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第54讲 实际问题与二次函数（一）
题一： 某商品现在售价为每件60元，每月可卖出300件，此时每件可赚20元．市场调查：如调整售价，每涨价1元，每月可少卖10件；每降价1元，每月可多卖10件．该商品下月新一轮的进价每件减少10元，下月应如何定价，才能使下月的总利润最大？
题二： 凯里市某大型酒店有包房100间，在每天晚餐营业时间，每间包房收包房费100元时，包房便可全部租出；若每间包房收费提高20元，则减少10间包房租出，若每间包房收费再提高20元，则再减少10间包房租出，以每次提高20元的这种方法变化下去．
(1)设每间包房收费提高x(元)，则每间包房的收入为y1(元)，但会减少y2间包房租出，请分别写出y1，y2与x之间的函数关系式．
(2)为了投资少而利润大，每间包房提高x(元)后，设酒店老板每天晚餐包房总收入为y(元)，请写出y与x之间的函数关系式，求出每间包房每天晚餐应提高多少元可获得最大包房费收入，并说明理由．
题三： 杂技团进行杂技表演，演员从跷跷板右端A处弹跳到人梯顶端椅子B处，其身体(看成一点)的路线是抛物线y =x2+3x+1的一部分，如图所示．
(1)求演员弹跳离地面的最大高度；
(2)已知人梯高BC =3.4米，在一次表演中，人梯到起跳点A的水平距离是4米，问这次表演是否成功？请说明理由．
题四： 如图，排球运动员站在点O处练习发球，将球从O点正上方2m的A处发出，把球看成点，其运行的高度y(m)与运行的水平距离x(m)满足关系式y=a(x-6)2+h．已知球网与O点的水平距离为9m，高度为2.43m，球场的边界距O点的水平距离为18m．
(1)当h=2.6时，求y与x的关系式(不要求写出自变量x的取值范围)
(2)当h=2.6时，球能否越过球网？球会不会出界？请说明理由；
(3)若球一定能越过球网，又不出边界，求h的取值范围．
第54讲 实际问题与二次函数（一）
题一： 见详解．
详解：设定价为x元/件，总利润为y元，则
现在进价为60 -20=40(元/件)；下月进价为40 -10=30元/件)；
涨价时，下月总销量是300-10(x-60)= 900-10x，(60≤x≤90)；
降价时，下月总销量是300+10(60-x)= 900-10x，(30≤x≤60)；
y=(900-10x)(x-30)= -10x2+1200x-27000 = -10(x-60)2+9000，(30≤x≤90)
当x=60时，y有最大值是9000元．
题二： 见详解．
详解：(1)由题意得：
y1=100+x，
y2=•10=x，
(2)y=(100+x)(100-x)，
即：y= -(x-50)2+11250，
因为提价前包房费总收入为100×100=10000元．
当x =50时，可获最大包房收入11250元，
∵11250＞10000．
又∵每次提价为20元，每间包房晚餐提高40元与每间包房晚餐提高60元获得包房收入相同，
∴每间包房晚餐应提高40元或60元．
但从“投资少而利润大”的角度来看，因尽量少租出包房，所以每间包房晚餐应提高60元应该更好．
∴每间包房晚餐应提高60元．
题三： 见详解．
详解：(1)将二次函数y=x2+3x+1化成y =(x)2+，
当x =时，y有最大值，ymax =，
因此，演员弹跳离地面的最大高度是米．
(2)能成功表演．
理由是：当x=4时，y=×42+3×4+1=3.4．
即点B (4，3.4)在抛物线y=x2+3x+1上，
因此，能表演成功．
题四： 见详解．
详解：(1)∵h=2.6，球从O点正上方2m的A处发出，
∴抛物线y=a(x-6)2+h过点(0，2)，
∴2=a (0-6)2+2.6，
解得：a =，
故y与x的关系式为：y =(x-6)2+2.6，
(2)当x=9时，y =(x-6)2+2.6=2.45＞2.43，
所以球能过球网；
当y=0时， (x−6)2+2.6＝0，
解得：x1=6+＞18，x2=6 -(舍去)
故会出界；
(3)当球正好过点(18，0)时，抛物线y=a(x-6)2+h还过点(0，2)，代入解析式得：
，
解得：，
此时二次函数解析式为：y=(x-6)2+，
此时球若不出边界h≥，
当球刚能过网，此时函数解析式过(9，2.43)，抛物线y=a(x-6)2+h还过点(0，2)，代入解析式得：
，
解得： ，
此时球要过网h≥，
故若球一定能越过球网，又不出边界，h的取值范围是：h≥．
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