2022-2022学年高中数学第二章平面向量6平面向量数量积的坐标表示练习含解析北师大版必修4.doc

§6　平面向量数量积的坐标表示

填一填
1.平面向量的数量积、模、夹角、垂直的坐标表示
(1)数量积的坐标表示：
设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，那么a·b＝________.
(2)模、夹角、垂直的坐标表示：
2．直线的方向向量
(1)定义：与直线l________的非零向量m称为直线l的方向向量．
(2)性质：给定斜率为k的直线l的一个方向向量为m＝________.

判一判
1.直线x＋2y－1＝0的方向向量为(1,2)．(　　)
2．两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和．(　　)
3．向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)的数量积仍是向量，其坐标为(x1x2，y1y2)．(　　)
4．||的计算公式与A，B两点间的距离公式是一致的．(　　)
5．假设非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)的夹角为锐角，那么x1x2＋y1y2>0，反之，假设非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)满足x1x2＋y1y2>0，那么它们的夹角为锐角．(　　)
6．在△ABC中，＝(1,1)，＝(－4,3)，·＝－1<0，那么△ABC为钝角三角形．(　　)
7．在直角△ABC中，＝(1,1)，＝(－4，m)，那么m＝4.(　　)
8．向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，那么a·b＝x1x2－y1y2.(　　)

想一想
1.对数量积的坐标表示的理解？
提示：(1)两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和．
(2)引入坐标运算后，使得平面向量数量积的运算和两个向量的坐标运算联系起来，从而使得向量的工具性作用更强．
(3)平面向量的坐标可以把几何问题转化为代数问题，用向量的坐标运算来实现几何问题的求解，数形结合的思想在数量积的应用中将表达更多．
2．对向量模长公式的理解？
提示：(1)模长公式是数量积的坐标表示a·b＝x1x2＋y1y2的一种特例，当a＝b时，那么可得|a|2＝x2＋y2.
(2)假设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，那么＝(x2－x1，y2－y1)，所以||＝，即||的实质是A，B两点间的距离或线段AB的长度，这也是模的几何意义．
思考感悟：　

练一练
1.a＝(－3,4)，b＝(5,2)，那么a·b的值是(　　)
A．23 B．7
C．－23 D．－7
2．a＝(－2,1)，b＝(x，－2)，且a⊥b，那么x的值为(　　)
A．－1 B．0
C．1 D．2
3．a＝(1，)，b＝(－2,0)，那么|a＋b|＝________.
4．a＝(－4,3)，b＝(1,2)，那么2|a|2－3a·b＝________.
知识点一
数量积的坐标运算
1.设向量a＝(1，－2)，向量b＝(－3,4)，向量c＝(3,2)，那么向量(a＋2b)·c＝(　　)
A．(－15,12) B．0
C．－3 D．－11
2．向量b与向量a＝(1，－2)的方向相反，且|b|＝3.
(1)求向量b的坐标；
(2)假设c＝(2,3)，求(c－a)·(c－b)的值．
知识点二
向量的模
3.设x∈R，向量a＝(x,1)，b＝(1，－2)，且a∥b，那么|a＋b|＝(　　)
A. B.
C．2 D．5
4．点A(0,1)，B(1，－2)，向量＝(4，－1)，那么||＝________.
知识点三
向量的夹角、垂直问题
5.设向量a＝(x,1)，b＝(1，－)，且a⊥b，那么向量a－b与b的夹角为(　　)
A. B.
C. D.
6．点A(2,1)，B(3,2)，D(－1,4)．
(1) 求证：AB⊥AD.
(2)要使四边形ABCD为矩形，求点C的坐标以及矩形ABCD两对角线所夹锐角的余弦值．
综合知识
数量积的综合应用
7.设向量a＝(1，)，b＝(m，)，且a，b的夹角为锐角，那么实数m的取值范围是________．
8．向量a＝，|b|＝，a与b的夹角为.
(1)求向量a在b方向上的投影；
(2)求a－b与a＋b的夹角的余弦值．

根底达标
一、选择题
1．向量a＝(1,2)，b＝(2，x)，且a·b＝－1，那么x的值等于(　　)
A. B．－
C. D．－
2．向量a＝(4,3)，2a＋b＝(3,18)，那么a，b夹角的余弦值等于(　　)
A. B．－
C. D．－
3．假设a＝(2,3)，b＝(－4,7)，那么a在b方向上的投影为(　　)
A. B.
C. D.
4．向量a＝(－1,2)，b＝(3,1)，c＝(k,4)，且(a－b)⊥c，那么k＝(　　)
A．－6 B．－1
C．1 D．6
5．向量a＝(2，－2)，那么向量a的单位向量是(　　)
A．(1，－1) B．(－1,1)
C. D.
6．平面向量a＝(2,4)，b＝(－1,2). 假设c＝a－(a·b)b，那么|c|＝(　　)
A．4 B．2
C．8 D．8
7．向量m＝(1,1)，向量n与向量m的夹角为，且m·n＝－1，那么|n|＝(　　)
A．－1 B．1
C．2 D．－2
8．在四边形ABCD中，＝(1,2)，＝(－4,2)，那么该四边形的面积为(　　)
A. B．2
C．5 D．10
二、填空题
9．向量a＝(1,2)，b＝(3,4)，那么(a－b)·(2a＋3b)＝________.
10．向量a＝(x,1)，b＝(1,2)，c＝(－1,5)，假设(a＋2b)∥c，那么|a|＝________.
11．点A(－1,1)，B(1,2)，C(－2，－1)，D(3,4)，那么向量在方向上的投影为________．
12．平面向量a＝(3,4)，b＝(9，x)，c＝(4，y)，且a∥b，a⊥c，假设m＝2a－b，n＝a＋c，那么向量m，n的夹角的大小为________．
三、解答题
13．a与b同向，b＝(1,2)，a·b＝10.
(1)求a的坐标；
(2)假设c＝(2，－1)，求a(b·c)及(a·b)c.
14．向量a，b，c是同一平面内的三个向量，其中a＝(1，－1)．
(1)假设|c|＝3，且c∥a，求向量c的坐标；
(2)假设b是单位向量，且a⊥(a－2b)，求a与b的夹角θ.

能力提升
15.点O是锐角三角形ABC的外心，AB＝8，AC＝12，A＝. 假设＝x＋y，求6x＋9y的值．
16．在平面直角坐标系xOy中，A，B，C三点的坐标分别为A(2，－1)，B(3,5)，C(m,3)．
(1)假设⊥，求实数m的值；
(2)假设A，B，C三点能构成三角形，求实数m的取值范围．
§6　平面向量数量积的坐标表示
一测　根底过关
填一填
1．(1)x1x2＋y1y2　(2)
＝
x1x2＋y1y2＝0
2．(1)共线　(2)(1，k)
判一判
1．×　2.√　3.×　4.√　5.×　6.×　7.×　8.×
练一练
1．D　2.A　3.2　4.44
二测　考点落实
1．解析：依题意可知，
a＋2b＝(1，－2)＋2(－3,4)＝(－5,6)，
所以(a＋2b)·c＝(－5,6)·(3,2)
＝－5×3＋6×2＝－3.
答案：C
2．解析：(1)设b＝－λa，λ>0，
那么b＝(－λ，2λ)．
那么|b|＝＝3，
平方得λ2＋4λ2＝45，
解得λ＝3或λ＝－3(舍去)．
∴b＝(－3,6)．
(2)∵c－a＝(2,3)－(1，－2)＝(1,5)，
c－b＝(2,3)－(－3,6)＝(5，－3)，
∴(c－a)·(c－b)＝5＋(－15)＝－10.
3．解析：因为a＝(x,1)，b＝(1，－2)，且a∥b，
所以－2x－1×1＝0，解得x＝－.
所以a＋b＝＋(1，－2)
＝，
|a＋b|＝＝.
答案：B
4．解析：设C(x，y)，
∵点A(0,1)，向量＝(4，－1)，
∴＝(x，y－1)＝(4，－1)，
∴解得x＝4，y＝0，
∴C(4,0)，
∴＝(3,2)，||＝＝.
答案：
5．解析：向量a＝(x,1)，b＝(1，－)，
且a⊥b，那么a·b＝x－＝0，得x＝，
∴a－b＝(，1)－(1，－)＝(0,4)，(a－b)·b＝0×1＋4×(－)＝－4，|a－b|＝4，|b|＝2，
设向量a－b与b的夹角为θ，
那么cos θ＝＝＝－，
∵0≤θ≤π，∴θ＝.
答案：D
6．解析：(1)因为A(2,1)，B(3,2)，D(－1,4)，＝(1,1)，＝(－3,3)，
所以·＝1×(－3)＋1×3＝0，
所以⊥，即AB⊥AD.
(2)因为⊥，四边形ABCD为矩形，
所以＝，设C点的坐标为(x，y)，
那么由＝(1,1)，＝(x＋1，y－4)，
得解得
所以C点的坐标为(0,5)，
从而＝(－2,4)，＝(－4,2)，
且||＝2，||＝2.
·＝8＋8＝16，
设与的夹角为θ，
那么cos θ＝＝＝，
所以矩形的两条对角线的夹角的余弦值为.
7．解析：因为a，b的夹角为锐角，
所以a·b＝m＋3>0，解得m>－3，
又当m＝1时，〈a，b〉＝0，不符合题意，
所以m>－3且m≠1.
答案：m>－3且m≠1
8．解析：(1)|a|＝＝1，
∴向量a在b方向上的投影为|a|cos＝.
(2)由(1)知，a·b＝，
设a－b与a＋b的夹角为θ，
那么cos θ＝，
|a－b|2＝|a|2＋|b|2－2a·b＝，
那么|a－b|＝，
|a＋b|2＝|a|2＋|b|2＋2a·b＝，
那么|a＋b|＝，
(a－b)·(a＋b)＝a2－b2＝，
cos θ＝＝.
三测　学业达标
1．解析：因为a＝(1,2)，b＝(2，x)，所以a·b＝(1,2)·(2，x)＝1×2＋2x＝－1，解得x＝－.
答案：D
2．解析：∵a＝(4,3)，∴2a＝(8,6)．
又∵2a＋b＝(3,18)，
∴b＝(－5,12)，
∴a·b＝－20＋36＝16.
又∵|a|＝5，|b|＝13，
∴cos〈a，b〉＝＝，应选C.
答案：C
3．解析：设a与b的夹角为θ，那么cos θ＝＝＝，∴a在b方向上的投影为|a|cos θ＝×＝.
答案：A
4．解析：∵a＝(－1,2)，b＝(3,1)，∴a－b＝(－4,1)，∵(a－b)⊥c，∴－4k＋4＝0，解得k＝1.
答案：C
5．解析：向量a的单位向量是＝＝.
答案：C
6．解析：因为a·b＝2×(－1)＋4×2＝6，
所以c＝(2,4)－6(－1,2)＝(8，－8)，
所以|c|＝＝8.
答案：D
7．解析：cos＝＝＝－，|n|＝1.应选B.
答案：B
8．解析：·＝(1,2)·(－4,2)＝0，故⊥.故四边形ABCD的对角线互相垂直，面积S＝||·||＝××2＝5.
答案：C
9．解析：方法一：因为a＝(1,2)，b＝(3,4)，
所以a·b＝(1,2)·(3,4)＝1×3＋2×4＝11，
(a－b)·(2a＋3b)
＝2a2＋a·b－3b2
＝2|a|2＋a·b－3|b|2
＝2(12＋22)＋11－3(32＋42)＝－54.
方法二：因为a－b＝(1,2)－(3,4)＝(－2，－2)，
2a＋3b＝2(1,2)＋3(3,4)
＝(2×1＋3×3,2×2＋3×4)
＝(11,16)，
所以(a－b)·(2a＋3b)＝(－2，－2)·(11,16)＝－2×11＋(－2)×16＝－54.
答案：－54
10．解析：∵a＝(x,1)，b＝(1,2)，∴a＋2b＝(x＋2,5)，又(a＋2b)∥c，∴5(x＋2)＝－5，解得x＝－3，∴a＝(－3,1)，∴|a|＝.
答案：
11．解析：由题意得＝(2,1)，＝(5,5)，所以·＝15，所以向量在方向上的投影为||cos〈，〉＝＝＝.
答案：
12．解析：因为a∥b，
所以3x＝4×9，所以x＝12.
因为a⊥c，所以3×4＋4y＝0，
所以y＝－3，
所以b＝(9,12)，c＝(4，－3)．
m＝2a－b＝(6,8)－(9,12)＝(－3，－4)，
n＝a＋c＝(3,4)＋(4，－3)＝(7,1)．
设m，n的夹角为θ，
那么cos θ＝
＝
＝＝－，
因为θ∈[0，π]，所以θ＝，
即m，n的夹角为.
答案：
13．解析：(1)设a＝λb＝(λ，2λ)(λ>0)，
那么a·b＝λ＋4λ＝10，∴λ＝2，∴a＝(2,4)．
(2)∵b·c＝1×2－2×1＝0，a·b＝10，
∴a(b·c)＝0a＝0，(a·b)c＝10(2，－1)＝(20，－10)．
14．解析：(1)设c＝(x，y)，
由|c|＝3，c∥a可得
所以或
故c＝(－3,3)或c＝(3，－3)．
(2)因为|a|＝，且a⊥(a－2b)，
所以a·(a－2b)＝0，即a2－2a·b＝0，
∴a·b＝1，故cos θ＝＝，
∴θ＝.
15．解析：
如下图，连接OA，过点O分别作OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分别为D，E，那么D，E分别为AB，AC的中点．
∴·＝(＋)·＝2＝×82＝32，
·＝(＋)·＝2＝×122＝72.
∵A＝，
∴·＝8×12×cos＝48.
∵＝x＋y，
∴·＝x＋y·，
·＝x·＋y，
即32＝64x＋48y,72＝48x＋144y，
联立解得x＝，y＝.
∴6x＋9y＝5.
16．解析：(1)由题意，有＝(1,6)，＝(m－2，4)，由⊥，得·＝0，即(m－2)×1＋4×6＝0，解得m＝－22.
(2) 假设A，B，C三点能构成三角形，那么A，B，C三点不共线，即与不平行，
故1×4－6(m－2)≠0，
解得m≠，即实数m的取值范围是∪.