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课下能力提升(十七)
一、题组对点训练
对点练一 互斥事件与对立事件
1．给出以下结论：①互斥事件一定对立．②对立事件一定互斥．③互斥事件不一定对立．④事件A与B的和事件的概率一定大于事件A的概率．⑤事件A与B互斥，那么有P(A)＝1－P(B)．其中正确命题的个数为( )
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
解析：选C 对立必互斥，互斥不一定对立，∴②③正确，①错；又当A∪B＝A时，P(A∪B)＝P(A)，∴④错；只有A与B为对立事件时，才有P(A)＝1－P(B)，∴⑤错．
2．从1,2，…，9中任取两数，①恰有一个偶数和恰有一个奇数；②至少有一个奇数和两个数都是奇数；③至少有一个奇数和两个都是偶数；④至少有一个奇数和至少有一个偶数．在上述事件中，是对立事件的是( )
A．① B．②④
C．③ D．①③
解析：选C 从1,2，…，9中任取两数，有以下三种情况：(1)两个奇数；(2)两个偶数；(3)一个奇数和一个偶数．至少有一个奇数是(1)和(3)，其对立事件显然是(2)．应选C.
3．掷一枚骰子，记A为事件“落地时向上的数是奇数〞，B为事件“落地时向上的数是偶数〞，C为事件“落地时向上的数是3的倍数〞．其中是互斥事件的是________，是对立事件的是________．
解析：A，B既是互斥事件，也是对立事件．
答案：A，B A，B
对点练二 事件的运算
4．给出事件A与B的关系示意图，如下图，那么( )
A．A⊆B B．A⊇B
C．A与B互斥 D．A与B互为对立事件
解析：选C 由互斥事件的定义可知C正确．
5．掷一枚骰子，“向上的点数是1或2”为事件A，“向上的点数是2或3”为事件B，那么( )
A．A⊆B
B．A＝B
C．A＋B表示向上的点数是1或2或3
D．AB表示向上的点数是1或2或3
解析：选C 设A＝{1,2}，B＝{2,3}，A∩B＝{2}，A∪B＝{1,2,3}，∴A＋B表示向上的点数为1或2或3.
对点练三 用互斥、对立事件求概率
6．假设A、B是互斥事件，那么( )
A．P(A∪B)<1 B．P(A∪B)＝1
C．P(A∪B)>1 D．P(A∪B)≤1
解析：选D ∵A，B互斥，∴P(A∪B)＝P(A)＋P(B)≤1.(当A、B对立时，P(A∪B)＝1)．
7．某射手在一次射击中，射中10环、9环、8环的概率分别为0.2、0.3、0.1，那么此射手在一次射击中不超过8环的概率为( )
A．0.5 B．0.3
C．0.6 D．0.9
解析：选A 此射手在一次射击中不超过8环的概率为1－0.2－0.3＝0.5.应选A.
8．围棋盒子中有多粒黑子和白子，从中取出2粒都是黑子的概率为，都是白子的概率是，那么从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是( )
A. B．
C. D．1
解析：选C 设“从中取出2粒都是黑子〞为事件A，“从中取出2粒都是白子〞为事件B，“任意取出2粒恰好是同一色〞为事件C，那么C＝A∪B，且事件A与B互斥，所以P(C)＝P(A)＋P(B)＝＋＝，即任意取出2粒恰好是同一色的概率为.
9．盒子里装有6个红球，4个白球，从中任取3个球．设事件A表示“3个球中有1个红球，2个白球〞，事件B表示“3个球中有2个红球，1个白球〞．P(A)＝，P(B)＝，求“3个球中既有红球又有白球〞的概率．
解：记事件C为“3个球中既有红球又有白球〞，那么它包含事件A“3个球中有1个红球，2个白球〞和事件B“3个球中有2个红球，1个白球〞，而且事件A与事件B是互斥的，所以P(C)＝P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝＋＝.
10．在数学考试中，小明的成绩在90分以上的概率是0.18，在80分～89分的概率是0.51，在70分～79分的概率是0.15，在60分～69分的概率是0.09，在60分以下的概率是0.07，计算：
(1)小明在数学考试中取得80分以上成绩的概率；
(2)小明考试及格的概率．
解：记小明的成绩“在90分以上〞“在80分～89分〞“在70分～79分〞“在60分～69分〞为事件A，B，C，D，这四个事件彼此互斥．
(1)小明成绩在80分以上的概率是P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.18＋0.51＝0.69.
(2)法一：小明及格的概率是P(A∪B∪C∪D)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＋P(D)＝0.18＋0.51＋0.15＋0.09＝0.93.
法二：小明不及格的概率为0.07，那么小明及格的概率为1－0.07＝0.93.
二、综合过关训练
1．从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是( )
A．“至少有1个白球〞和“都是红球〞
B．“至少有1个白球〞和“至多有1个红球〞
C．“恰有1个白球〞和“恰有2个白球〞
D．“至多有1个白球〞和“都是红球〞
解析：选C 该试验有三种结果：“恰有1个白球〞、“恰有2个白球〞、“没有白球〞，故“恰有1个白球〞和“恰有2个白球〞是互斥事件但不是对立事件．
2．甲、乙两人下棋，甲获胜的概率为40%，甲不输的概率为90%，那么甲、乙两人下成和棋的概率为( )
A．60% B．30%
C．10% D．50%
解析：选D 设A＝{甲获胜}，B＝{甲不输}，C＝{甲、乙和棋}，那么A、C互斥，且B＝A∪C，故P(B)＝P(A∪C)＝P(A)＋P(C)，即P(C)＝P(B)－P(A)＝50%.
3．现有语文、数学、英语、物理和化学共5本书，从中任取1本，取出的是理科书的概率为( )
A. B．
C. D.
解析：选C 记取到语文、数学、英语、物理、化学书分别为事件A、B、C、D、E，那么A、B、C、D、E互斥，取到理科书的概率为事件B、D、E概率的和．∴P(B∪D∪E)＝P(B)＋P(D)＋P(E)＝＋＋＝.
4．对一批产品的长度(单位：毫米)进行抽样检测，如图为检测结果的频率分布直方图．根据标准，产品长度在区间[20,25)上的为一等品，在区间[15,20)和区间[25,30)上的为二等品，在区间[10,15)和[30,35)上的为三等品．用频率估计概率，现从该批产品中随机抽取一件，那么其为二等品的概率为( )
A．0.09 B．0.20
C．0.25 D．0.45
解析：选D 由图可知抽得一等品的概率为0.3，抽得三等品的概率为0.25，那么抽得二等品的概率为1－0.3－0.25＝0.45.
5．为维护世界经济秩序，我国在亚洲经济论坛期间积极倡导反对地方贸易保护主义，并承诺包括汽车在内的进口商品将最多在5年内把关税全部降低到世贸组织所要求的水平，其中21%的进口商品恰好5年关税到达要求，18%的进口商品恰好4年关税到达要求，其余进口商品将在3年或3年内到达要求，那么包括汽车在内的进口商品不超过4年的时间关税到达要求的概率为________．
解析：设“包括汽车在内的进口商品恰好4年关税到达要求〞为事件A，“不到4年到达要求〞为事件B，那么“包括汽车在内的进口商品在不超过4年的时间关税到达要求〞是事件A∪B，而A，B互斥，
∴P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.18＋(1－0.21－0.18)＝0.79.
答案：0.79
6．同时掷两枚骰子，既不出现5点也不出现6点的概率为，那么5点或6点至少出现一个的概率是________．
解析：记既不出现5点也不出现6点的事件为A，那么P(A)＝，5点或6点至少有一个的事件为B.
因A∩B＝∅，A∪B为必然事件，所以A与B是对立事件，那么P(B)＝1－P(A)＝1－＝.
故5点或6点至少有一个出现的概率为.
答案：
7．(2022·北京高考)改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变．近年来，移动支付已成为主要支付方式之一．为了解某校学生上个月A，B两种移动支付方式的使用情况，从全校所有的1 000名学生中随机抽取了100人，发现样本中A，B两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下：
支付金额支付方式
不大于2 000元
大于2 000元
仅使用A
27人
3人
仅使用B
24人
1人
(1)估计该校学生中上个月A，B两种支付方式都使用的人数；
(2)从样本仅使用B的学生中随机抽取1人，求该学生上个月支付金额大于2 000元的概率；
(3)上个月样本学生的支付方式在本月没有变化．现从样本仅使用B的学生中随机抽查1人，发现他本月的支付金额大于2 000元．结合(2)的结果，能否认为样本仅使用B的学生中本月支付金额大于2 000元的人数有变化？说明理由．
解：(1)由题知，样本中仅使用A的学生有27＋3＝30(人)，仅使用B的学生有24＋1＝25(人)，A，B两种支付方式都不使用的学生有5人．
故样本中A，B两种支付方式都使用的学生有100－30－25－5＝40(人)．
估计该校学生中上个月A，B两种支付方式都使用的人数为×1 000＝400.
(2)记事件C为“从样本仅使用B的学生中随机抽取1人，该学生上个月的支付金额大于2 000元〞，那么
P(C)＝＝0.04.
(3)记事件E为“从样本仅使用B的学生中随机抽查1人，
该学生本月的支付金额大于2 000元〞．
假设样本仅使用B的学生中，本月支付金额大于2 000元的人数没有变化，那么由(2)知，P(E)＝0.04.
答案例如1：可以认为有变化．理由如下：
P(E)比拟小，概率比拟小的事件一般不容易发生，一旦发生，就有理由认为本月支付金额大于2 000元的人数发生了变化．
所以可以认为有变化．
答案例如2：无法确定有没有变化．理由如下：
事件E是随机事件，P(E)比拟小，一般不容易发生，但还是有可能发生的．所以无法确定有没有变化．
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