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两辆铁路平板车的装货问题

两辆铁路平板车的装货问题
摘要
本题针对铁路平板车装货的问题，有七种规格的包装箱要装到两辆铁路平板车上去。在厚度、载重、件数等条件的限制下，要求我们把包装箱装到平板车上去使得浪费的空间最小。
针对本问题，初步分析可得：题中所有包装箱共重89，而两辆平板车只能载重共80，因此，不可能全安装下。根据题意可得，浪费的空间最小就是要求尽可能使两辆车上的装箱总厚度尽可能大。根据题目中关于厚度、载重、件数等限制条件，建立相应的线性规划数学模型，写出相应的目标函数和约束条件。使用数学软件matlab和lingo得出相应的最优解。若有数组最优解，最后用Excel对得到的最优解进行分析，得出最符合题意的答案。

关键词：线性规划 最优解lingo matlab

一、 问题重述
有7种规格的包装箱要装到两辆铁路平板车上去。包装箱的宽和高是一样的，但厚度（t，以厘米计）及重量（w，以公斤计）是不同的。下表给出了每种包装箱的厚度、重量以及数量。每辆平板车有10.2米长的地方可用来装包装箱（像面包片那样），载重为40吨。由于当地货运的限制，对C5,C6,C7类的包装箱的总数有一个特别的限制：这类箱子所占的空间（厚度）不能超过302.7cm。
C1 C2 C3 C4 C5 C6 C7
t(cm) 48.7 52.0 61.3 72.0 48.7 52.0 64.0
w(kg) 2000 3000 1000 500 4000 2000 1000
件数 8 7 9 6 6 4 8
问：应该如何把这些包装箱装到平板车上，才能使得浪费的空间最小（尽量使这些包装箱所占的空间最大）？试建立此问题的数学模型。
二、 问题分析
2.1对题目的分析
题目中的所有包装箱的总重量W=2*8+3*7+9*1+0.5*6+4*6+2*4+1*8=89t但是两辆平板车的总载重量只有80t，所以不可能全部装下所有货物。题目要求试把包装箱装到平板车上去使得浪费的空间最小。所以不以尽可能装满80t货物为目标函数，而是以使两辆车上的装箱总厚度尽可能大为目标函数建立数学模型。由于当地对于货运的限制 C5,C6,C7所占的厚度不超过302.7cm。这句话可以理解为１:每辆车的长度限制不超过302.7cm。２：两辆车的总长度限制不超过302.7cm。我们算得需要装载的C5，C6，C7总长度为：Ｔ＝４８.７＊６＋５２.０＊４＋６４.０＊８＝１０１２.２ｃｍ远大于３０２.７ｃｍ。所以本文中我们根据经验和数据的判断，只考虑第一种情况。
2.2对模型的简单分析
根据题目我们要建立相关的数学模型。分析发现：1.有一个目标，即题目的最终要求是使两辆车的总厚度实现最大化；2.存在一定的约束条件，并且这些约束条件可以由决策变量的线性不等式表示，即每辆车的厚度以及载重限制是完全由决策变量（每辆车所装种类包装箱的个数）决定的。故本题属于线性问题，可以采用线性规划数学模型解决。
三、 模型假设
1、包装箱的底面积恰好与平面车的平面积恰好相等；
2、包装箱之间不存在间隙，即包装箱所铺成的总高度没有影响；
3、将每个包装箱装入平板车都具有可行性；
4、各个货物装在车上的概率相同，相互之间的排放不存在关联性；
5、在该平板车装载的过程中不考虑各个货物的厚度及重量的误差性，均为题中所给的准确数值；
6、装载的过程中不考虑货物在车上的排列次序及各个货物的重量密度，排除因局部过重而造成的平板车不能行驶的情况；
７、不考虑方案不同仅仅是AB车车次相互交换的情况；
８、不考虑一辆车上同一种包装箱组合方案的不同排列；
９、在重量符合要求的情况下，不考虑两车重量差别大小对最优解的影响。
四、符号说明
序号
符号
符号说明
1
X1~X7
A车中C1~C7类货物装载的数量
2
Y1~Y7
B车中C1~C7类货物装载的数量
3
f
目标函数，即A，B车所装货物的总厚度
4
Wa
最优解中A车的实际重量
5
Wb
最优解中B车的实际重量
6
Ta
最优解中A车的实际厚度
7
Tb
最优解中B车的实际厚度
8
Lta
最优解中A车的C5,C6,C7的实际厚度
9
Ltb
最优解中B车的C5,C6,C7的实际厚度

为了便于问题的求解，我们给出以下符号说明：

五、模型的建立与求解
经过以上的分析和准备，我们将逐步建立以下数学模型，进一步阐述模型的实际建立过程。
5.1线性规划模型的建立与求解
根据题目中的意思，要在符合厚度、质量等的条件下建立相关的数学模型。我们可以根据题意写出初步的目标函数和约束条件：
假设两辆车分别为A车和B车，设A车上的C1、C2、C3、C4、C5、C6、C7种类的箱子分别装x1、x2、x3、x4、x5、x6、x7件，B车上的C1、C2、C3、C4、C5、C6、C7种类的箱子分别装y1、y2、y3、y4、y5、y6、y7件。
1.目标函数为使两辆平板车的装箱总厚度之和尽可能地大，即：

2.约束条件
装箱过程中必须遵循的各约束如下：
厚度约束：
每辆平板车有10.2m长的地方来装包装箱可以得

重量约束：
每辆平板车的载重为40t可以得：

特殊约束：
C5、C6、C7所占空间厚度不能超过302.7cm可以得：

箱数约束：

另外，x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7,y1,y2,y3,y4,y5,y6,y7均为>=0的整数。
5.2运用数学软件对模型求解
1.线性模型总的表示：

2.用matlab对模型求解
对于此模型，针对目标函数，我们利用matlab软件确定其最优解。可得一组最优解：
4,3,8,0,2,0,1,2,4,0,6,1,2,2
检验可得：A、B车的总厚度为2020.7cm。
3. 用lingo对模型求解
对于此模型，针对目标函数，我们利用matlab软件确定其最优解。可得两组最优解：
最优解一
Variable Value Reduced Cost
X1 6.000000 -0.4870000
X2 2.000000 -0.5200000
X3 6.000000 -0.6130000
X4 0.000000 -0.7200000
X5 0.000000 -0.4870000
X6 0.000000 -0.5200000
X7 4.000000 -0.6400000
Y1 2.000000 -0.4870000
Y2 3.000000 -0.5200000
Y3 2.000000 -0.6130000
Y4 5.000000 -0.7200000
Y5 0.000000 -0.4870000
Y6 3.000000 -0.5200000
Y7 2.000000 -0.6400000
最优解二
Variable Value Reduced Cost
X1 0.000000 -0.4870000
X2 5.000000 -0.5200000
X3 2.000000 -0.6130000
X4 5.000000 -0.7200000
X5 2.000000 -0.4870000
X6 1.000000 -0.5200000
X7 2.000000 -0.6400000
Y1 6.000000 -0.4870000
Y2 2.000000 -0.5200000
Y3 6.000000 -0.6130000
Y4 0.000000 -0.7200000
Y5 0.000000 -0.4870000
Y6 0.000000 -0.5200000
Y7 4.000000 -0.6400000
首先，对比matlab和lingo的运算结果，可以很容易地得出lingo所得的最优解更合理（两车总厚度为2040cm，远大于matlab的结果）。
其次，对比两组最优解：

x1
x2
x3
x4
x5
x6
x7
y1
y2
y3
y4
y5
y6
y7
Ta
Tb
T
Wa
Wb
|Wa-Wb|
2
3
2
5
0
3
2
6
2
6
0
0
0
4
1020
1020
2040
25.5
28
2.5
0
5
2
5
2
1
2
6
2
6
0
0
0
4
1020
1020
2040
31.5
28
3.5
可以看出，虽然两组都是最优解，但是第二种方法算出来的总载重更大些。
3.进一步分析
分析两组最优解的具体数据，两组数据对C1和C5两种货箱产生了替换。再对货箱尺寸进行分析后，我们发现C1,C5以及C2,C6货箱的厚度分别相等，如果C1,C5或C2,C6货箱之间相互替换，不影响厚度而只对重量和对于C5,C6,C7货箱的长度有影响。
1.对A车
因为x5,x6均为0,若是减少x2，x3来增大x5，x6，则C5，C6，C7包装箱的厚度总和就大于302.7cm。故A车不能互换，只能为
6，2，6，0，0，0，4
2.对B车
C2->C6不可以，因为C5-C7超出302.7；C6->C2不可以，因为C2已经达到最多7件。
所以我们经过分析，枚举出了6组符合要求的最优解。
筛选后的6组情况如下表所列：
X1
X2
X3
X4
X5
X6
X7
Y1
Y2
Y3
Y4
Y5
Y6
Y7
总载重t
C5+C6+C7厚度cm
2
3
2
5
0
3
2
6
2
6
0
0
0
4
23.5
2.84
0
5
2
5
2
1
2
6
2
6
0
0
0
4
29.5
2.774
1
4
2
5
1
2
2
6
2
6
0
0
0
4
26.5
2.807
1
5
2
5
1
1
2
6
2
6
0
0
0
4
27.5
2.287
2
4
2
5
0
2
2
6
2
6
0
0
0
4
24.5
2.32
2
5
2
5
0
1
2
6
2
6
0
0
0
4
25.5
1.8

六、模型的评价与改进
6.1模型的评价
基于对问题的分析与理解，建立了整数线性规划模型，并使用lingo软件对该模型进行求解。
6.1.1模型的优点
由于lingo软件功能强大，计算机运行的时间大大缩短。我们将题目给出的约束条件很直观地反映出来，便于理解。并且利用多种方法通过该模型得到问题的最优解，再次说明了该模型的正确性和适用性。
6.1.2模型的缺点
采用lingo语言，在变量较多而且存在相同参数的时候，lingo只能得到一组或少量基础解，不够全面。这时根据题目具体数据分析的作用就更显得重要，不能盲目的运用计算机求解。
七、模型的推广
本文只考虑了货车中所浪费的空间最小，没有考虑货车的载重量经济利益等其他因素。所以再日后模型推广上可以将平板车的装载重量，经济利益等因素引进来，从而由单目标规划推广到多目标规划上，使我们的模型更符合实际需求，更具有经济效益。
当然，本文的模型还只是针对一种确知的目标函数而定的。当目标函数变为运输成本最小化而需要进行复杂的不确定的多因素动态规划时，模型则需要更进一步的深化与改进。

八、 参考文献
[1] 赵静、但琦等，《数学建模与数学实验》，北京：高等教育出版社，2008。 [2] 刘焕彬、库在强等，《数学模型与实验》 ，北京：科学技术出版社，2008。
[3] 戴明强 李卫军 杨鹏飞，数学模型及其应用，第一期，94-121页，2007年
九、 附录
附录一
Max
0.487x1+0.52x2+0.613x3+0.72x4+0.487x5+0.52x6+0.64x7+0.487y1+0.52y2+0.613y3+0.72y4+0.487y5+0.52y6+0.64y7
St
0.487x1+0.52x2+0.613x3+0.72x4+0.487x5+0.52x6+0.64x7<=10.2
2x1+3x2+1x3+0.5x4+4x5+2x6+1x7<=40
0.487x5+0.52x6+0.64x7<=3.027
0.487y1+0.52y2+0.613y3+0.72y4+0.487y5+0.52y6+0.64y7<=10.2
2y1+3y2+1y3+0.5y4+4y5+2y6+1y7<=40
0.487y5+0.52y6+0.64y7<=3.027
x1+y1<=8
x2+y2<=7
x3+y3<=9
x4+y4<=6
x5+y5<=6
x6+y6<=4
x7+y7<=8
End
Gin14
附录二
f=[-48.7 -52.0 -61.3 -72.0 -48.7 -52.0 -64.0 -48.7 -52.0 -61.3 -72.0 -48.7 -52.0 -64.0]';
A=[1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0;
   0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0;
   0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0;
   0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0;
   0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0;
   0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0;
   0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1;
   48.7 52.0 61.3 72.0 48.7 52.0 64.0 0 0 0 0 0 0 0;
   0 0 0 0 0 0 0 48.7 52.0 61.3 72.0 48.7 52.0 64.0;
   2 3 1 0.5 4 2 1 0 0 0 0 0 0 0;
   0 0 0 0 0 0 0 2 3 1 0.5 4 2 1;
   0 0 0 0 48.7 52.0 64.0 0 0 0 0 0 0 0;
   0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 48.7 52.0 64.0];
b=[8 7 9 6 6 4 8 1020 1020 40 40 302.7 302.7]';
xm=[0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ]';
p=intvar(14,1);
g=f'*p;
F=set(A*p<=b)+set(xm<=p);
Sol=solvesdp(F,g);
p=double(p)