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第十一章 三角形
第三节 多边形及其内角和
一、单选题（共10小题）
1．（2016·湖北初三中考真题） 设四边形的内角和等于a，五边形的外角和等于b，则a与b的关系是（ ）
A．a>b B．a=b C．a<b D．b=a+180°
【答案】B
【解析】根据多边形的内角和定理与多边形外角的关系即可得出结论．
【详解】解：∵四边形的内角和等于a，
∴a=（4﹣2）•180°=360°．
∵五边形的外角和等于b，
∴b=360°，
∴a=b．
故选B．
2．（2018·江苏省泰兴市黄桥初级中学初一期中）一个六边形的内角和等于( )
A．180° B．360° C．540° D．720°
【答案】D
【解析】试题分析：根据内角和公式可得：（6－2）×180°＝720°，
故选D．
点睛：此题主要考查了多边形内角和公式，关键是熟练掌握n边形的内角和为（n－2）•180°（n≥3，且n为整数）．
3．（2019·贵州初三中考真题）如图为矩形ABCD，一条直线将该矩形分割成两个多边形，若这两个多边形的内角和分别为a和b，则a+b不可能是( )
A．360° B．540° C．630° D．720°
【答案】C
【解析】根据多边形的内角和都是180°的倍数即可作出判断．
【详解】一条直线将该矩形ABCD分割成两个多边形，每一个多边形的内角和都是180°的倍数，都能被180整除，分析四个答案，只有630不能被180整除，所以a+b不可能是630°.故选：C.
【点睛】此题考查多边形内角（和）与外角（和），解题关键在于利用三角形内角和定理进行判断
4．（2019·单县启智学校初一期末）下列说法正确的是（ ）
A．三角形可以分为等边三角形、直角三角形、钝角三角形
B．如果一个三角形的一个外角大于与它相邻的内角，则这个三角形为锐角三角形
C．各边都相等的多边形是正多边形
D．五边形有五条对角线
【答案】D
【解析】根据三角形的分类、三角形内外角的关系以及正多边形的定义即可作出判断．
【详解】A、三角形可以分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形，故选项错误；
B、任何一个三角形的一定至少有两个外角大于与它相邻的内角，故选项错误；
C、各边都相等、各角相等的多边形是正多边形，故选项错误；
D、五边形有五条对角线，正确．
故选D．
【点睛】本题考查了正多边形的定义，三角形的性质以及分类，理解三角形的内角和外角的关系是关键．
5．（2018·长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校初一期末）下列说法中错误的是（ ）
A．三角形的中线、角平分线、高都是线段
B．任意三角形的内角和都是 180°
C．多边形的外角和等于 360°
D．三角形的一个外角大于任何一个内角
【答案】D
【解析】根据三角形的角平分线、中线和高的定义可对A进行判断；根据三角形内角和定理可对B进行判断；根据多边形和三角形外角的性质可对C、D进行判断．
【详解】解：A、三角形的中线、角平分线、高线都是线段，所以A选项的说法正确；
B、三角形的内角和为180°，所以B选项的说法正确；
C、多边形的外角和等于 360°，所以D选项的说法正确；
D、三角形的一个外角大于任何一个不相邻的内角，所以C选项的说法错误．
故选：D．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理：三角形的内角和为180°．也考查了三角形的角平分线、中线和高以及三角形外角的性质．
6．（2019·上海市闵行区七宝第二中学初二期中）下列结论中，错误的是 ( )
A．五边形的内角和为540° B．五边形的每一个内角为108°
C．多边形的外角和为360° D．六边形的内角和等于外角和的2倍
【答案】B
【解析】利用多边形的内角和与外角和对四个选项逐项判断后即可得到答案．
【详解】解：A. 五边形的内角和为（5-2）×180°=540°，正确；
B. 正五边形的每一个内角为108°，故错误；
C. 多边形的外角和为360°，正确；
D. 六边形的内角和为（6-2）×180°=720°，外角和为360°，故正确，
故选B.
【点睛】本题考查多边形的内角和与外角和，任意凸多边形的内角之和等于，任意凸多边形的外角之和等于.
7．（2019·吉林长春外国语学校初一期中）在现实生活中，铺地最常见的是用正方形地板砖，某小区广场准备用多种地板砖组合铺设，则能够选择的组合是
A．正三角形，正方形 B．正方形，正六边形
C．正五边形，正六边形 D．正六边形，正八边形
【答案】A
【解析】分别求出各个正多边形的每个内角的度数，结合镶嵌的条件即可求出答案.
【详解】∵正三角形的每个内角60°，正方形的每个内角是90°，正五边形的每个内角是108°，正六边形的每个内角是120°，正八边形每个内角是180°-360°÷8=135°
又∵60°×3+90°×2=360°
∴能够组合是正三角形，正方形
【点睛】本题考查平面密铺的知识，注意掌握几何图形镶嵌成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角．
8．（2019·江苏泗阳县实验初级中学初一期中）一个多边形的内角和不可能是( )
A．360° B．900° C．1080° D．1900°
【答案】D
【解析】多边形的内角和可以表示成(n-2)•180°，依此可知多边形的内角和是180°的倍数．
【详解】A、360°÷180°=2，是180°的倍数，故可能是多边形的内角和；
B、900°÷180°=5，是180°的倍数，故可能是多边形的内角和；
C、1080°÷180°=6°，是180°的倍数，故可能是多边形的内角和；
D、1900°÷180°=10…100°，不是180°的倍数，故不可能是多边形的内角和，
故选D．
【点睛】本题考查多边形的内角和公式的特征，还需要懂得挖掘此题隐含着边数为正整数这个条件.
9．（2019·南城县第二中学初三期末）已知一个正多边形的每个外角都等于72°，则这个正多边形是( )
A．正五边形 B．正六边形 C．正七边形 D．正八边形
【答案】A
【解析】正多边形的外角和是360°，这个正多边形的每个外角相等，因而用360°除以外角的度数，就得到外角和中外角的个数，外角的个数就是多边形的边数．
【详解】这个正多边形的边数：360°÷72°＝5．
故选A．
【点睛】本题考查了多边形的内角与外角的关系，熟记正多边形的边数与外角的关系是解题的关键．
10．（2018·富顺县北湖实验学校初二期末）将一个四边形截去一个角后，它不可能是（ ）
A．六边形 B．五边形 C．四边形 D．三角形
【答案】A
【解析】试题解析：当截线为经过四边形对角2个顶点的直线时，剩余图形为三角形；
当截线为经过四边形一组对边的直线时，剩余图形是四边形；
当截线为只经过四边形一组邻边的一条直线时，剩余图形是五边形；
∴剩余图形不可能是六边形，
故选A.
提升篇
二、填空题（共5小题）
11．（2017·富顺县赵化中学校初一期末）如图，将周长为16的三角形沿方向平移3个单位得到三角形DEF，则四边形ABFD的周长等于______.
【答案】22
【解析】解：∵△ABC沿BC方向平移3个单位得△DEF，∴AD=CF=3，AC=DF．
∵△ABC的周长等于16，∴AB+BC+AC=16，∴四边形ABFD的周长=AB+BF+DF+AD
=AB+BC+CF+AC+AD=16+3+3=22．故答案为：22．
点睛：本题考查了平移的性质：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同．新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行且相等．
12．（2019·江西南昌二中初一期末）如图，正方形MNOK和正六边形ABCDEF的边长相等，边OK与边AB重合．将正方形在正六边形内绕点B顺时针旋转，使边KM与边BC重合，则KM旋转的度数是______ °.
【答案】30.
【解析】求出正六边形的内角度数与正方形内角度数的差即为旋转的角度.
【详解】正六边形每个内角度数=
正方形的每个内角的度数=90°，
∴KM旋转的度数是120°-90°=30°.
故答案为：30.
【点睛】此题主要考查了图形的旋转以及正多边形内角的度数求法，掌握用求正多边形内角的度数是解此题的关键.
13．（2019·长春吉大附中实验学校初一期中）一个边形从一个顶点出发引出的对角线可将其分割成5个三角形，则的值为_____.
【答案】7.
【解析】根据多边形对角线的定义即可求解.
【详解】∵一个边形从一个顶点出发引出的对角线可将其分割成5个三角形，
∴n-2=5
得n=7.
【点睛】此题主要考查多边形对角线的定义，解题的关键是熟知对角线的定义.
14．（2019·上海市闵行区七宝第二中学初二期中）已知一个多边形的每个内角都是，则这个多边形的边数是_______.
【答案】18
【解析】首先计算出多边形的外角的度数，再根据外角和÷外角度数＝边数可得答案．
【详解】解：多边形每一个内角都等于
多边形每一个外角都等于
边数
故答案为：
【点睛】此题主要考查了多边形的外角与内角，关键是掌握多边形的外角与它相邻的内角互补，外角和为360°．
15．（2019·连云港市新海实验中学初一期中）若一个多边形的每个外角都为30°，则它的内角和为________.
【答案】
【解析】根据正多边形的性质，边数等于360°除以每一个外角的度数；利用多边形的内角和公式计算即可．
【详解】解：∵一个多边形的每个外角都是，
∴，
∴.
故答案为：.
【点睛】熟练掌握正多边形的外角和等于360°和多边形的内角和公式是本题的关键.
三、解答题（共2小题）
16．（2019·江苏泗阳县实验初级中学初一期末）如果一个多边形的所有内角都相等，我们称这个多边形为“等角多边形”，现有两个等角多边形，它们的边数之比为1：2，且第二个多边形的内角比第一个多边形的内角大15°，求这两个多边形的边数.
【答案】十二边形和二十四边形
【解析】设一个多边形的边数是n，则另一个多边形的边数是2n，因而这两个多边形的外角是和，根据第二个多边形的内角比第一个多边形的内角大15°，得到关于n的方程，解方程即可．
【详解】设一个多边形的边数是n，则另一个多边形的边数是2n，则这两个多边形的外角是和，
∵第二个多边形的内角比第一个多边形的内角大15°,
∴
解得：n=12,
∴这两个多边形的边数分别为12，24．
【点睛】考查了多边形的内角与外角，根据条件可以转化为方程问题．
17．（2019·洛宁县新城实验中学初一期中）在各个内角都相等的多边形中，一个外角等于一个内角的,求这个多边形的每一个内角的度数和它的边数.
【答案】n=8.
【解析】已知关系为：一个外角=一个内角×，隐含关系为：一个外角+一个内角=180°，由此即可解决问题．
【详解】设该多边形为n边形，
∵多边形一个外角等于一个内角的，
∴多边形的一个外角=180°×=45°，一个内角=180°-45°=135°，
∵多边形的内角和为360°，
∴多边形的边数==8，
答：该多边形每一个内角的度数为135°，该多边形为八边形．
【点睛】本题考查了多边形内角与外角的关系，用到的知识点为：各个内角相等的多边形的边数可利用外角来求，边数=360÷一个外角的度数．
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