2022年成都市树德中学自主招生考试数学试题.docx

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本卷须知：
2022 年成都市树德中学自主招生考试数学
1．本试卷分 A 卷和 B 卷两局部，总分值 180 分，考试时间 120 分钟.
2．请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题卡上，在试题卷上作答无效．
A卷 第I 卷〔选择题共50分〕
a - b
a + b
一、选择题：关 10 小题，每题 5 分，共 50 分。在每题给的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求．
1．己知 a，b 是方程 x 2 -3x+1=0 的两根，且 a>b，那么
的值是( )
5
5
1
A. B．5 C． D．
5 5
2．巴西世界杯已经打晌，目前小组赛正进行得如火如茶，每个小组4个队进行单循环比赛， 每场比赛胜队得3分，负队得0分，平局时两队各得1分，小组赛完以后，总积分最高的两个队出线进入下轮比赛，如果总积分相同，还要按净胜球排序，净胜球再相同，还有其它方法，直到排出顺序为止．那么理论上，能保证一支球队任何情况下都能出线的最低小组赛积分是( )
A.6 分 B．7分 C．8 分 D.9分
3．己知关于x的方程(x-a)(x-b)-l=0〔a<b〕的两根为p，q〔p<q，且pq>0〕,那么一定有( )
q b
A．a<p<q<b B． >
p a
1 1 1 1
C． < < <
q b a p
1 1 1 1
D． < < <
a p q b
4．如图．在等腰Rt△ABC中，ÐBAC=90°．将直角边足够长的Rt△EPF 的直角顶点P放在线段BC的中点上，以P为旋转中心，转动Rt△EPF并使它的两直角边PE,PF分别与AC，.AB相交于点N，M，连MN，AP，交于D 点，那么以下几组量：①PM，PN；②AM,CN;③ÐNMA,ÐBPM；④ÐB,ÐF 相等的有〔 〕
A．1 组 B．2组 C．3组 D．4组
5．设[x]表示不大于 x 的最大整数，那么对任意实数 x,y,以下说法：①[-x]=-[x]；②[2x]= 2[x]
③假设x-y<1，那么[x]=[y]；④假设x-y＞1，那么[x]-[y]≥1；⑤[x-y]≤[x]-[y]，正确的有( )
A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4个
6．如下左图所示的图形，是由开口向下的抛物线两边平齐的一局部和一水平线段围成的， 设其总高度为 H，空白局部的高度是 h〔0≤h≤H〕，阴影局部的面积是 S，那么 S 随 h 变化的大致趋势是〔 〕
7．在如下列图的锐角三角形 ABC 中，O 是其外接圆圆心，I 是其内切圆圆心，假设ÐBOC=
ÐBIC，那么sinA的值是( )
1
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3 1
A． B．
4 2

C． D．
2
3
2 2
4
8．如图，△AOB 和△ACD均为正三角形，且顶点B、D均在反比例函数y= 在第
x
3
3
3
一象限的图像上，BC、AD交于P，那么△OBP的面积是( )
A．4 B．4
C．3
； D．2
9．如图，⊙O 和⊙Q 相交于 A、B 两点，过 A 点分别作两圆的切线交对方
于D，C，连接DB并延长交⊙O 于E，CQ=5，⊙Q的半径为4，那么AE 的长为( )
5
21
A．3 B．2 C． D．9
10．设 A〔x1
，y1
〕,B(x2
，y2
)，那么它们的距离公式是AB= ，据
(x - x )2 + ( y - y )2
1 2
1 2
x2 - 2x +17
x2 - 4x + 5
2
x2 - 2x +17
x2 - 4x + 5
此，以下说法正确的选项是( ) A．对任意实数x，有 -≥
B．对任意实数 x，有
+≥4
(a - c)2 + (b - d )2
(a - e)2 + (b - f )2
C．对任意实数a，b，c，d，e，f，有 +＞
(c - e)2 + (d - f )2

x 2 + y 2
(x -1)2 + y2
x2 + ( y -1)2
(x -1)2 + ( y -1)2
D．对任意实数x，y，有 + + +
2
≥2
A卷 第二卷〔非选择题，共105分〕
二、填空题：共 5 个小题，每题 5 分，共 25 分，把答案填在答题卡的相应位置．
11.根据统计经验，假设某工厂以 x 千克/小时的效率生产某种产品〔由于生产条件限制，1≤x
3
≤10〕，那么每小时可获得的利润是 100(5x+l-
)元．如果接到一笔 900 千克的订单，要使得
x
此笔订单获得的利润最大，那么应该以千克/小时的效率生产．
12.如以下列图所示，第n个图形由正n+2边形拓展而来〔n=l，2，…〕，那么第8个图形共有个顶点。
13.如下左图，正方形ABCD 的边长为18，正三角形EFG内接于此正方形，且E、F、G分别在边AB、AD、BC上，假设AE=12，那么BG=
2
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14．如上右图，一个数阵，每行和每列元素个数都是无限的，但是我们可以按照以下规律，
将每个元素都标序〔以下右边是数阵中的元素，左边是其序号〕：1 «a1，2«a1，3«a2，
1 2 1
4 «a1 ，5 «a2 ，6 «a3 ，7 «a1 ，…，11 «a1 ，…，…，按此规律填写以下空格：
3 2 1 4 5
12
18« ，«a2．
15．平面直角坐标系中，长为2的线段AB 的两端点A，B分别在x轴，y 轴的正半轴上运动，设AB的中点为M，那么在运动过程中，M到点(3，4)的最小距离为.
三、解答题：共 6 题，共 80 分，解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤，并写在答题卡上的指定区域内〕
16．〔此题总分值 12 分，每题 6 分〕计算：
1
(1)实数 x，y，z 满足 x+
y
1
=4，y+
z
1
=l，z+
x
7
= ，求
3

4 - 2 3
(xyz-sin 30°) 2 + xyz -π °+
的值；
(2)一列数：a1,a2,......,an，记作{an}．如果从第二项起，每一项减去它的前一项，都等于一个常数d；我们称它为公差为d的等差数列，并记其前n项和为Sn，假设某等差数列{an}
前 n 项和为 S n 满足，S 10 -S 3 =21，求 S 13 .
17.〔此题总分值 l2 分〕设实数 a>0,b>0，那么有们称它为根本不等式〔均值定理〕
(1)证明此定理；
a +b
ab
≥
2

，当且仅当 a=b 时等号成立，我

1
(2)利用此定理，当 x>0 时，求 x+
x
1
的最小值过程如下：“令a=x,b=
x
1
x × 1
x
，那么x+ ≥2
x

=2，

1
当且仅当 x=
x
1
即 x=1 时取等号，即 x+
x

的最小值为2.〞，仿照此过程，求函数y=
x2 + 3x + 6
x +1
〔x＞-1〕的最小值。 18.〔此题总分值 13分〕暑假期间，某甜品店为了回馈顾客和促销，准备推出掷骰予〔投掷各方面数字为 1到 6的均匀正方体看面朝上的点数〕赢积分券的活动，游戏规那么如下：顾客每次消费后，可同时投掷两枚骰子一次，两枚骰子点数之和记作 a，两枚骰子点数之差的绝对值记作 x，假设 0≤x≤2，那么 n=x；
假设 3≤x≤5，那么 n=x-3：顾客获得的奖券金额为 a n元，用于在以后来店消费中抵用现金．
3
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(1)用树状图或列表法写出 a 的所有结果；
(2)计算顾客获得 1 元奖券的概率；
(3)计算顾客获得 100 元以上〔含 100 元〕奖券的概率
19．〔此题总分值 13 分〕设三角形 ABC 的三边 BC, CA, AB 长度分别为 a,b,c．
(1)比较 b 2 +2ac 与 a 2 +c 2的大小；
x2 - 3x + 2
(2)证明：关于 x 的方程
x

+a2

+c2

-b2

-2ac=0 不存在满足 1< x 0 <2 的实数根 x 0 ；
(3) 公 式 一 ： “ △ ABC 三 内 角 A,B,C 对 的 边 分 别 为 a,b,c ， 那么 其 面 积
1 1
S= absinC=
2 2
1
bcsinA=
2
casinB〞，我们称其为正弦定理的面积公式；公式二：“sin 2q=
2sinqcosq〞，我们称其为二倍角公式，以上两公式中角在 0°—180°时均成立．根据以上公式：设△ABC 中，ÐA= 2q，ÐA 的平分线交 BC 于 P，AP=m，请由此推导角平分线段长度公式(即用 b,c,q表示出 m)，并写出过程。
20．〔此题总分值 15 分〕如图，函数 y= 1 x 2 +bx+c 的图像与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交
x
于点 C，连接 BC、AC．假设 AB 和 OC 的长均为 9，且 AO< BO，
(1)求 b,c;
(2)点 E 从点 A 出发，沿 x 轴向点 B 运动〔点 E 与点 A、B 不重合〕，过点 E 作 BC 的平行线交 AC 于点 D.设 AE 的长为 m，△ADE 的面积为 S，求 S 关于 m 的函数关系式，并写出自变量拼的取值范围；
(3)在(2)的条件下，连接 CE，求△CDE 面积的最大值；此时，求出以点 E 为圆心，与
BC 相切的圆的面积〔结果保存π〕．
4
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21．〔此题总分值 15 分〕如下列图，设⊙O 的直径为 d， d 使得关于 x 的方程 x 2 +dx+2e
=0和x2+2ex+d=0均有实数根(e>0)，且对一切实数x，不等式x+x-4
≥d 均成立.假设 P 是⊙O 外一点，过点 P 作⊙O 的切线 PA 和割线 PBC，其中 A 为切点，点 B，C 是直线 PBC 与⊙O 的交点．假设 PA,PB,PC 的长都
是正整数，且 PB 的长不是合数，求 PA 2 + PB 2 + PC 2的值．
B 卷
解答请用中文和数学语言书写
一、填空题：共 3 个小题，每题 5 分，共 15 分．把答案填在答题卡的相应位置.
(x-2022)(y-2022) 1
22. If
(x - 2022)2 + ( y - 2022)2 =- 2 ,what is the value of x+y
23. In the Fibonacci sequence,l,l,2,3,5，…，each term after the after thesecond is the sum of the previous two terms. How many of the first 100 terms of the Fibonacci sequence areodd
24. A chemist has three bottles, each containing a mixturere of acid andwater: Bottle A contains 40g of which l0% isacid，
Bottle B contains 50g of which 20% is acid, and Bottle C contains 50g of which 30% is acid.
She uses some of the mixture from each of the bottles to create a mixture with mass 60g of which 25% is acid. Then she mixes the remaining contents of the bottles to create a new mixture. What percentage of the new mixture is acid
二、解答题：共 1 题，共 10 分．解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤，并写在答题卡上的指定区域
25.
5
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