2022—2022学年度第一学期期末教学质量检查高三理科数学参考答案.docx

2021—2021 学年度第一学期期末教学质量检查
高三理科数学参考答案
一、选择题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
D
D
C
A
C
B
A
A
C
D
B
B

二、填空题
13． [1, +¥)
三、解答题

14． 40 15．
pm3
6

16. 2(1- ln 2)
17. （本小题满分 12 分）
解：(1)
Q a 2 = a × a \ a
= ±4
3 2 4 3

…………………………………1 分
若 a3 = -4 ，则 a2 = 6 - a3 = 10 ，此时 q < 0 ，不合题意，舍去； 若 a3 = 4 ，则 a2 = 6 - a3 = 2 ，此时 q = 2 ， a1 = 1，符合题意.
…………………………………3 分
n n
从而数列{a }的通项公式a = 2n-1 (n Î N * )
…………………………………4 分
(2) 由条件 a1b1 + a2b2 +L + anbn =
n(n +1) 2
(n Î N * )
知当 n = 1时 a1b1 = 1 即 b1 = 1
…………… ……………………5 分
1 1 2 2
当n ³ 2 且 n Î N * 时， a b + a b
+L + an-1bn-1
= n(n -1)
2
n(n +1) n(n -1) n n
所 以 anbn =
- = n
2 2
即 bn =
a
n
=
2n-1
所以 bn
= n
2n-1

(n Î N * )

…………………………………7 分
2 3 n
2
则 Tn = 1+ + +L +
n-1 ①
+
2 2 2
1 1 2

n -1 n
2 Tn = + +L +
2

n-1 n ②
①－②可得：
2 2 2 2
1 T = (1 + 1 + 1
+ L +
1 ) - n
2 n 2 22
2n-1 2n
1-
所 以 1 T =

1
2n - n

=2 - 1 - n
…………… ……………………9 分
2 n 1- 1 2n
2
2n-1 2n
1

…………………………………11 分
n
所以数列{bn }的前 n 项和Tn = 4 - 2n-2 - 2n-1 .
…………………………………12 分
18．（本小题满分 12 分）
解：(1)Q A + B + C = p\sin(C + B) = sin A，
\ a - b =
a - c
sin( A + B) sin A + sin B
＝ sin C
sin A + sin B
由正弦定理得
a - b = c
a - c a + b
即b2 = a2 + c2 - ac ，

…………………………………1 分

结合余弦定理，有 cos B = 1 ，
2
…………… ……………………2 分
B Î (0,p) ∴ B = p．
3
…………………………………3 分

由余弦定理知
AC 2 = BC 2 + AB2 - 2 AB × BC × cos B

即 BC 2 + AB2 - AB × BC = 12
------- ①
…………………………………4 分
1
因为 SDABC = 3 3 ，又因为 SDABC = 2 AB × BC × sin B
所以 AB × BC = 12
--------------②
3
3
…………………………………5 分
①② 联立可得 AB + BC = 4
，故 DABC
的周长为6
…………………………………6 分
(2) 设ÐACD =q，则ÐADB = 150o -q， ÐADC =q+ 30o
在 DACD中由正弦定理得
AD = AC
即 2 =
2 3
sinq sin(q+ 30o )
sinq
sin(q+ 30o )
…………………………………7 分
所以 3 sinq= sin(q+ 30o ) =
3 ´ sinq+ 1 ´ cosq
2 2

整理得 3 sinq= cosq 即
QqÎ (0o ,180o ) \q= 30o
tanq=
3
3

…………………………………9 分
从而ÐADC = 60o ,

ÐCAD = 90o
…………………………………10 分

所以 DACD 是以
…………………………………11 分
ÐCAD 为 90o 的直角三角形.
…………………………………12 分
19．（本小题满分 12 分）
解：（1）法一：由已知 AD = AB = 1， ÐBAD = 900 ，
2
所以 BD = BC =
，又CD = 2，则
BD2 + BC2 = CD2
所以 DDAB 和DDBC 均为等腰 RtD，
…………………………………1 分
所以ÐADB = ÐBDC = 450 ，
则ÐADC = 900 即 DE ^ DC
因为 BC ^ BE
…………………………………2 分又 BC ^ BD ，且 BE I BD = B
所以 BC ^ 面EBD ， 从而 DE ^ BC
又 Q DE ^ DC ， BC I CD = C
…………………………………3 分
\ DE ^ 面ABCD

…………………………………4 分
\ DA, DC, DE 两两垂直，\可如图建立空间直角坐标系 D - xyz
1
则 D(0, 0, 0), A(1, 0, 0), B(1,1, 0), C(0, 2, 0), E(0, 0,1), F (0,1, )
2
…………………………………5 分
uuur
\
1 uuur
BF = (-1, 0, ), DC = (0, 2, 0)
2
故 BF × DC = 0，从而 BF ^ CD
法二：
…………………………………6 分
2
由已知 AD = AB = 1， ÐBAD = 900 ，所以 BD = BC = ，
又CD = 2，所以 DDAB 和 DDBC 均为等腰 RtD，
…………………………………1 分所以ÐADB = ÐBDC = 450 ，则ÐADC = 900 ，
所以 AB //

1 CD 且 AB =
2

1 CD ，
2
…………………………………2 分
取 DE 中点 H ，连 HF , AH , BF ，又因为 F 为 EC 中点，
所以 HF //
1 CD ， HF =
2
1 CD ，
2

…………………………………3 分
所以 AB // HF 且 AB = HF ，所以 ABFH 为平行四边形，
所以 BF // AH ，

…………………………………4 分
因为ÐADC = 900 即 DC ^ AD
所以 DC ^ DE 又 DE I AD = D
所以CD ^ 面ADE ， 则 CD ^ AH
所以 BF ^ CD
(2)由(1)可知
………………………………5 分
…………………………………6 分
® ®
AB = (0,1, 0), AE = (-1, 0,1)
…………………………………7 分
®
设面 ABE法向量m = (x, y, z)
® ® ® ®
\ m × AB = y = 0, 且m× AE = -x + z = 0，不妨取 x = 1则 z = 1
®
\m = (1, 0,1)

…………………………………8 分
®
同理可求得面 BDE 的法向量 n = (1, -1, 0)
设二面角 A - BE - D 大小为a
® ®
m× n
®
m
×
®
n

® ® 1
…………………………………9 分
\cosa= cos < m, n > = =
2

…………………………………11 分
\a= 60o ,即二面角A-BE-D的大小为60o .
…………………………………12 分
20．（本小题满分 12 分）
解：(1)由频率分布直方图可知，样本中生长高度在105cm 以上（含105cm ）的频率为
(0.015 + 0.01 + 0.008 + 0.004)´10=0.37 ，
所以株数为0.37 ´1000=370 ，
…………………………………2 分
(2)由频率分布直方图可估计：
m=60 ´ 0.02 + 70 ´ 0.08 + 80 ´ 0.14 + 90 ´ 0.15 + 100 ´ 0.24 +
110 ´ 0.15 + 120 ´ 0.1 + 130 ´ 0.08 + 140 ´ 0.04=100
s2 =1600 ´ 0.02 + 900 ´ 0.08 + 400 ´ 0.14 + 100 ´ 0.15 +
100 ´ 0.15 + 400 ´ 0.1 + 900 ´ 0.08 + 1600 ´ 0.04=366
…………………………………4 分
s» 19.1，所以 P (100 < X < 138.2) = 1 P(m- 2s < X <m+2s) = 0.4772
2
所以估计该基地的所有莞草生长高度介于100 : 138.2cm 的概率为0.4772 .
…………………………………6 分
(3)由频率分布直方图可知，生长高度在[105，125) 的频率为 0.25，可知x: B æ 4, 1 ö
ç 4 ÷
è ø
æ 1 ö æ 3 ö
0 4
4 ç 4 ÷ ç ÷4
P (x=0)=C0
è ø è ø

= 81 ，
256
…………………………………7 分

æ 1 ö æ 3 ö
1 3
4 ç 4 ÷ ç ÷4
P (x=1)=C1
è ø è ø
= 108 ，
256

æ 1 ö æ 3 ö
2 2
4 ç 4 ÷ ç ÷4
P (x=2)=C2
è ø è ø
æ 1 ö3 æ 3 ö1
= 54 ，
256
12
4 ç 4 ÷ ç ÷4
P (x=3)=C3
è ø è ø
= ，
256

æ 1 ö æ 3 ö
4 0
4 ç 4 ÷ ç ÷4
P (x=4)=C4
è ø è ø
= 1 ，
256

…………………………………10 分
所以x的分布列为
x
0
1
2
3
4
P
81

256
108

256
54

256
12

256
1

256

x的数学期望是 Ex=1.
…………………………………11 分
…………………………………12 分
21．（本小题满分 12 分） 解：（1）因为 f ¢(x) = a + ex ,
…………………………………1 分
∴ 当 a ³ 0时，f ¢(x) > 0恒成立， f (x)在R上单调递增；
…………………………………2 分
当 a < 0时，由f ¢(x) = 0得x = ln(- a ),
且

x
(- ¥, ln(- a))
ln(- a )
(ln(- a )，+ ¥)
f ¢(x)

-

0

+
f (x)
单调递减

单调递增
∴ a < 0时，f (x)在 (- ¥, ln(- a))上单调递减， (ln(- a )，+ ¥)上单调递增.
…………………………………4 分
（2）令 g(x) = f (x) - ln
e
x +1
= ax + ex -1 + ln(x +1), x Î[0,+¥)
∴ g¢(x) = a + ex +
1 ,
x + 1

…………………………………5 分
令 h(x) = ex -1 - x, x Î[0,+¥), 则 x > 0时h¢(x) = ex -1 > 0
∴ x Î[0,+¥), h(x)单调递增，又h(0)= 0
∴ x Î[0,+¥), ex ³ x + 1
…………………………………6 分
① 当 a ³ -2，x > 0时，g¢(x) = a + ex +
1
x +1
> a + x +1 +
1
x +1
> a + 2 ³ 0,
∴ x Î [0,+¥), g(x)单调递增，且g(0) = 0
∴ x Î [0,+¥), g(x) ³ g(0) = 0恒成立.
从而 a ³ -2符合题意.
② 当 a < -2时，令j(x) = ex +

1
x +1

+ a ,

……………………………………8 分
1 (x +1)2 ex -1
则j¢(x) = ex - = ³ 0 .
(x +1)2 (x +1)2
∴函数j(x)在区间[0, +¥)上单调递增.
………………………………………9 分
由于j(0) = 2 + a < 0,j(-a) = e-a +
故$x0 Î(0, -a),使得j(x0 ) = 0 .
1
1- a
+ a ³ 1 - a +
1
1- a
+ a = 1 +
1
1- a
> 0 .
…………………………………………10 分则当0 < x < x0 时,j(x) <j(x0 ) = 0 ,即 g¢(x) < 0.
∴函数 g (x)在区间(0, x0 )上单调递减.
∴ g (x0 ) < g (0) = 0 ,不符题意.

…………………………………………11 分
综上所述,实数 a 的取值范围是[-2, +¥).
…………………………………………12 分
22．（本小题满分 10 分）

3
ìïx = +

7 cosa
解：(1)曲线C1 的参数方程为：í
ïî y = 2 +
7 sina
(a为参数)

转化为普通方程： x2 + y 2 - 2
∴曲线 C1 的极坐标方程为： r- 2
3x - 4 y = 0，
…………………………………………2 分
3 cosq- 4sinq= 0 ，
直线 l1
的极坐标方程为：q= p（ rÎ R ）．
6

（2）设 A(ρ1，θ1)，B(ρ2，θ2)，
ìq= p
…………………………………………5 分
í
由 ï 6
解得r= 0 （舍去）或r= 5，所以r1 = 5．
ïîr- 2
3 cosq- 4sinq= 0
…………………………………………7 分
3
3
í
ìq= p
由 ï 3
解得r= 0 （舍去）或r= 3
，所以r2 = 3 ．
ïîr- 2
3 cosq- 4sinq= 0
1

…………………………………………9 分
15 3
p p
∴三角形△AOB 的面积为 SDABC = 2 r1r2 sin( 3 - 6 ) = 4 ．
…………………………………………10 分
23．（本小题满分 10 分）
解：（1）当 a = 1时，不等式 f (x) > 2 即为 x +1 - 2x - 4 > 2，
…………………………………………1 分若 x £ -1，不等式可化为 x - 5 > 2 ，解得 x > 7 ，无解，
5
若 -1 < x < 2 ，不等式可化为 x +1+ (2x - 4) > 2 ，解得 x > ，所以
3
5 < x < 2
3
若 x ³ 2 ，不等式可化为 x +1- (2x - 4) > 2 ，解得 x < 3 ，所以2 £ x < 3
…………………………………………4 分
综上所述，关于 x 的不等式 f (x) > 2 的解集为 ìx 5 < x < ü .
í 3 3ý
î þ
…………………………………………5 分
（2）由题意可知
f (x) = x +1 - 2x - 4a