'C，斜边A'B' 分别与BC、
AB相交于点 D、E，直角边 A'C与 AB交于点 F．假设CD= AC= 2， 那么△ABC至少旋转
度才能得到△A' B'C，此时△ABC与△A' B'C的重叠局部〔即四边形CDEF〕的面积为．
三、解答题〔此题共 30 分，每题 5 分〕
48
13．计算：3−2−2cos30°+ − (−1)2022．
A A'
F E
C D B
B'

14．解不等式组
⎧5x− 4 < 3x+ 2,
⎪
⎨x+ 4 > −x.

并求它的整数解．
⎩⎪3
15．解分式方程：
3 + 2x = 2．
x+2 x+1
16．：如图， △ABC中，D、E为 AC边的三等分点，EF∥AB，交 BD的延长线于 F．
A
D
E
C
求证：点D是BF的中点． F
B
17． x2 − 2x= 2 ，求代数式(x−1)2 + (x+ 3)(x− 3) + (x− 3)(x−1) 的值．
18．列方程或方程组解应用题：
某服装厂为学校艺术团制作 100 套演出服，售价每套 40 元．服装厂向 25 名家庭贫困学生免费提供．经
核算，这 25 套演出服的本钱正好是原定生产这批演出服的利润．问每套演出服的本钱是多少元
四、解答题〔此题共 20 分，第 19 题 5 分，第 20 题 6 分，第 21 题 5 分，第 22 题 4 分〕
19．如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=45°，AD=6，AB=32，点E在BC的延长线上，∠E=30°，求 BE的长．
AD
B
C E
20．甲、乙两支篮球队在集训期内进行了五场比赛，将比赛成绩进行统计后，绘制成如图 1、图 2 的统计图．
得分/分

甲、乙两球队比赛成绩条形统计图
甲、乙两球队比赛成绩折线统计图
得分/分
110
110
80
甲队
一
乙队

90 95
86
83
四
三
二
图 1

9187

98
80
五
场次/场
100
90
80
70
60
50
40
30
20
10
0
甲
五
四
三
二
一
场次/场
图 2
〔1〕在图 2 中画出折线表示乙队在集训期内这五场比赛成绩的变化情况；
〔2〕甲队五场比赛成绩的平均分x甲 =90 分，请你计算乙队五场比赛成绩的平均分x乙 ；
〔3〕就这五场比赛，分别计算两队成绩的极差；
〔4〕如果从甲、乙两队中选派一支球队参加篮球锦标赛，根据上述统计情况，试从平均分、折线的走势、 获胜场数和极差四个方面分别进行简要分析，你认为选派哪支球队参赛更能取得好成绩
21．如图，AB是⊙O的直径，BD交⊙O于点 C，AE平分∠BAC， EF ⊥ AB，垂足为 F， ∠D= ∠CAB．
〔1〕求证：AD为⊙O的切线；
4
D
〔2〕假设sinD= ，AD=6，求CE的长． C
5 E
A OF B
22．如图，在平面直角坐标系xOy中，A点的坐标为〔1，2〕，B点的坐标为〔2，1〕．
〔1〕求△OAB的面积；
〔2〕假设△OAB沿直线 y= − 1
2
x向下平移，使点 A落在 x轴上，
画出平移后的三角形，求平移的距离及平移过程中 △OAB所扫过的面积．
五、解答题〔此题共 22 分，第 23 题 7 分，第 24 题 7 分，第 25 题 8 分〕
23．在平面直角坐标系xOy中，A、B为反比例函数 y= 4 (x> 0) 的图象上两点，A点的横坐标与 B点的纵
x
4
坐标均为1，将y=(x>0)的图象绕原点O顺时针旋转90°，A点的对应点为A'，B点的对应点为B'．
x
〔1〕求旋转后的图象解析式；
〔2〕求 A' 、B' 点的坐标；
〔3〕连结AB' ．动点M从 A点出发沿线段 AB' 以每秒 1个单位长度 的速度向终点B' 运动；动点 N同时从B' 点出发沿线段B' A' 以 每秒 1个单位长度的速度向终点 A' 运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动．设运动的时间为t秒，试探究： 是否存在使△MNB' 为等腰直角三角形的t值，假设存在，求出t的值；假设不存在，说明理由．
24．我们给出如下定义：有一组相邻内角相等的四边形叫做等邻角四边形． 请解答以下问题：
〔1〕写出一个你所学过的特殊四边形中是等邻角四边形的图形的名称；
〔2〕如图 1，在△ABC中，AB=AC，点 D在 BC上，且 CD=CA，点 E、F分别为 BC、AD 的中点，连接
EF并延长交 AB于点 G．求证：四边形 AGEC是等邻角四边形；
〔3〕如图2，假设点D在△ABC的内部，〔2〕中的其他条件不变，EF与CD交于点H．图中是否存在等邻角四边形，假设存在，指出是哪个四边形，不必证明；假设不存在，请说明理由．
A A
G G
F
F D H
B D E C B E C
1 2
25．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2+bx+c经过A〔2，0〕、B〔4，0〕两点，直线y=1x+2交y
2
轴于点 C，且过点D(8 , m) ．
〔1〕求抛物线的解析式；
〔2〕在 x轴上找一点 P，使CP+ DP的值最小，求 出点 P的坐标；
〔3〕将抛物线 y= x2 + bx+ c左右平移，记平移后点 A
的对应点为 A' ，点 B的对应点为B' ，当四边形
A' B' DC的周长最小时，求抛物线的解析式及此时四边形 A' B' DC周长的最小值．
顺义区 2022 届初三数学第二次统一练习参考答案及评分细那么
一、选择题〔此题共 32分，每题 4分〕
题 号
1
2
3
4
5
6
7
8
答 案
B
C
B
D
A
D
B
C
题 号
9
10
11
12

答 案
5
2

15π
k ≥ − 9
4

30°
6 − 5 3
2

二、填空题〔此题共 16分，每题 4分〕
三、解答题：〔此题共30分，每题5分〕
13．解：原式=1−2× 3 +4

3
−1 …………………………………………… 4分
9 2
3
8
= 3 − ………………………………………………………… 5分
ooogggg....
9
①

②
⎧5x− 4 < 3x+ 2,
⎨ x+ 4
14．解： ⎪
> −x.
⎩⎪3
解不等式①，得解不等式②，得
x< 3， ………………………………………………… 1分
x> −1． ……………………………………………… 2分
∴不等式组的解集为
−1 < x< 3． ……………………………………… 4分
不等式组的整数解为 0，1，2． ………………………………………… 5 分
15．解：去分母，得 3(x+1)+ 2x(x+ 2) = 2(x+ 2)(x+1)
…………………… 1分
去括号，得
3x+ 3 + 2x2 + 4x= 2x2 + 6x+ 4
……………………… 2分
移项，并整理得
x= 1
………………………………………………… 3分
经检验：x=1是原方程的根． ………………………………………… 4分
∴原方程的根为x=1． ………………………………………………… 5分
16．证明：∵D、E为 AC边的三等分点，
A
3
2
D 4
1
E
C
1
∴AD=ED= AC．………… 1分 F
3
∵EF∥AB，
∴ ∠1= ∠2， ∠3= ∠4． ………3分在△ABD和△EFD中，
⎧ ∠1=∠2, B
⎨
⎪ ∠3 = ∠4,
⎩
⎪ AD= ED,
∴△ABD≌△EFD．………………………………………………………4分
∴ BD=FD．
∴点D是BF的中点． ………………………………………………… 5分
17．解： (x−1)2 + (x+ 3)(x− 3) + (x− 3)(x−1)

= x2 − 2x+1+ x2 − 9 + x2 − 4x+ 3
……………………………………… 3分

= 3x2 − 6x− 5
…………………………………………………………… 4 分
∵x2 − 2x= 2，
∴原式=3(x2 −2x)−5= 6−5=1． …………………………………… 5分
18．解：设每套演出服的本钱是x元，根据题意，得 ………………………… 1分
25x= 100(40 − x)
解这个方程，得
……………………………………………………… 3分
x= 32． …………………………………………… 4分
答：每套演出服的本钱是32 元． …………………………………………… 5分
四、解答题〔此题共 20 分，第 19 题 5 分，第 20 题 6 分，第 21 题 5 分，第 22 题 4 分〕
19．解：分别过点 A、D作 AM⊥ BC， DN⊥ BC，垂足分别为 M、N．
可得四边形AMND是矩形． A
∴MN=AD=6． ……………… 1 分
∵AB=3 2 ， ∠B=45°， B M
∴ AM = BM = 3 ， …………2分
D
N C E
∴DN=AM=3． …………………………………………………………… 3分
∵∠E = 30° ，
∴ NE = 33． …………………………………………………………… 4分
∴BE=BM+MN+NE=3 + 6 + 3 3 = 9 + 33． ………………………… 5分
20．解：〔1〕如图；…………………………1分
〔2〕x乙 =90〔分〕；…………………2分
〔3〕甲队成绩的极差是 18 分，
乙队成绩的极差是30分；……………4分
甲、乙两球队比赛成绩折线统计图
得分/分
110
100 甲
90
80 乙
70
60
4
〔〕从平均分看，两队的平均分相同，实力大体相当；50
40
20
从折线的走势看，甲队比赛成绩呈上升趋势， 30
0
而乙队比赛成绩呈下降趋势；从获胜场数看， 10
甲队胜三场，乙队胜两场，甲队成绩较好；

场次/场
五
四
三
二
一
从极差看，甲队比赛成绩比乙队比赛成绩波动小，甲队成绩较稳定．
综上，选派甲队参赛更能取得好成绩．……………………………………6分
21．〔1〕证明：∵AB是⊙O的直径，
∴ ∠ACB= 90° ． ………………………………………… 1分
∴∠CAB+ ∠B= 90° ．
∵∠D= ∠CAB，
∴∠D+ ∠B= 90° ．
∴ ∠DAB= 90° ． ………………………………………… 2分
∴AD为⊙O的切线． ……………………………………… 3 分
4
〔2〕解：∵sinD= ，AD= 6 ，
5
24 18
在Rt△ACD中，AC=AD⋅sinD= ，CD= ．
在 Rt △DAB中， sin D=
5 5
4
AB= ．
DB 5
∴ AB= 8， DB= 10． ……………………………………… 4分
∵AE平分∠BAC， EF ⊥ AB， ∠ACB= 90° ，
∴CE = EF ．
18
设CE=EF=x，那么BE=10− −x，
5
∵∠EFB= ∠DAB= 90° ，∠B= ∠B，
∴△BEF ∽△BDA．
= =
5
10 − 18 − x
EF BE x
∴ ，即 ．
DA BD
=
12
∴x ．
5
6 10
即 CE的长为12
5
． ……………………………………………… 5分
22．解：〔1〕△OAB的面积=4−2×(1×1×2)−1×1×1=3．……………1分
2 2 2
〔2〕如图，平移后的三角形为△O' A' B' ．
〔画图正确给 1 分，累计 2 分〕
42 + 22
5
平移的距离OO'= =2 ．
…………………………………… 3分平移过程中△OAB所扫过的面积为
四边形OAA'O' 与△O' A' B' 的面积和，
1 3 23
即 2 × (
×5×2)+ = ．
2 2 2
…………………………………… 4 分
五、解答题〔此题共 22 分，第 23 题 7 分，第 24 题 7 分，第 25 题 8 分〕
23．解：〔1〕旋转后的图象解析式为y=−4 (x>0)．………………………1分
x
〔2〕由旋转可得A'〔4，-1〕、B'〔1，-4〕．…………………………3分
〔3〕依题意，可知∠B' = 45° ．假设△MNB' 为直角三角形，那么△MNB' 同时也是等腰三角形，因此， 只需求使△MNB' 为直角三角形的t值．
分两种情况讨论：
①当∠B' NM 是直角， B' N = MN 时，如图 1，
2
∵AB′=8，B′A′==3
∴B′M=8-t，
，AM=B′N=MN=t，

∵B' N2 + MN2 = B'M2 ，
∴ t2+ t2= (8− t)2． ………… 4分
2
解得 t=−8±8
〔舍去负值〕，

2
∴t = −8 + 8
． ……………… 5 分
2
②当∠B'MN是直角， B'M= MN时， 如图 2，
∵AB′=8，B′A′==3
∴B′M=MN=8-t，
，AM=B′N=t，
∵B'M2 + MN2 = B' N2 ，
∴(8−t)2 +(8−t)2 =t2，
2
解得 t=16±8 ．
2
∵16+ 8
>8，16−8
>3 ，
2
2
∴此时t值不存在． …………… 6分
〔此类情况不计算，通过画图说明 t值不存在也可以〕
2
综上所述，当t = −8 + 8
形． ……………… 7分
时，△MNB'为等腰直角三 角
24．〔1〕解：等腰梯形〔或矩形，或正方形〕．………………………………1分
〔2〕证法一：取AC的中点 H，连接 HE、HF．
∵点 E为BC的中点，
∴EH为△ABC的中位线．
1
∴ EH ∥ AB，且EH =
AB． ………………………… 2 分
2
1
同理 FH∥DC，且FH=
∵AB=AC，DC=AC，
∴AB=DC．
∴EH=FH．
DC． …………………… 3分
2
A
G
4 F H
∴∠1 = ∠2． ………………… 4分 1
∵EH∥AB，FH∥DC， B 32 C
∴∠2=∠4，∠1=∠3． D E
∴∠4 = ∠3 ．
∵∠AGE+ ∠4 = 180° ，∠GEC+ ∠3 = 180° ，
∴ ∠AGE = ∠GEC． ………………………………………… 5分
∴四边形AGEC是等邻角四边形． …………………………… 6分
证法二：连接AE．
设∠B的度数为 x，
∵AB=AC，CD=CA，
180°−x x
∴∠C=∠B=x，∠1==90°−．…………………2分
∵F是AD的中点，
2 2 AG
1
∴EF=DF=AD．……3分F
2
x
C
12
2
∴∠2 = ∠1 = 90°− ． B D E
x x
∴∠AGE=∠B+∠2=x+90°− =90°+ ．
2 2
x x
∠GEC = 180° − (90° −
) = 90° +． …………………… 4分
2 2
∴ ∠AGE = ∠GEC． ………………………………………… 5分
∴四边形AGEC是等邻角四边形． …………………………… 6分
〔3〕存在等邻角四边形，为四边形AGHC． ……………………… 7 分
25．解：〔1〕依题意，得
⎨
⎧4 + 2b+ c= 0,
⎩16 + 4b+ c= 0.
⎨
⎧b= −6,
解得
⎩c= 8.
∴抛物线的解析式是 y= x2− 6x+ 8．
…………………… 2分
〔2〕依题意，得
C(0 , 2) ，D(8 , 6) ．
………………………… 3分
作 点 C(0 , 2)
关 于 x 轴 的 对 称 点
C'(0 , − 2) ， 求直线 C' D的解析式为
y= x− 2 ，直线C' D与 x轴的交点即为 P点．因此，P点坐标为(2 , 0) ．
………………………………………………………………………… 4 分
82 + 42
5
〔3〕左右平移抛物线y=x2 −6x+8，因为线段A′B′=2和CD= = 4 均是定值，所以要
使 四 边 形 A′B′DC 的 周 长 最 小 ， 只 要 使 A′C+B′D 的 值 最小； …………………………………………………………………… 5 分
因为 A′B′=2，因此将点 C向右平移 2个单位得 C1(2，2)， 作点 C1关于 x轴的对称点 C2，C2点的坐标为 (2，-2)，
设直线C2D的解析式为y=kx+b，
将点 C2 (2，-2)、D〔8，6〕代入解析式，得
⎨
⎧2k+ b= −2,
⎩8k+ b= 6.
⎧k = 4 ,
⎪ 3
解得⎨ 14
⎪
⎪b=− .
⎩ 3
∴直线C2D的解析式为y=

4 x− 14 ．
3 3
7 3
∴直线C2D与x轴的交点即为B′点，可求B′〔
2
所以当四边形 A' B' DC的周长最小时，
，0〕，因此A′〔
2
，0〕．
抛物线的解析式为 y= (x− 3)(x− 7 ) ，即 y= x2 − 5x+ 21 ． …… 6 分
62 + 82
2 2 4
5
∵A′C+B′D=C2D=
= 10． ………………………………… 7分

5
∴四边形 A' B' DC的周长最小值为2 + 4
+10=12+4
． …… 8 分