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考点规范练6 函数的奇偶性与周期性
考点规范练B册第4页
基础巩固组
1.函数f(x)=-x的图像关于( )
A.y轴对称 B.直线y=-x对称
C.坐标原点对称 D.直线y=x对称
答案:C
解析:∵f(-x)=-+x=-=-f(x),且定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),∴f(x)为奇函数,故f(x)的图像关于坐标原点对称.
2.(2015河南洛阳统考)下列函数中,既是偶函数,又在(-∞,0)上递增的是( )
A.y=x2 B.y=2|x|
C.y=log2 D.y=sin x
答案:C
解析:函数y=x2在(-∞,0)上是减少的;函数y=2|x|在(-∞,0)上是减少的;函数y=log2=-log2|x|是偶函数,且在(-∞,0)上是增加的;函数y=sin x不是偶函数.综上所述,选C.
3.已知f(x)=ax2+bx是定义在[a-1,2a]上的偶函数,那么a+b的值是( )
A.- B. C. D.-
答案:B
解析:依题意b=0,且2a=-(a-1),
∴b=0,a=,则a+b=.
4.(2015石家庄一模)已知f(x)是定义在R上的以3为周期的偶函数,若f(1)<1,f(5)=,则实数a的取值范围为( )
A.(-1,4) B.(-2,0)
C.(-1,0) D.(-1,2)〚导学号32470712〛
答案:A
解析:∵f(x)是定义在R上的周期为3的偶函数,
∴f(5)=f(5-6)=f(-1)=f(1),
∵f(1)<1,f(5)=,∴<1,即<0,解得-1<a<4,故选A.
5.(2015河北唐山统考)f(x)是R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=x3+ln(1+x).则当x<0时,f(x)=( )
A.-x3-ln(1-x) B.x3+ln(1-x)
C.x3-ln(1-x) D.-x3+ln(1-x)
答案:C
解析:当x<0时,-x>0,f(-x)=(-x)3+ln(1-x),
∵f(x)是R上的奇函数,
∴当x>0时,f(x)=-f(-x)=-[(-x)3+ln(1-x)],
∴f(x)=x3-ln(1-x).
6.(2015合肥模拟)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,且满足f(x+2)=f(x).若当x∈[0,1)时,f(x)=2x-,则f(lo)的值为( )
A.0 B.1 C. D.-〚导学号32470713〛
答案:A
解析:因为函数f(x)是定义在R上的奇函数,
所以f(lo)=f(-log2)=f=-f,
又f(x+2)=f(x),
所以f=f=0,
所以f(lo)=0.
7.已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=x2+2x.若f(2-a2)>f(a),则实数a的取值范围是( )
A.(-∞,-1)∪(2,+∞) B.(-1,2)
C.(-2,1) D.(-∞,-2)∪(1,+∞)
答案:C
解析:因为f(x)是奇函数,所以当x<0时,f(x)=-x2+2x,作出f(x)的大致图像如图中实线所示,结合图像可知f(x)是R上的增函数.由f(2-a2)>f(a),得2-a2>a,即-2<a<1,选C.
8.(2015陕西延安模拟)函数f(x)的定义域为R,且满足f(x)是偶函数,f(1-x)=f(1+x),若f(0.5)=9,则f(8.5)等于( )
A.-9 B.9 C.-3 D.0
答案:B
解析:因为f(1-x)=f(1+x),即f(x)=f(2-x).
又因为f(-x)=f(x),故f(-x)=f(2-x),
即f(x+2)=f(x),函数f(x)的周期为2,
所以f(8.5)=f(0.5)=9.
9.已知y=f(x)是奇函数.若g(x)=f(x)+2,且g(1)=1,则g(-1)= .
答案:3
解析:由g(x)=f(x)+2,得f(x)=g(x)-2.
∵f(x)为奇函数,∴f(-1)=-f(1)=-[g(1)-2]=1,
∴g(-1)=f(-1)+2=3.
10.设奇函数y=f(x)(x∈R),满足对任意t∈R都有f(t)=f(1-t),且x∈时,f(x)=-x2,则f(3)+f的值等于 .〚导学号32470714〛
答案:-
解析:根据对任意t∈R都有f(t)=f(1-t)可得f(-t)=f(1+t),即f(t+1)=-f(t),进而得到f(t+2)=-f(t+1)=-[-f(t)]=f(t),得函数y=f(x)的一个周期为2,故f(3)=f(1)=f(0+1)=-f(0)=0,f=f=-.
所以f(3)+f=0+=-.
11.已知f(x),g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,且f(x)-g(x)=,则f(1),g(0),g(-1)之间的大小关系是 .
答案:f(1)>g(0)>g(-1)
解析:在f(x)-g(x)=中,用-x替换x,得f(-x)-g(-x)=2x,由于f(x),g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,所以f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x),因此得-f(x)-g(x)=2x.于是解得f(x)=,g(x)=-,于是f(1)=-,g(0)=-1,g(-1)=-,
故f(1)>g(0)>g(-1).
12.已知奇函数f(x)的定义域为[-2,2],且在区间[-2,0]上递减,则满足f(1-m)+f(1-m2)<0的实数m的取值范围为 .〚导学号32470715〛
答案:[-1,1)
解析:∵f(x)的定义域为[-2,2],
∴
解得-1≤m≤.①
又f(x)为奇函数,且在[-2,0]上递减,
∴f(x)在[-2,2]上递减,
∴f(1-m)<-f(1-m2)=f(m2-1)⇒1-m>m2-1,
解得-2<m<1.②
综合①②可知,-1≤m<1.
即实数m的取值范围是[-1,1).
能力提升组
13.(2015河南信阳二模)函数f(x)=lg|sin x|是( )
A.最小正周期为π的奇函数
B.最小正周期为2π的奇函数
C.最小正周期为π的偶函数
D.最小正周期为2π的偶函数
答案:C
解析:易知函数的定义域为{x|x≠kπ,k∈Z},关于原点对称,
又f(-x)=lg|sin(-x)|=lg|-sin x|=lg|sin x|=f(x),所以f(x)是偶函数,又函数y=|sin x|的最小正周期为π,所以函数f(x)=lg|sin x|是最小正周期为π的偶函数.
14.已知函数f(x)是定义域为R的偶函数,且f(x+1)=-f(x),若f(x)在[-1,0]上是减函数,那么f(x)在[1,3]上是( )
A.增函数
B.减函数
C.先增后减的函数
D.先减后增的函数
答案:D
解析:由f(x)在[-1,0]上是减函数,又f(x)是R上的偶函数,所以f(x)在[0,1]上是增函数.
由f(x+1)=-f(x),得f(x+2)=f[(x+1)+1]
=-f(x+1)=f(x),故2是函数f(x)的一个周期.
结合以上性质,模拟画出f(x)的部分图像,如图.
由图像可以观察出,f(x)在[1,2]上是减少的,在[2,3]上是增加的.
15.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且对任意的x∈R,都有f(x+2)=f(x).当0≤x≤1时,f(x)=x2.若直线y=x+a与函数y=f(x)的图像在[0,2]内恰有两个不同的公共点,则实数a的值是( )
A.0 B.0或-
C.-或- D.0或-〚导学号32470716〛
答案:D
解析:∵f(x+2)=f(x),∴T=2.
又0≤x≤1时,f(x)=x2,可画出函数y=f(x)在一个周期内的图像如图.显然a=0时,y=x与y=x2在[0,2]内恰有两个不同的公共点.
另当直线y=x+a与y=x2(0≤x≤1)相切时,也恰有两个不同的公共点.
由题意知x2=x+a,
即x2-x-a=0,Δ=1+4a=0,
则a=-,此时x=.
综上可知,a=0或-.
16.(2015皖北协作区联考)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,对任意x,y∈R,x+y≠0,都有>0,若x>2y,则( )
A.f(x)>f(2y) B.f(x)≥f(2y)
C.f(x)<f(2y) D.f(x)≤f(2y)〚导学号32470717〛
答案:A
解析:因为>0,令x=x1,y=-x2,
则>0.
又函数f(x)是奇函数,所以>0,即函数f(x)是定义在R上的增函数.
因为x>2y,所以f(x)>f(2y),故选A.
17.设函数f(x)是定义在R上的偶函数,且对任意的x∈R恒有f(x+1)=f(x-1).已知当x∈[0,1]时,f(x)=,则
①2是函数f(x)的周期;
②函数f(x)在(1,2)上递减,在(2,3)上递增;
③函数f(x)的最大值是1,最小值是0;
④当x∈(3,4)时,f(x)=.
其中所有正确命题的序号是 .〚导学号32470718〛
答案:①②④
解析:由已知条件得f(x+2)=f(x),
则y=f(x)是以2为周期的周期函数,故①正确;
当-1≤x≤0时,0≤-x≤1,f(x)=f(-x)=,
函数y=f(x)的图像如图所示,最小值为,最大值为1.
当3<x<4时,-1<x-4<0,
f(x)=f(x-4)=.
因此②④正确,③不正确.
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