2015年高考理科数学山东卷-答案.docx

2015年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）
理科数学答案解析
第Ⅰ卷
一、选择题
1.【答案】C
【解析】，，答案选C．
【提示】求出集合A，然后求出两个集合的交集．
【考点】解一元二次不等式，集合间的运算．
2.【答案】A
【解析】，，答案选A．
【提示】直接利用复数的乘除运算法则化简求解即可．
【考点】复数代数形式的四则运算．
3.【答案】B
【解析】，需将函数的图象向右平移个单位，答案选B．
【提示】直接利用三角函数的平移原则推出结果即可．
【考点】三角函数的图象及其变换．
4.【答案】D
【解析】由菱形ABCD的边长为，可知，
，答案选D．
【提示】根据代入可求．
【考点】向量的运算．
5.【答案】A
【解析】时，成立
当时，解得；
当，不成立，综上，答案选A．
【提示】运用零点分区间，求出零点为1，5，讨论①当，②当，③当，分别去掉绝对值，解不等式，最后求并集即可．
【考点】绝对值符号和分类讨论的思想．
6.【答案】B
【解析】由得，借助图形可知：当，即时在时有最大值0，不符合题意；当，即时有最大值，，不满足；当，即时在时有最大值，，不满足；当时，即时在，时有最大值，，满足，答案选B．

第6题图
【提示】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定z的最大值．
【考点】线性规划的问题．
7.【答案】C
【解析】，答案选C．
【提示】画出几何体的直观图，利用已知条件，求解几何体的体积即可．
【考点】空间几何体体积的计算．
8.【答案】B
【解析】，答案选B．
【提示】由题意，，
可得，即可得出结论．
【考点】正态分布．
9.【答案】D
【解析】关于轴的对称点的坐标，设反射光线所在的直线为，即，则，，解得或，答案选D．
【提示】点关于y轴的对称点为，可设反射光线所在直线的方程为：，利用直线与圆相切的性质即可得出．
【考点】直线与圆的位置关系．
10.【答案】C
【解析】由可知，则或，解得，答案选C．
【提示】讨论时，以及，，由分段函数的解析式，解不等式即可得到所求范围．
【考点】函数的定义域．
第Ⅱ卷
二、填空题
11.【答案】
【解析】具体证明过程可以是：

【提示】仔细观察已知条件，找出规律，即可得到结果．
【考点】排列组合的运算．
12.【答案】1
【解析】“，”是真命题，则，于是的最小值是1.
【提示】求出正切函数的最大值，即可得到m的范围．
【考点】三角函数的运算和命题真假．
13.【答案】
【解析】．
【提示】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的n，T的值，当时不满足条件，退出循环，输出T的值为．
【考点】程序框图．
14.【答案】
【解析】当时，，无解；当时，解得，，则
【提示】对a进行分类讨论，分别题意和指数函数的单调性列出方程组
【考点】指数函数的定义域和值域的应用．
15.【答案】
【解析】：的渐近线为则点，，的焦点，则，即，，．
【提示】求出A的坐标，可得，利用的垂心为C2的焦点，可得，由此可求C1的离心率．
【考点】双曲线的离心率．
三、解答题
16.【答案】（Ⅰ）的增区间为，
的减区间为，．
（Ⅱ）
【解析】（Ⅰ）由

由，，得，，则的增区间为，；
由，，得，，则的减区间为，．
（Ⅱ）在锐角中，，，而，
由余弦定理可得，当且仅当时等号成立．
即，，
故面积的最大值是
【提示】（Ⅰ）由三角函数恒等变换化简解析式可得，由，可解得的单调递增区间，由，可解得单调递减区间．
（Ⅱ）由，可得，，由余弦定理可得：，且当时等号成立，从而可求，从而得解．
【考点】三角函数单调区间，三角形的面积公式．
17.【答案】（Ⅰ）见解析
（Ⅱ）
【解析】（Ⅰ）证明：如图1，连接，，设与交于点．
在三棱台中，，则，
而是的中点，，则，
所以四边形是平行四边形，
是的中点，．又在中，是的中点，
则，又，，
故．

第17题图1
（Ⅱ）由可得而，，则
于是，，两两垂直，以点为坐标原点，，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，
如图2，，，，，，，，
则平面的一个法向量为，
设平面的法向量为
则即
取，则，，
，故平面与平面所成的角（锐角）的大小为．

第17题图2
【提示】（Ⅰ）根据便可得到，从而可以得出四边形EFHB为平行四边形，从而得到，便有，再证明，从而得到，从而；
（Ⅱ）连接HE，根据条件能够说明HC，HG，HE三直线两两垂直，从而分别以这三直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，然后求出一些点的坐标．连接BG，可说明为平面ACFD的一条法向量，设平面FGH的法向量为，根据即可求出法向量，设平面FGH与平面ACFD所成的角为θ，根据即可求出平面FGH与平面ACFD所成的角的大小．
【考点】线面的位置关系，两平面所夹的角
18.【答案】（Ⅰ），
（Ⅱ），
【解析】（Ⅰ）由得
，而，
则．
（Ⅱ）由及可得
①
②
由①－②得，

，．
【提示】（Ⅰ）利用，可求得；当时，，两式相减，可求得，从而可得的通项公式；
（Ⅱ）依题意，，可得，当时，，于是可求得；当时，，利用错位相减法可求得的前n项和．
【考点】等比数列的通项公式，数列前项和的问题．
19.【答案】（Ⅰ）125，135，145，235，245，345
（Ⅱ）

【解析】（Ⅰ）125，135，145，235，245，345.
（Ⅱ）由题意知，全部“三位递增数”的个数为，随机变量X的取值为：0，，1，当时，可以选择除去5以外的剩下8个数字中选择3个进行组合，即；
当时，首先选择5，由于不能被10整除，因此不能选择数字2，4，6，8，可以从1，3，5，7中选择两个数字和5进行组合，即；
当时，有两种组合方式，第一种方案：首先选5，然后从2，4，6，8中选择2个数字和5进行组合，即；第二种方案：首先选5，然后从2，4，6，8中选择1个数字，再从1，3，7，9中选择1个数字，最后把3个数字进行组合，即．
则，
，
，

．
【提示】（Ⅰ）根据“三位递增数”的定义，即可写出所有个位数字是5的“三位递增数”；
（Ⅱ）随机变量X的取值为：0，，1分别求出对应的概率，即可求出分布列和期望．
【考点】排列与组合的有关问题．
20.【答案】（Ⅰ）
（Ⅱ）（ⅰ）
（ⅱ）
【解析】（Ⅰ）由椭圆：的离心率为，可知，而，
则，，左，右焦点分别是，，
圆，圆，有两圆相交可得，
即，交点，在椭圆上，
则，整理得，解得，（舍去）．
故，，椭圆的方程．
（Ⅱ）（ⅰ）椭圆的方程为，设点满足，射线：代入可得点于是．
（ⅱ）点到直线距离等于圆点O到直线距离的3倍

得整理得

当且仅当，等号成立．
而直线与椭圆：有交点，则
有解，即，有解，
其判别式，即，
则上述不成立，等号不成立，设，
则在为增函数，
于是当时，
故面积的最大值为．
【提示】（Ⅰ）运用椭圆的离心率公式和a，b，c的关系，计算即可得到b，进而得到椭圆C的方程；
（Ⅱ）求得椭圆E的方程，（ⅰ）设P，，求得Q的坐标，分别代入椭圆C，E的方程，化简整理，即可得到所求值；
（ⅱ）将直线代入椭圆E的方程，运用韦达定理，三角形的面积公式，将直线代入椭圆C的方程，由判别式大于0，可得t的范围，结合二次函数的最值，又的面积为3S，即可得到所求的最大值．
【考点】椭圆的标准方程，圆交点连线所形成三角形的有关问题
21.【答案】（Ⅰ）见解析
（Ⅱ）
【解析】（1），定义域为

设
当时，，函数在为增函数，无极值点．
当时，，
若时，，，函数在为增函数，无极值点．
若时，，设的两个不相等的实数根，且且，
而，则，
所以当，，单调递增；
当，，，单调递减；
当，，，单调递增；
因此此时函数有两个极值点；
若时，，但，，
所以当，，，单调递增；
当，，，单调递减；
所以函数只有一个极值点．
综上所述：当时无极值点；当时只有一个极值点；当时有两个极值点．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当时，在单调递增，而，则当时，，符合题意；
当时，，，在单调递增，而，则当时，符合题意；
当时，，所以函数在单调递减，而，则当时，，不符合题意；
当时，设，当时，，在单调递增，因此当时，，于是，当时，此时不符合题意．
综上所述：的取值范围是
【提示】（Ⅰ）函数，其中，
．．令.对a与△分类讨论可得：（1）当时，此时，即可得出函数的单调性与极值的情况．
（2）当时，．①当时，，②当时，，即可得出函数的单调性与极值的情况．
（3）当时，.即可得出函数的单调性与极值的情况．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：（1）当时，可得函数在上单调性，即可判断出．
（2）当1时，由，可得，函数在上单调性，即可判断出．
（3）当时，由，可得，利用时函数单调性，即可判断出；
（4）当时，设，，研究其单调性，即可判断出
【考点】函数的极值，函数恒成立求未知数的取值范围

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