2022年高二数学下学期期末考试模拟卷四.doc

2021年高二数学下学期期末考试模拟卷〔四〕
一、选择题：此题共8小题，每题5分，共40分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的．
1.复数z满足，那么〔 〕
A. 1 B. C. 2 D. 4
【答案】B
【解析】，那么. 应选：B
2.的展开式的常数项为〔 〕
A. 615 B. ﹣615 C. 715 D. ﹣715
【答案】D
【解析】的展开式的通项为：
，
令，得常数项为． 应选：．
3.设这两个正态分布密度曲线如下图，那么以下结论中正确是( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】由图可得：X的正态分布密度曲线更“瘦高〞，且对称轴偏左，
结合正态分布密度曲线性质可得：. 应选：B
4.函数的导函数的图象如下图，那么关于函数的以下说法正确的选项是〔 〕
A. 在上为增函数 B. 在处取得极大值
C. 在上为增函数 D. 在处取得极小值
【答案】C
【解析】由图可得随的变化规律，如下表

那么函数在上为减函数，A不正确；在处取得极小值，B不正确；
在上为增函数，C正确；在处取得极大值，D不正确；应选:C.
5.设随机变量，，假设，那么〔 〕
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】因为随机变量，，
所以，那么，
因为，即，解得
随机变量中，
，应选：A
6.数学对于一个国家的开展至关重要，兴旺国家常常把保持数学领先地位作为他们的战略需求.现某大学为提高数学系学生的数学素养，特开设了“古今数学思想〞，“世界数学通史〞，“几何原本〞，“什么是数学〞四门选修课程，要求数学系每位同学每学年至多项选择3门，大一到大三三学年必须将四门选修课程选完，那么每位同学的不同选修方式有〔 〕
A．60种 B．78种 C．84种 D．144种
【答案】B
【解析】由题意可知，三年修完四门]课程，那么每位同学每年所修课程数为1，1，2或0，1，3或0，2，2．
①假设是1，1，2，那么先将4门学科分成三组共种不同方式，再分配到三个学年共有种不同分配方式，由乘法原理可得共有＝36种；
②假设是0，1，3，那么先将4门学科分成三组共种不同方式，再分配到三个学年共有种不同分配方式，由乘法原理可得共种＝24种；
③假设是0，2，2，那么先将4门学科分成三组种不同方式，再分配到三个学年共有种不同分配方式，由乘法原理可得共有×＝18种．所以每位同学的不同选修方式有36＋24＋18＝78种；应选：B．
7.集合，，从集合中任取3个不同的元素，其中最小的元素用表示，从集合中任取3个不同的元素，其中最大的元素用表示，记，那么随机变量的期望为〔 〕
A. B. C. 3 D. 4
【答案】A
【解析】根据题意，从集合中任取3个不同的元素，那么有，其中最小的元素取值分别为，
从集合中任取3个不同的元素，其中最大的元素的取值分别为，
因为，可得随机变量的取值为，
那么，
，
所以随机变量的期望为：,应选：A.
8.函数在上有两个零点，，且，那么实数a的最小值为〔 〕
A B. C. D.
【答案】B
【解析】函数，变形为，令，得，
当时，，当时，，可得时，函数取得最小值.
又当时，，当时，，
且函数在上有两个零点，，得.
由，可得时，a取得最小值.
由，，得，∴，解得.
代入，解得.∴a的最小值为. 应选：B.
二、选择题：此题共4小题，每题5分，共20分．在每题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，局部选对的得2分，有选错的得0分．
9.以下选项中正确的有〔 〕
A.
B.
C.
D. ，那么的值为 8或12
【答案】ABD
【解析】对于选项，因为，，所以，故正确；
对于选项，，故正确；
对于选项，当时，左边，右边，等式不成立，故错误；
对于选项，由，可得或，解得：或
故正确. 应选：ABD
10.针对时下的“抖音热〞，某校团委对“学生性别和喜欢抖音是否有关〞作了一次调查，其中被调查的男女生人数相同，男生喜欢抖音的人数占男生人数的，女生喜欢抖音的人数占女生人数，假设有的把握认为是否喜欢抖音和性别有关那么调查人数中男生可能有〔 〕人
附表：

附：
A. B. C. D.
【答案】BC
【解析】设男生的人数为，根据题意列出列联表如下表所示：

男生
女生
合计
喜欢抖音

不喜欢抖音

合计

那么，
由于有的把握认为是否喜欢抖音和性别有关，那么，
即，得，
，那么的可能取值有、、、，
因此，调查人数中男生人数的可能值为或. 应选：BC.
11.函数，那么以下结论正确的选项是〔 〕
A. 当时，函数为奇函数 B. 当时，函数在上单调递增
C. 当时，函数有2个不同的零点 D. 假设函数在(0，2)上单调递减，那么
【答案】BC
【解析】，
对于时，，显然不是奇函数，故错误，
对于时，令，解得：或，
故时，函数在上单调递增，正确，
对于时，，，
令，解得：或，令，解得：，
故在递增，在递减，在递增，
，，
时，，
故时有1个零点，是1个零点，那么有2个不同的零点，正确；
对于，
结合题意，，，那么，解得：，故错误； 应选：BC．
12.随机变量的分布列是

－1
0
1

随机变量的分布列是

1
2
3

那么当在内增大时，以下选项中正确的选项是〔 〕
A. B.
C. 增大 D. 先增大后减小
【答案】BC
【解析】对于，，，故错误；
对于，，，故正确；
对于，，
当在内增大时，增大，故正确；
对于，，
，
当在内增大时，单调递增，故错误． 应选：BC．
三、填空题：此题共4小题，每题5分，共20分．
13.是一个复数，满足〔i为虚数单位〕,那么=___________.
【答案】或
【解析】设，，即，
，所以，解得或，
所以或. 故答案为：或
14.随机变量，，那么的值为______.
【答案】0.1
【解析】随机变量，故.
故答案为：.
15.定义：在中，把，，，…，叫做三项式的次系数列〔例如三项式的1次系数列是1，-1，-1〕．按照上面的定义，三项式的5次系数列各项之和为______，______．
【答案】 (1). (2).
【解析】令，可得的5次系数数列的各项之和为，
又由的通项公式为，
且的通项公式为，
令，可得，
所以. 故答案为：，.
16.函数定义在上的函数，假设，当时，，那么不等式的解集为__________
【答案】
【解析】令，那么，
因为，所以，即，
所以函数为偶函数；
又，
当时，，
所以，即函数在上单调递减；
那么上单调递增；
又不等式可化为，即，
所以只需，那么，解得.
故答案为：.
四、解答题：此题共6小题，共70分．解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17.毕业季有位好友欲合影留念，现排成一排，如果：
〔1〕、两人不排在一起，有几种排法？
〔2〕、两人必须排在一起，有几种排法？
〔3〕不在排头，不在排尾，有几种排法？
【答案】〔1〕；〔2〕；〔3〕
【解析】〔1〕将、插入到其余人所形成的个空中，因此，排法种数为；
〔2〕将、两人捆绑在一起看作一个复合元素和其他人去安排，
因此，排法种数为；
〔3〕分以下两种情况讨论：
①假设在排尾，那么剩下的人全排列，故有种排法；
②假设不在排尾，那么有个位置可选，有个位置可选，将剩下的人全排列，安排在其它个位置即可，此时，共有种排法.
综上所述，共有种不同的排法种数.
18.的展开式中，第5项与第3项的二项式系数之比为14：3.
〔1〕求正整数n；
〔2〕假设，求.
【答案】〔1〕；〔2〕.
【解析】〔1〕由第5项与第3项的二项式系数之比为14∶3得
，
，所以，〔舍〕.
〔2〕由得，，①
当时，代入①式得；
因为，
所以，令得，，，
所以.
19.地区举办知识竞答比赛，比赛共有四道题，规那么如下：答题过程中不管何时，假设选手出现两题答错，那么该选手被淘汰分数记为，其它情况下，选手每答对一题得分，此外假设选手存在恰连续3次答对题目，那么额外加分，假设次全答对，那么额外加分.某选手每次答题的正确率都是，且每次答题结果互不影响.
求该选手恰答对道题的概率；
记为该选手参加比赛的最终得分，求的分布列与数学期望.
【答案】；.
【解析】该选手每次答题的正确率都是，四道题答对的情况有种
恰答对道题的概率
由题可能的取值为
，，
的分布列如下
20.在微博知名美食视频博主李子柒的引领下，大家越来越向往田园生活，一大型餐饮企业拟对一个生态农家乐进行升级改造，参加量的农耕活动以及自己制作农产品活动，根据市场调研与模拟，得到升级改造投入〔万元〕与升级改造直接收益〔万元〕的数据统计如下：

2
3
4
6
8
10
13
21
22
23
24
25

13
22
31
42
50
56
58
68.5
68
67.5
66
66
当时，建立了与的两个回归模型：模型①：；模型②：；当时，确定与满足的线性回归方程为：．
〔Ⅰ〕根据以下表格中的数据，比拟当时模型①、②的相关指数，并选择拟合精度更高、更可靠的模型，预测对生态园升级改造的投入为17万元时的直接收益．
回归模型
模型①
模型②
回归方程

182.4
79.2
〔附：刻画回归效果的相关指数，．〕
〔Ⅱ〕为鼓励生态创新，当升级改造的投入不少于20万元时，国家给予公司补贴收益10万元，以回归方程为预测依据，比拟升级改造投17万元与20万元时公司实际收益的大小；
〔附：用最小二乘法求线性回归方程的系数公式，〕
【答案】〔Ⅰ〕模型①的小于模型②，回归模型②刻画的拟合效果更好；预测值为72.93亿元；〔Ⅱ〕技改造投入20亿元时，公司的实际收益的更大．
【解析】〔1〕由表格中的数据，有，即
所以模型①的小于模型②，说明回归模型②刻画的拟合效果更好．
所以当亿元时，科技改造直接收益的预测值为．
∴〔亿元〕
〔2〕由可得：，所以．
，所以．
∴
所以当亿元时，与满足的线性回归方程为：．
所以当亿元时，科技改造直接收益的预测值．
所以当亿元时，实际收益的预测值为亿元
即79.3亿元亿元
所以技改造投入20亿元时，公司的实际收益的更大．
21.为了研究家用轿车在高速公路上的车速情况，交通部门对100名家用轿车驾驶员进行调查，得到其在高速公路上行驶时的平均车速情况为：在55名男性驾驶员中，平均车速超过100的有40人；在45名女性驾驶员中，平均车速不超过100的有25人.
〔1〕完成下面的列联表，并判断是否有99.5%的把握认为平均车速超过100的人与性别有关.

平均车速超过100人数
平均车速不超过100人数
合计
男性驾驶员人数

女性驾驶员人数

合计

〔2〕以上述数据样本来估计总体，现从高速公路上行驶的大量家用轿车中随机抽取3辆，记这3辆车中驾驶员为男性且车速超过100的车辆数为，假设每次抽取的结果是相互独立的，求的分布列和数学期望.
参考公式与数据：，其中

0.150
0.100
0.050
0025
0.010
0.005
0.001

2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
【答案】〔1〕填表见解析；有；〔2〕分布列见解析；期望为.
【解析】〔1〕

平均车速超过100km/h人数
平均车速不超过100km/h人数
合计
男性驾驶员人数
40
15
55
女性驾驶员人数
20
25
45
合计
60
40
100
因为，所以有99.5%的把握认为平均车速超过100km/h与性别有关；
〔2〕根据样本估计总体的思想，从高速公路上行驶的大量家用轿车中随机抽取1辆，驾驶员为男性且车速超过100km/h的车辆的概率为，
可取值是0，1，2，3，由题知，
有：，，，，
分布列为

0
1
2
3

.
22.函数，，其中是自然对数的底数.
〔1〕求曲线在处的切线方程；
〔2〕当时，关于不等式恒成立，求整数的最大值；
〔3〕设函数，假设函数恰好有2个零点，求实数的取值范围.(取，)
【答案】〔1〕；〔2〕；〔3〕.
【解析】〔1〕因为，所以切线的斜率，
又因为切点为，所以所求切线方程为.
〔2〕设，那么对恒成立，
，
当时，，函数递增，那么，符合题意；
当时，由得，
那么函数在区间上递减，在区间上递增，
那么，
设，那么，其中，
所以，
所以当时递减，
因为，，
所以满足条件的的最大整数是7.
〔3〕，
那么，设，
当时，，函数递减，不合题意；
当时，因为恒成立，所以在上递增，
因为，，那么使得，
当，，递减，当，，递增；
所以，
那么当时，，可得，此时只有唯一零点1；
当时，因为，，
那么，因为，
所以，，
所以在有唯一零点，
故当时，有两个零点；
当时，同理可得有两个零点；
所以的取值范围是.