资源描述
课时分层作业(十九) 幂函数
(建议用时：60分钟)
[合格基础练]
一、选择题
1．下列命题：①幂函数的图象都经过点(1,1)和点(0,0)；②幂函数的图象不可能是一条直线；③n＝0时，函数y＝xn的图象是一条直线；④幂函数y＝xn，当n>0时是增函数；⑤幂函数y＝xn，当n<0时，在第一象限内函数值随x值的增大而减小；⑥幂函数的图象不可能在第四象限．其中正确的有( )
A．①③ B．②④
C．⑤⑥ D．③⑥
C [幂函数y＝xn，只有当n>0时，则其图象才都经过点(1,1)和点(0,0)，故①错误；幂函数y＝xn，当n＝1时，则其图象就是一条直线，故②错误；幂函数y＝xn，当n＝0时，则其图象是y＝1这条直线上去除(0,1)点后的剩余部分，故③错误；幂函数y＝x2，当x∈(0，＋∞)时，是增函数，当x∈(－∞，0)时，是减函数，故④错误；根据幂函数的性质可知，只有⑤⑥是正确的．]
2．设α∈，则使函数y＝xα的定义域为R且为奇函数的所有α值的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
B [使函数y＝xα的定义域为R的有1,2,3，其中为奇函数的有1,3.]
3．幂函数y＝x－1及直线y＝x，y＝1，x＝1将平面直角坐标系的第一象限分成八个“部分”：①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧(如图所示)，那么幂函数y＝的图象经过的“部分”是( )
A．②⑥ B．④⑧
C．①⑤ D．③⑦
C [对于幂函数y＝，当0<x<1时，>x；当x>1时，x>，所以经过①⑤.]
4．若f(x)是幂函数，且满足＝2，则f ＝( )
A．16 B．4
C． D．
D [因为函数f(x)是幂函数，设f(x)＝xα，由题设＝2⇒3α＝2，
所以f ＝＝＝.]
5．不论α取何值，函数y＝(x－1)α＋2的图象恒过点A，则点A的坐标为( )
A．(1,3) B．(2,3)
C．(2,1) D．(0,3)
B [∵幂函数y＝xα的图象恒过点(1,1)，
∴y＝(x－1)α的图象恒过点(2,1)，
∴y＝(x－1)α＋2的图象恒过点(2,3)．]
二、填空题
6．设函数f(x)＝则使f(x)>1成立的取值范围是________．
(－∞，－1)∪(1，＋∞) [由f(x)>1，可得或解得x<－1或x>1.]
7．已知幂函数f(x)＝(n2＋2n－2)x (n∈Z)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，则n的值为________．
1 [由于f(x)为幂函数，所以n2＋2n－2＝1，
解得n＝1或n＝－3，经检验只有n＝1适合题意．]
8．如图中曲线是幂函数y＝xn在第一象限的图象，已知n取±2，±四个值，则相应于曲线C1，C2，C3，C4的n值依次为________．
2，，－，－2 [函数y＝x－2，y＝x2，y＝x，y＝x中令x＝4得到的函数值依次为，16，，2，函数值由大到小对应的解析式为y＝x2，y＝x，y＝x，y＝x－2，因此相应于曲线C1，C2，C3，C4的n值依次为2，，－，－2.]
三、解答题
9．比较下列各组数的大小：
(1)3和3.1；
(2)－8－1和－9－1；
(3)，和.
[解] (1)构造函数f(x)＝x，此函数在[0，＋∞)上是增函数．∵3<3.1，
∴3<3.1.
(2)构造f(x)＝x－1，此函数在(0，＋∞)上是减函数，
∵8<9，∴8－1>9－1，
∴－8－1<－9－1.
(3)构造函数y＝x，此函数在[0，＋∞)上是增函数，则>.
构造函数y＝，此函数在R上是减函数，
则<，
故<<.
10．已知幂函数y＝xm－2(m∈N)的图象与x，y轴都无交点，且关于y轴对称．求m的值，并画出它的图象．
[解] ∵图象与x，y轴都无交点，
∴m－2≤0，即m≤2.
又m∈N，∴m＝0,1,2.
∵幂函数图象关于y轴对称，∴m＝0，或m＝2.
当m＝0时，函数为y＝x－2，图象如图(1)；
当m＝2时，函数为y＝x0＝1(x≠0)，图象如图(2)．
[等级过关练]
1．函数f(x)＝的图象大致为( )
A [x<0时，f(x)＝x3＋1单调递增，且过(0,1)点，x≥0时，f(x)＝是减函数，过(0,1)点，故A是f(x)的图象．]
2．函数y＝x在[－1,1]上是( )
A．增函数且是奇函数 B．增函数且是偶函数
C．减函数且是奇函数 D．减函数且是偶函数
A [由幂函数的性质可知，当α>0时，y＝xα在第一象限内是增函数，所以y＝x在(0,1]上是增函数．令y＝f(x)＝x，x∈[－1,1]，则f(－x)＝(－x)＝－x＝－f(x)，所以f(x)＝x是奇函数．因为奇函数的图象关于原点对称，所以当x∈[－1,0)时，y＝x也是增函数．当x＝0时，y＝0，又当x<0时，y＝x<0，当x>0时，y＝x>0，所以y＝x在[－1,1]上是增函数．故y＝x在[－1,1]上是增函数且是奇函数．]
3．若(a＋1) <(3－2a)，则a的取值范围是________．
[(a＋1) <(3－2a) ⇔<，函数y＝x在[0，＋∞)上是增函数，
所以解得<a<.]
4．已知幂函数y＝f(x)经过点，
(1)试求函数解析式；
(2)判断函数的奇偶性并写出函数的单调区间；
(3)试解关于x的不等式f(3x＋2)＋f(2x－4)>0.
[解] (1)设f(x)＝xα，由题意，
得f(2)＝2α＝⇒α＝－3，
故函数解析式为f(x)＝x－3.
(2)定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．
f(－x)＝(－x)－3＝－x－3＝－f(x)，故该幂函数为奇函数．
其单调减区间为(－∞，0)和(0，＋∞)．
(3)由(2)得f(3x＋2)>－f(2x－4)＝f(4－2x)．
即
或
或
解得－<x<或x>2，
故原不等式的解集为.
展开阅读全文
浙ICP备2021020529号-1 | 浙B2-20240490 
