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第五章 第4讲
[A级 基础达标]
1．(2020年北京模拟)函数f(x)＝sin 2x＋cos 2x的对称中心坐标为( )
A．(k∈Z) B．(k∈Z)
C．(k∈Z) D．(k∈Z)
【答案】A
2．已知函数f(x)＝tan x，则下列结论不正确的是( )
A．2π是f(x)的一个周期 B．f＝f
C．f(x)的值域为R D．f(x)的图象关于点对称
【答案】B
3．函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则f(x)的单调递增区间为( )
A．[－1＋4kπ，1＋4kπ](k∈Z) B．[－3＋8kπ，1＋8kπ](k∈Z)
C．[－1＋4k,1＋4k](k∈Z) D．[－3＋8k,1＋8k](k∈Z)
【答案】D
4．已知函数f(x)＝Asin (ωx＋φ)＋b的图象的一部分如图所示，则f(x)的解析式为( )
A．f(x)＝2sin －1 B．f(x)＝2sin ＋1
C．f(x)＝2sin －1 D．f(x)＝2sin ＋1
【答案】B
5．已知函数f(x)＝cos，其中x∈，若f(x)的值域是，则m的取值范围是( )
A． B．
C． D．
【答案】D 【解析】画出函数图象如图．由x∈，可知≤3x＋≤3m＋.因为f＝cos ＝－且f＝cos π＝－1，要使f(x)的值域是，只要≤m≤，即m∈.
6．函数y＝cos2x－3cos x＋2的最小值为________．
【答案】0 【解析】令cos x＝t，则t∈[－1,1]，换元可得y＝t2－3t＋2，因为函数y＝t2－3t＋2在t∈[－1,1]单调递减，所以当t＝1时，函数取最小值ymin＝1－3＋2＝0.
7．已知函数y＝sin(2x＋φ)的图象关于直线x＝对称，则φ的值为________．
【答案】－ 【解析】因为y＝sin(2x＋φ)的图象关于直线x＝对称，所以2×＋φ＝kπ＋，k∈Z，即φ＝kπ－.因为－＜φ＜，所以φ＝－.
8．设函数f(x)＝3sin，若存在这样的实数x1，x2，对任意的x∈R，都有f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立，则|x1－x2|的最小值为________．
【答案】2 【解析】f(x)＝3sin的周期T＝2π×＝4，f(x1)，f(x2)应分别为函数f(x)的最小值和最大值，故|x1－x2|的最小值为＝2.
9．(2020年北京模拟)设函数f(x)＝2sin ωxcos ωx－2cos2ωx＋(ω＞0)的图象上相邻最高点与最低点的距离为.
(1)求函数f(x)的最小正周期及ω的值；
(2)求函数f(x)的单调递增区间．
解：(1)f(x)＝2sin ωx·cos ωx－2cos2ωx＋＝sin 2ωx－cos 2ωx＝2sin，
所以f(x)的最小正周期T＝＝，振幅A＝2.
因为图象上相邻最高点与最低点的距离为，
所以A2＋2＝2，解得ω＝.
故函数f(x)的最小正周期为2π，ω＝.
(2)由(1)知f(x)＝2sin.
由2kπ－≤x－≤2kπ＋，k∈Z，
得2kπ－≤x≤2kπ＋，k∈Z.
所以f(x)的单调递增区间为，k∈Z.
[B级 能力提升]
10．(2020年开封模拟)如果存在正整数ω和实数φ，使得函数f(x)＝sin2(ωx＋φ)的图象如图所示，图象经过点(1,0)，那么ω的值为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
【答案】B 【解析】由f(x)＝sin2(ωx＋φ)＝及其图象知＜×＜1，即＜ω＜π，所以正整数ω＝2或3.由f(x)的图象经过点(1,0)，得f(1)＝＝0，得2ω＋2φ＝2kπ(k∈Z)，即2φ＝2kπ－2ω(k∈Z)．由图象知f(0)＞，即＝＞，得cos 2ω＜0，所以ω＝2.
11．(2020年海口月考)已知f(x)＝2sin(ωx＋φ)，满足f＝－f(x)，且对任意x∈R，都有f(x)≥f，当ω取最小值时，函数f(x)的单调递减区间为( )
A．，k∈Z B．，k∈Z
C．，k∈Z D．，k∈Z
【答案】A 【解析】因为f＝－f(x)，所以f(x)关于点对称．因为对任意x∈R，都有f(x)≥f，所以为函数f(x)的最小值点．设f(x)的最小正周期为T，则＝－＝，即T＝＝，得ω＝6.由×6＋φ＝－＋2kπ，得φ＝2kπ－2π，k∈Z.因为|φ|＜，所以φ＝0，所以f(x)＝2sin 6x.由2kπ＋≤6x≤2kπ＋，k∈Z，得＋≤x≤＋，k∈Z.所以f(x)的单调递减区间为，k∈Z.
12．(多选)(2020年三明模拟)已知函数f(x)＝tan，则下列关于f(x)的判断正确的是( )
A．在区间上单调递增 B．最小正周期是π
C．图象关于直线x＝成轴对称 D．图象关于点成中心对称
【答案】ABD 【解析】A，x∈⇒x＋∈，故单调递增，正确；B，函数f(x)的最小正周期是π，正确；C，正切函数没有对称轴，错误；D，令x＋＝⇒x＝－，k∈Z，当k＝1时，x＝，则f(x)的图象关于点成中心对称，正确．
13．设动直线x＝a与函数f(x)＝2sin2x和g(x)＝sin 2x的图象分别交于M，N两点，则|MN|的最大值为________．
【答案】3 【解析】f(x)－g(x)＝2sin2x－sin 2x＝1－cos 2x－sin 2x＝－2＋1＝－2sin＋1，若直线x＝a与函数f(x)和g(x)的图象分别交于M，N两点，则|MN|＝|f(a)－g(a)|＝≤|2＋1|＝3，所以|MN|的最大值为3
14．(一题两空)已知函数f(x)＝2tan(a＞0)的最小正周期是3，则a＝________，f(x)的对称中心为________．
【答案】 ，k∈Z 【解析】函数f(x)＝2tan(a＞0)的最小正周期是3，则3＝，得a＝，所以函数f(x)＝2tan，由πx＋＝kπ，k∈Z，得x＝k－，故对称中心为，k∈Z.
15．(2019年陕西校级模拟)已知向量a＝，b＝(cos x，－1)．
(1)当a∥b时，求2cos2x－sin 2x的值；
(2)求f(x)＝(a＋b)·b在上的值域．
解：(1)因为a∥b，所以cos x＋sin x＝0.
所以tan x＝－.
所以2cos2x－sin 2x＝＝＝.
(2)因为a＋b＝，
所以f(x)＝(a＋b)·b＝sin.
因为－≤x≤0，所以－≤2x＋≤.
所以－1≤sin≤.
所以－≤f(x)≤.
所以函数f(x)的值域为.
16．已知函数f(x)＝4cos ωxsin(ω＞0)的最小正周期是π.
(1)求函数f(x)在区间(0，π)上的单调递增区间；
(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值．
解：(1)函数f(x)＝4cos ωxsin
＝4cos ωx
＝2sin ωxcos ωx－2cos2ωx＋1－1
＝sin 2ωx－cos 2ωx－1
＝2sin－1，
又f(x)的最小正周期是＝π，所以ω＝1．
从而f(x)＝2sin－1．
令－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，
解得－＋kπ≤x≤＋kπ (k∈Z)，
所以函数f(x)在(0，π)上的单调递增区间为和.
(2)当x∈时，2x∈，
所以2x－∈.
又sin＝sin＝，
所以当2x－＝，即x＝时，f(x)取得最小值－1；当2x－＝，即x＝时，f(x)取得最大值1．
所以f(x)在上的最大值和最小值分别为1，－1
[C级 创新突破]
17．(2020年六安月考)已知函数f(x)＝asin 2x－cos 2x的图象关于直线x＝－对称，若f(x1)f(x2)＝－4，则|x1－x2|的最小值为( )
A． B．
C．4 D．
【答案】D 【解析】因为f(x)的图象关于直线x＝－对称，所以f(0)＝f，即－＝asin－cos＝－a－，得a＝1，则f(x)＝sin 2x－cos 2x＝2sin.因为f(x1)·f(x2)＝－4，所以f(x1)＝2，f(x2)＝－2或f(x1)＝－2，f(x2)＝4，即f(x1)和f(x2)中一个为最大值，一个为最小值，则|x1－x2|的最小值为.因为T＝＝π，所以＝，即|x1－x2|的最小值为.
18．已知函数f(x)＝2sin2－cos 2x－1，x∈R.
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)若h(x)＝f(x＋t)的图象关于点对称，且t∈(0，π)，求t的值；
(3)当x∈时，不等式|f(x)－m|＜3恒成立，求实数m的取值范围．
解：(1)因为f(x)＝－cos－cos 2x＝sin 2x－cos 2x＝2＝2sin，故f(x)的最小正周期为π.
(2)由(1)知h(x)＝2sin.
令2×＋2t－＝kπ(k∈Z)，
得t＝＋(k∈Z)．又t∈(0，π)，故t＝或.
(3)当x∈时，2x－∈，所以f(x)∈[1,2]．
又|f(x)－m|＜3，即f(x)－3＜m＜f(x)＋3，所以2－3＜m＜1＋3，即－1＜m＜4.
故实数m的取值范围是(－1,4)．
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