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课时分层作业(十二)
(建议用时：60分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．在证明命题“对于任意角θ，cos4θ－sin4 θ＝cos 2θ”的过程：“cos4 θ－sin4 θ＝(cos2 θ＋sin2 θ)(cos2 θ－sin2 θ)＝cos2 θ－sin2 θ＝cos 2θ”中应用了( )
A．分析法
B．综合法
C．分析法和综合法综合使用
D．间接证法
[解析] 此证明符合综合法的证明思路．故选B.
[答案] B
2．要证a2＋b2－1－a2b2≤0，只需证( )
A．2ab－1－a2b2≤0
B．a2＋b2－1－≤0
C.－1－a2b2≤0
D．(a2－1)(b2－1)≥0
[解析] 要证a2＋b2－1－a2b2≤0，
只需证a2b2－a2－b2＋1≥0，
只需证(a2－1)(b2－1)≥0，故选D.
[答案] D
3．在集合{a，b，c，d}上定义两种运算和如下：
那么，d(ac)等于( )
A．a B．b
C．c D．d
[解析] 由运算可知，ac＝c，
∴d(ac)＝dc.
由运算可知，dc＝a.故选A.
[答案] A
4．欲证－<－成立，只需证( )
A．(－)2<(－)2
B．(－)2<(－)2
C．(＋)2<(＋)2
D．(－－)2<(－)2
[解析] ∵－<0，－<0，
故－<－⇔＋<＋⇔(＋)2<(＋)2.故选C.
[答案] C
5．对任意的锐角α，β，下列不等式中正确的是( )
A．sin(α＋β)>sin α＋sin β
B．sin(α＋β)>cos α＋cos β
C．cos(α＋β)>sin α＋sin β
D．cos(α＋β)<cos α＋cos β
[解析] 因为0<α<，0<β<，
所以0<α＋β<π，
若≤α＋β<π，则cos(α＋β)≤0，
因为cos α>0，cos β>0.
所以cos α＋cos β>cos (α＋β)．
若0<α＋β<，则α＋β>α且α＋β>β，
因为cos(α＋β)<cos α，cos(α＋β)<cos β，
所以cos(α＋β)<cos α＋cos β，
总之，对任意的锐角α，β有cos(α＋β)<cos α＋cos β.
[答案] D
二、填空题
6．命题“函数f(x)＝x－xln x在区间(0,1)上是增函数”的证明过程“对函数f(x)＝x－xln x求导得f′(x)＝－ln x，当x∈(0,1)时，f′(x)＝－ln x>0，故函数f(x)在区间(0,1)上是增函数”应用了________的证明方法．
[解析] 该证明方法是“由因导果”法．
[答案] 综合法
7．如果a>b，则实数a，b应满足的条件是__________．
[解析] 要使a>b，
只需使a>0，b>0，(a)2>(b)2，
即a>b>0.
[答案] a>b>0
8．若对任意x>0，≤a恒成立，则a的取值范围是__________．
[解析] 若对任意x>0，≤a恒成立，只需求y＝的最大值，且令a不小于这个最大值即可．因为x>0，所以y＝＝≤＝，当且仅当x＝1时，等号成立，所以a的取值范围是.
[答案]
三、解答题
9．已知倾斜角为60°的直线L经过抛物线y2＝4x的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点，其中O为坐标原点．
(1)求弦AB的长；
(2)求三角形ABO的面积．
[解] (1)由题意得，直线L的方程为y＝(x－1)，
代入y2＝4x，得3x2－10x＋3＝0.
设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝.
由抛物线的定义，得弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝＋2＝.
(2)点O到直线AB的距离d＝＝，所以三角形OAB的面积为S＝|AB|·d＝.
10．已知三角形的三边长为a，b，c，其面积为S，求证：a2＋b2＋c2≥4S.
[证明] 要证a2＋b2＋c2≥4S，
只要证a2＋b2＋(a2＋b2－2abcos C)≥2 absin C，即证a2＋b2≥2absin(C＋30°)，因为2absin(C＋30°)≤2ab，
只需证a2＋b2≥2ab，
显然上式成立．所以a2＋b2＋c2≥4S.
[能力提升练]
1．设a>0，b>0，若是3a与3b的等比中项，则＋的最小值为( )
A．8 B．4
C．1 D．
[解析] 是3a与3b的等比中项⇒3a·3b＝3⇒3a＋b＝3⇒a＋b＝1，因为a>0，b>0，所以≤＝⇒ab≤，所以＋＝＝≥＝4.
[答案] B
2．已知关于x的方程x2＋(k－3)x＋k2＝0的一根小于1，另一根大于1，则k的取值范围是( )
A．(－1,2)
B．(－2,1)
C．(－∞，－1)∪(2，＋∞)
D．(－∞，－2)∪(1，＋∞)
[解析] 令f(x)＝x2＋(k－3)x＋k2.
因为其图象开口向上，由题意可知f(1)<0，
即f(1)＝1＋(k－3)＋k2＝k2＋k－2<0，
解得－2<k<1．
[答案] B
3．如果a＋b>a＋b，则实数a，b应满足的条件是__________．
[解析] a＋b>a＋b⇔a－a>b－b⇔a(－)>b(－)⇔(a－b)(－)>0
⇔(＋)(－)2>0，
故只需a≠b且a，b都不小于零即可．
[答案] a≥0，b≥0且a≠b
4．已知α，β≠kπ＋，(k∈Z)且sin θ＋cos θ＝2sin α，sin θcos θ＝sin2β.求证：＝.
[证明] 要证＝成立，
即证＝.
即证cos2α－sin2α＝(cos2β－sin2β)，
即证1－2sin2α＝(1－2sin2β)，
即证4sin2α－2sin2β＝1，
因为sin θ＋cos θ＝2sin α，
sin θcos θ＝sin 2β，
所以(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ＝4sin2α，所以1＋2sin2β＝4sin2 α，
即4sin2α－2sin2β＝1．故原结论正确.
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