2022高考数学二轮仿真模拟专练四理.doc

2022高考数学二轮仿真模拟专练〔四〕理　　　　　　　　　　　　　
一、选择题(本大题共12小题，每题5分，共60分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的)
1．[2022·广东深圳高级中学期末]集合A＝{x∈Z|－1≤x≤4}，B＝{－2，－1，4，8，9}，设C＝A∩B，那么集合C的元素个数为(　　)
A．9 B．8
C．3 D．2
答案：D
解析：A＝{x∈Z|－1≤x≤4}＝{－1，0，1，2，3，4}，B＝{－2，－1，4，8，9}，那么C＝A∩B＝{－1，4}，集合C的元素个数为2，应选D.
2．[2022·福建晋江四校联考]复数z＝a＋i(a∈R)的共轭复数为，满足||＝1，那么复数z＝(　　)
A．2＋i B．2－i
C．1＋i D．i
答案：D
解析：根据题意可得＝a－i，所以||＝＝1，解得a＝0，所以复数z＝i.应选D.
3．[2022·重庆一中月考]设a，b，c是平面向量，那么a·b＝b·c是a＝c的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案：B
解析：由a·b＝b·c得(a－c)·b＝0，∴a＝c或b＝0或(a－c)⊥b，∴a·b＝b·c是a＝c的必要不充分条件．应选B.
4．[2022·黑龙江牡丹江一中月考]关于函数f(x)＝sin与函数g(x)＝cos，以下说法正确的选项是(　　)
A．函数f(x)和g(x)的图象有一个交点在y轴上
B．函数f(x)和g(x)的图象在区间(0，π)内有3个交点
C．函数f(x)和g(x)的图象关于直线x＝对称
D．函数f(x)和g(x)的图象关于原点(0，0)对称
答案：D
解析：∵g(－x)＝cos＝cos＝cos＝－sin，∴g(－x)＝－f(x)，∴函数f(x)和g(x)的图象关于原点(0，0)对称，应选D.
5．[2022·湖北武汉武昌调研考]数列{an}的前n项和Sn＝n2－1，那么a1＋a3＋a5＋a7＋a9＝(　　)
A．40 B．44
C．45 D．49
答案：B
解析：解法一　因为Sn＝n2－1，所以当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2－1－(n－1)2＋1＝2n－1，又a1＝S1＝0，所以an＝所以a1＋a3＋a5＋a7＋a9＝0＋5＋9＋13＋17＝44.应选B.
解法二　因为Sn＝n2－1，所以当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2－1－(n－1)2＋1＝2n－1，又a1＝S1＝0，所以an＝所以{an}从第二项起是等差数列，a2＝3，公差d＝2，所以a1＋a3＋a5＋a7＋a9＝0＋4a6＝4×(2×6－1)＝44.应选B.
6．[2022·黑龙江哈尔滨四校联考]函数f(x)＝cos，执行如下图的程序框图，那么输出的S值为(　　)
A．670 B．670
C．671 D．672
答案：C
解析：执行程序框图，y＝f(1)＝cos＝，S＝0＋＝，n＝1＋1＝2；y＝f(2)＝cos＝－，S＝，n＝2＋1＝3；y＝f(3)＝cos π＝－1，S＝，n＝3＋1＝4；y＝f(4)＝cos＝－，S＝，n＝4＋1＝5；y＝f(5)＝cos＝，S＝＋＝1，n＝6；y＝f(6)＝cos2π＝1，S＝1＋1＝2，n＝7……直到n＝2 016时，退出循环．∵函数y＝cos是以6为周期的周期函数，2 015＝6×335＋5，f(2 016)＝cos 336π＝cos(2π×138)＝1，∴输出的S＝336×2－1＝671.应选C.
7．[2022·湖南衡阳八中模拟]如图，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，A1B1的中点是P，过点A1作与截面PBC1平行的截面，那么该截面的面积为(　　)
A．2 B．2
C．2 D．4
答案：C
解析：易知截面是菱形，如图，分别取棱D1C1，AB的中点E，F，连接A1E，A1F，CF，CE，那么菱形A1ECF为符合题意的截面．
连接EF，A1C，易知EF＝2，A1C＝2，EF⊥A1C，所以截面的面积S＝EF·A1C＝2.应选C.
8．[2022·河北张家口期中]x>0，y>0，lg 2x＋lg 8y＝lg 2，那么＋的最小值是(　　)
A．1 B．2
C．2 D．4
答案：D
解析：通解　∵lg 2x＋lg 8y＝lg 2，∴lg 2x＋3y＝lg 2，∴x＋3y＝1.又x>0，y>0，∴＋＝(x＋3y)＝2＋＋≥2＋2＝4，当且仅当x＝，y＝时等号成立，所以＋的最小值是4.应选D.
优解　∵lg 2x＋lg 8y＝lg 2，∴lg 2x＋3y＝lg 2，∴x＋3y＝1.又x>0，y>0，∴＋＝＝≥＝4，当且仅当x＝，y＝时等号成立，所以＋的最小值是4，应选D.
9．[2022·河北唐山摸底]函数f(x)＝sin x－sin 3x，x∈[0，2π]，那么f(x)的所有零点之和等于(　　)
A．5π B．6π
C．7π D．8π
答案：C
解析：f(x)＝sin x－sin(2x＋x)＝sin x－sin 2xcos x－cos 2xsin x＝sin x－2sin x(1－sin2x)－(1－2sin2x)sin x＝sin x－(3sin x－4sin3x)＝2sin x(2sin2x－1)，
令f(x)＝0得sin x＝0或sin x＝±.
于是，f(x)在[0，2π]上的所有零点为x＝0，，，π，，，2π.
故f(x)的所有零点之和为0＋＋＋π＋＋＋2π＝7π，应选C.
10．[2022·江西七校联考]图中的图案是我国古代建筑中的一种装饰图案，形假设铜钱，寓意富贵桔祥，在圆内随机取一点，那么该点取自阴影区域(由四条半径与大圆半径相等的四分之一圆弧围成)内的概率是(　　)
A. B.
C.－1 D．2－
答案：C
解析：设圆的半径为1，那么该点取自阴影区域内的概率P＝＝＝－1，应选C.
11．[2022·四川内江一模]设函数f(x)在R上存在导数f′(x)，对任意的x∈R，有f(－x)－f(x)＝0，且x∈[0，＋∞)时，f′(x)>2x，假设f(a－2)－f(a)≥4－4a，那么实数a的取值范围为(　　)
A．(－∞，1] B．[1，＋∞)
C．(－∞，2] D．[2，＋∞)
答案：A
解析：对任意的x∈R，有f(－x)－f(x)＝0，所以f(x)为偶函数．
设g(x)＝f(x)－x2，所以g′(x)＝f′(x)－2x，
因为x∈[0，＋∞)时f′(x)>2x，所以x∈[0，＋∞)时，g′(x)＝f′(x)－2x>0，所以g(x)在[0，＋∞)上为增函数．
因为f(a－2)－f(a)≥4－4a，所以f(a－2)－(a－2)2≥f(a)－a2，
所以g(a－2)≥g(a)，易知g(x)为偶函数，所以|a－2|≥|a|，解得a≤1，应选A.
12．[2022·河北衡水中学五调]抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，过点F的直线l与抛物线C交于A，B两点，且直线l与圆x2－px＋y2－p2＝0交于C，D两点．假设|AB|＝2|CD|，那么直线l的斜率为(　　)
A．± B．±
C．±1 D．±
答案：C
解析：由题设可得圆的方程为2＋y2＝p2，故圆心坐标为，为抛物线C的焦点，所以|CD|＝2p，所以|AB|＝4p.设直线l：x＝ty＋，代入y2＝2px(p>0)，得y2－2pty－p2＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，那么y1＋y2＝2pt，y1y2＝－p2，那么|AB|＝＝2p(1＋t2)＝4p，所以1＋t2＝2，解得t＝±1，应选C.
二、填空题(本大题共4小题，每题5分，共20分．将正确答案填在题中的横线上．)
13．某学校举办科技节活动，有甲、乙、丙、丁四个团队参加“智能机器人〞工程比赛，该工程只设置一个一等奖，在评奖结果揭晓前，小张、小王、小李、小赵四位同学对这四个参赛团队获奖结果预测如下：
小张说：“甲团队获得一等奖．〞
小王说：“甲或乙团队获得一等奖．〞
小李说：“丁团队获得一等奖．〞
小赵说：“乙、丙两个团队均未获得一等奖．〞
假设这四位同学中只有两位的预测结果是对的，那么获得一等奖的团队是________．
答案：丁
解析：①假设获得一等奖的团队是甲团队，那么小张、小王、小赵的预测结果是对的，小李的预测结果是错的，与题设矛盾；
②假设获得一等奖的团队是乙团队，那么小王的预测结果是对的，小张、小李、小赵的预测结果是错的，与题设矛盾；
③假设获得一等奖的团队是丙团队，那么四人的预测结果都是错的，与题设矛盾；
④假设获得一等奖的团队是丁团队，那么小李、小赵的预测结果是对的，小张、小王的预测结果是错的，与题设相符．
故获得一等奖的团队是丁．
14．[2022·江苏无锡模考]以双曲线－＝1的右焦点为焦点的抛物线的标准方程是________．
答案：y2＝12x
解析：双曲线中，c＝＝3，所以右焦点坐标为(3，0)，故抛物线的焦点坐标为(3，0)，所以＝3，p＝6，抛物线的标准方程为y2＝12x.
15．[2022·云南第一次统一检测]函数f(x)＝假设f(m)＝－6，那么f(m－61)＝________.
答案：－4
解析：∵函数f(x)＝f(m)＝－6，∴当m<3时，f(m)＝3m－2－5＝－6，无解；当m≥3时，f(m)＝－log2(m＋1)＝－6，解得m＝63，
∴f(m－61)＝f(2)＝32－2－5＝－4.
16．[2022·安徽定远中学月考]等差数列{an}满足a3＝6，a4＝7，bn＝(an－3)·3n，那么数列{bn}的前n项和Tn＝________.
答案：
解析：因为a3＝6，a4＝7，所以d＝1，
所以a1＝4，an＝n＋3，bn＝(an－3)·3n＝n·3n，
所以Tn＝1×31＋2×32＋3×33＋…＋n×3n　①，
3Tn＝1×32＋2×33＋3×34＋…＋n×3n＋1　②，
①－②得－2Tn＝3＋32＋33＋…＋3n－n×3n＋1＝－n×3n＋1，
所以Tn＝.
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤．)
17．(12分)[2022·华大新高考联盟教学质量测评]在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，△ABC的面积为S，b＝4，accos B＝S.
(1)假设a，b，c成等差数列，试判断△ABC的形状；
(2)求a＋c的取值范围．
解析：(1)由得accos B＝acsin B，得tan B＝，
因为0<B<π，所以B＝.
因为a，b，c成等差数列，b＝4，所以a＋c＝2b＝8，
由余弦定理，得16＝a2＋c2－2accos ，
所以16＝(a＋c)2－3ac，得ac＝16，
所以a＝c＝b＝4，所以△ABC是等边三角形．
(2)解法一　由(1)得(a＋c)2－3ac＝16≥(a＋c)2－32(当且仅当a＝c时取等号)，
解得0<a＋c≤8.
又a＋c>b＝4，所以4<a＋c≤8，
所以a＋c的取值范围是(4，8]．
解法二　根据正弦定理，得＝＝＝＝，
所以a＝sin A，c＝sin C，
所以a＋c＝(sin A＋sin C)．
因为A＋B＋C＝π，B＝，所以A＋C＝，
所以a＋c＝＝＝8sin，
因为0<A<，
所以A＋∈，所以sin∈那么a＋c∈(4，8]．
所以a＋c的取值范围是(4，8]．
18．(12分)[2022·湖北武汉武昌区调研]如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AC＝AA1＝BC1＝2，∠A1CA＝30°，BC＝.
(1)求证：平面ABC1⊥平面AA1C1C；
(2)求二面角B1－AC1－C的余弦值．
解析：(1)证明：如图，记A1C∩AC1＝O，连接BO.
因为AB＝BC1，所以BO⊥AC1.
由题意知△ACC1为正三角形，那么CO＝.
易得在△ABC1中，BO＝，又BC＝，
所以BC2＝CO2＋BO2，所以BO⊥CO.
因为CO∩AC1＝O，所以BO⊥平面AA1C1C.
因为BO⊂平面ABC1，所以平面ABC1⊥平面AA1C1C.
(2)解法一　建立如下图的空间直角坐标系O­xyz，得O(0，0，0)，B(0，0，)，A(0，1，0)，C1(0，－1，0)，B1(，－1，)，＝(0，－2，0)，＝(，－2，)．
因为BO⊥平面AA1C1C，所以平面ACC1的一个法向量为m＝(0，0，)．
设n＝(x，y，z)为平面AB1C1的法向量，那么
得得y＝0，取x＝1，得z＝－1，所以n＝(1，0，－1)为平面AB1C1的一个法向量，
所以|cos〈m，n〉|＝.
因为所求二面角的平面角为钝角，
所以二面角B1－AC1－C的余弦值为－.
解法二　如图，过点B1作B1H⊥平面AA1C1C，垂足为H，连接OH，C1H，那么四边形B1HOB为矩形，HO綊B1B，那么HO綊C1C，所以四边形HOCC1为平行四边形，所以HC1∥OC，
所以HC1⊥AC1，AC1⊥平面B1HC1，B1C1⊂平面B1HC1，所以B1C1⊥AC1.
所以∠B1C1H为所求二面角的平面角的补角．
因为B1H＝BO＝，C1H＝OC＝，
所以∠B1C1H＝45°，cos∠B1C1H＝.
所以二面角B1－AC1－C的余弦值为－.
19．(12分)[2022·湖南省长沙市检测卷]某互联网公司为了确定下一季度的前期广告投入方案，收集了近6个月广告投入量x(单位：万元)和收益y(单位：万元)的数据如下表：
月份
1
2
3
4
5
6
广告投入量x
2
4
6
8
10
12
收益y
14.21
20.31
31.8
31.18
37.83
44.67
他们分别用两种模型①y＝bx＋a，②y＝aebx进行拟合，得到相应的回归方程并进行残差分析，得到如下图的残差图及一些统计量的值：(每个样本点的残差等于其实际值减去该模型的估计值)

iyi

7
30
1 464.24
364
(1)根据残差图，比拟模型①，②的拟合效果，应选择哪个模型？并说明理由；
(2)残差绝对值大于2的数据被认为是异常数据，需要剔除：
①剔除异常数据后求出(1)中所选模型的回归方程；
②当广告投入量x＝18时，该模型收益的预报值是多少？
附：对于一组数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其回归直线＝x＋的斜率和截距的最小二乘估计分别为
＝＝，＝－.
解析：(1)应该选择模型①，因为模型①残差点比拟均匀地落在水平的带状区域中，说明模型拟合精度高，回归方程的预报精度高．
(2)①剔除异常数据，即月份为3的数据后，得
＝×(7×6－6)＝7.2；
＝×(30×6－31.8)＝29.64.
iyi＝1 464.24－6×31.8＝1 273.44；
＝364－62＝328.
＝＝＝＝3；
＝－＝29.64－3×7.2＝8.04，
所以y关于x的线性回归方程为＝3x＋8.04.
②把x＝18代入回归方程得＝3×18＋8.04＝ 62.04.
故预报值约为62.04万元．
20．(12分)[2022·广东广州调研]动圆C过定点F(1，0)，且与定直线x＝－1相切．
(1)求动圆圆心C的轨迹E的方程；
(2)过点M(－2，0)的任一直线l与轨迹E交于不同的两点P，Q，试探究在x轴上是否存在定点N(异于点M)，使得∠QNM＋∠PNM＝π？假设存在，求出点N的坐标；假设不存在，请说明理由．
解析：(1)方法一　依题意知，动圆圆心C到定点F(1，0)的距离与到定直线x＝－1的距离相等．
结合抛物线的定义，可得动圆圆心C的轨迹E是以F(1，0)为焦点，直线x＝－1为准线的抛物线，易知p＝2.
所以动圆圆心C的轨迹E的方程为y2＝4x.
方法二　设动圆圆心C(x，y)，依题意得 ＝|x＋1|，
化简得y2＝4x，此即动圆圆心C的轨迹E的方程．
(2)假设存在点N(x0，0)满足题设条件．
由∠QNM＋∠PNM＝π可知，直线PN与QN的斜率互为相反数，
即kPN＋kQN＝0.　(*)
依题意易知直线PQ的斜率必存在且不为0，设直线PQ：x＝my－2(m≠0)，
由得y2－4my＋8＝0.
由Δ＝(－4m)2－4×8>0，求得m>或m<－.
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，那么y1＋y2＝4m，y1y2＝8.
由(*)得kPN＋kQN＝＋＝＝0，
所以y1(x2－x0)＋y2(x1－x0) ＝0，即y1x2＋y2x1－x0 (y1＋y2)＝0.
消去x1，x2，得y1y＋y2y－x0(y1＋y2)＝0，
即y1y2(y1＋y2)－x0(y1＋y2)＝0.
因为y1＋y2≠0，所以x0＝y1y2＝2，
于是存在点N(2，0)，使得∠QNM＋∠PNM＝π.
21．(12分)[2022·陕西西安中学期中]函数f(x)＝x2＋(1－x)ex，g(x)＝x－ln x－a，a<1.
(1)求函数g(x)的单调区间；
(2)假设对任意x1∈[－1，0]，总存在x2∈[e，3]，使得f(x1)>g(x2)成立，求实数a的取值范围．
解析：(1)因为g′(x)＝1－－a＝＝，a<1，又注意到函数g(x)的定义域为(0，＋∞)，所以讨论如下．
当0<a<1时，令g′(x)>0，解得0<x<a或x>1，令g′(x)<0，解得a<x<1，所以函数g(x)的单调递增区间为(0，a)和(1，＋∞)，单调递减区间为(a，1)；
当a≤0时，令g′(x)>0，解得x>1，令g′(x)<0，解得0<x<1，所以函数g(x)的单调递增区间为(1，＋∞)，单调递减区间为(0，1)．
综上，当0<a<1时，函数g(x)的单调递增区间为(0，a)和(1，＋∞)，单调递减区间为(a，1)；当a≤0时，函数g(x)的单调递增区间为(1，＋∞)，单调递减区间为(0，1)．
(2)对任意x1∈[－1，0]，总存在x2∈[e，3]，使得f(x1)>g(x2)成立，等价于函数f(x)在[－1，0]上的最小值大于函数g(x)在[e，3]上的最小值．
当x∈[－1，0]时，因为f′(x)＝x(1－ex)≤0，当且仅当x＝0时不等式取等号，所以f(x)在[－1，0]上单调递减，所以f(x)在[－1，0]上的最小值为f(0)＝1.
由(1)可知，函数g(x)在[e，3]上单调递增，所以g(x)在[e，3]上的最小值为g(e)＝e－(a＋1)－.
所以1>e－(a＋1)－，即a>.
又a<1，故所求实数a的取值范围是.
选考题(请考生在第22、23题中任选一题作答，多答、不答按本选考题的首题进行评分．)
22．(10分)[2022·山东济南质量评估][选修4－4：坐标系与参数方程]
在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρcos2θ＝sin θ，直线l的参数方程为(t为参数)，其中a>0，直线l与曲线C相交于M，N两点．
(1)求曲线C的直角坐标方程；
(2)假设点P(0，a)满足＋＝4，求a的值．
解析：(1)由可知ρ2cos2θ＝ρsin θ，
由得曲线C的直角坐标方程为y＝x2.
(2)将直线l的参数方程(t为参数)代入y＝x2，得t2－t－a＝0，且Δ＝＋3a>0.
设M，N对应的参数分别为t1，t2，那么t1＋t2＝，t1t2＝－a，所以t1、t2异号．
所以＋＝＝＝＝＝4，
化简得64a2－12a－1＝0，解得a＝或a＝－(舍)．
所以a的值为.
23．(10分)[2022·河南省郑州市检测卷][选修4－5：不等式选讲]
函数f(x)＝|3x－2a|＋|2x－2|(a∈R)．
(1)当a＝时，解不等式f(x)>6；
(2)假设对任意x0∈R，不等式f(x0)＋3x0>4＋|2x0－2|都成立，求a的取值范围．
解析：(1)当a＝时，
不等式f(x)>6可化为|3x－1|＋|2x－2|>6，
当x<时，不等式即为1－3x＋2－2x>6，∴x<－；
当≤x≤1时，不等式即为3x－1＋2－2x>6，无解；
当x>1时，不等式即为3x－1＋2x－2>6，∴x>.
综上所述，不等式的解集为.
(2)不等式f(x0)＋3x0>4＋|2x0－2|恒成立可化为|3x0－2a|＋3x0>4恒成立，
令g(x)＝|3x－2a|＋3x＝
∴函数g(x)的最小值为2a，
根据题意可得2a>4，即a>2，
所以a的取值范围为(2，＋∞)．