资源描述
2.2.2 平面与平面平行的判定
选题明细表
知识点、方法
题号
面面平行判定定理的理解
1,2,3,5,7
面面平行的判定
4,6,8,10,11,12
平行关系的综合应用
9,13
基础巩固
1.经过平面α外两点,作与α平行的平面,则这样的平面可以作( B )
(A)1个或2个 (B)0个或1个
(C)1个 (D)0个
解析:若过两点的直线与平面α相交,则经过这两点不能作平面与平面α平行;若过该两点的直线与平面α平行,则有唯一一个过该直线的平面与平面α平行.故选B.
2.已知α,β是两个不重合的平面,下列选项中,一定能得出平面α与平面β平行的是( D )
(A)平面α内有一条直线与平面β平行
(B)平面α内有两条直线与平面β平行
(C)平面α内有一条直线与平面β内的一条直线平行
(D)平面α与平面β不相交
解析:选项A,C不正确,因为两个平面可能相交;选项B不正确,因为平面α内的这两条直线必须相交才能得到平面α与平面β平行;选项D正确,因为两个平面的位置关系只有相交与平行两种.故选D.
3.已知一条直线与两个平行平面中的一个相交,则它必与另一个平面( B )
(A)平行 (B)相交
(C)平行或相交 (D)平行或在平面内
解析:如图所示.
4.(2018·晋中市高二检测)下列四个正方体图形中,A,B,C为正方体所在棱的中点,则能得出平面ABC∥平面DEF的是( B )
解析:在B中,
如图,连接MN,PN,
因为A,B,C为正方体所在棱的中点,
所以AB∥MN,AC∥PN,
因为MN∥DE,PN∥EF,
所以AB∥DE,AC∥EF,
因为AB∩AC=A,DE∩EF=E,
AB,AC⊂平面ABC,DE,EF⊂平面DEF,
所以平面ABC∥平面DEF.故选B.
5.已知α,β是两个不重合的平面,在下列条件中,可确定α∥β的是( D )
(A)α,β都平行于直线l
(B)α内有三个不共线的点到β的距离相等
(C)l,m是α内两条直线,且l∥β,m∥β
(D)l,m是两条异面直线,且l∥β,m∥β,l∥α,m∥α
解析:对选项D:因为l∥β,m∥β,所以在β内有两条直线l′,m′满足l′∥l,m′∥m,又l∥α,m∥α,所以l′∥α,m′∥α,又l与m异面,所以l′与m′相交,所以α∥β.故选D.
6.设直线l,m和平面α,β,下列条件能使α∥β的有( D )
①l⊂α,m⊂α,且l∥β,m∥β;②l⊂α,m⊂β且l∥m;
③l∥α,m∥β且l∥m;
(A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)0个
解析:①②③都不正确.故选D.
7.给出下列结论:①若直线a上有无数个点不在平面α内,则a∥α;②若直线a与平面α内的无数条直线平行,则a∥α;③若平面α,β都与直线a平行,则α∥β;④若平面α内存在无数条直线平行于平面β,则α∥β.其中错误的是 (填序号).
解析:①中直线a与平面α可能相交;②中直线a∥α或a⊂α;③中,α∥β或α与β相交;④中,平面α内无数条直线互相平行时,α∥β或α与β相交.故①②③④均错误.
答案:①②③④
8.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,E,F,N分别是A1B1,B1C1,C1D1,D1A1的中点.
求证:(1)E,F,B,D四点共面;
(2)平面MAN∥平面EFDB.
证明:(1)连接B1D1,
因为E,F分别是边B1C1,C1D1的中点,
所以EF∥B1D1.
而BD∥B1D1,所以BD∥EF.
所以E,F,B,D四点共面.
(2)易知MN∥B1D1,B1D1∥BD,
所以MN∥BD.
又MN⊄平面EFDB,BD⊂平面EFDB.
所以MN∥平面EFDB.
连接MF.因为M,F分别是A1B1,C1D1的中点,
所以MF∥A1D1,MF=A1D1.
所以MF∥AD,MF=AD.
所以四边形ADFM是平行四边形,所以AM∥DF.
又AM⊄平面EFDB,DF⊂平面EFDB,
所以AM∥平面EFDB.
又因为AM∩MN=M,
所以平面MAN∥平面EFDB.
能力提升
9.a,b,c为三条不重合的直线,α,β,γ为三个不重合平面,现给出六个命题.
①a∥c,b∥c⇒a∥b;
②a∥γ,b∥γ⇒a∥b;
③α∥c,β∥c⇒α∥β;
④α∥γ,β∥γ⇒α∥β;
⑤α∥c,a∥c⇒α∥a;
⑥a∥γ,α∥γ⇒α∥a.
其中正确的命题是( C )
(A)①②③ (B)①④⑤ (C)①④ (D)①③④
解析:①平行公理.
②两直线同时平行于一平面,这两条直线可相交、平行或异面.
③两平面同时平行于一直线,这两个平面相交或平行.
④面面平行传递性.
⑤一直线和一平面同时平行于另一直线,这条直线和平面或平行或直线在平面内.
⑥一直线和一平面同时平行于另一平面,这条直线和平面可平行也可能直线在平面内.故①④正确.
10.已知直线l,m,平面α,β,下列命题正确的是( D )
(A)l∥β,l⊂α⇒α∥β
(B)l∥β,m∥β,l⊂α,m⊂α⇒α∥β
(C)l∥m,l⊂α,m⊂β⇒α∥β
(D)l∥β,m∥β,l⊂α,m⊂α,l∩m=M⇒α∥β
解析:如图所示,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB∥CD,
则AB∥平面DC1,AB⊂平面AC,但是平面AC与平面DC1不平行,所以A错误;取BB1的中点E,CC1的中点F,则可证EF∥平面AC,B1C1∥平面AC.EF⊂平面BC1,B1C1⊂平面BC1,但是平面AC与平面BC1不平行,所以B错误;可证AD∥B1C1,AD⊂平面AC,B1C1⊂平面BC1,但平面AC与平面BC1不平行,所以C错误;很明显D是面面平行的判定定理,所以D正确.
11.已知a和b是异面直线,且a⊂平面α,b⊂平面β,a∥β,b∥α,则平面α与β的位置关系是 .
解析:在b上任取一点O,则直线a与点O确定一个平面γ,设γ∩β=l,则l⊂β,
因为a∥β,所以a与l无公共点,
所以a∥l,所以l∥α.
又b∥α,根据面面平行的判定定理可得α∥β.
答案:平行
12.如图所示,三棱柱ABC-A1B1C1,D是BC的中点,D1是B1C1的中点.
求证:
(1)A1B∥平面AC1D;
(2)平面A1BD1∥平面AC1D.
证明:(1)由题意,ABCA1B1C1是三棱柱,连接A1C,与AC1交于O,
连接DO,可得A1B∥DO,
因为DO⊂平面AC1D,A1B⊄平面AC1D,
所以A1B∥平面AC1D.
(2)由(1)可知A1B∥DO,D是BC的中点,D1是B1C1的中点,
所以D1B∥C1D,
因为DO,C1D⊂平面AC1D,DO∩C1D=D,
D1B,A1B⊂平面A1BD1,D1B∩A1B=B,
所以平面A1BD1∥平面AC1D.
探究创新
13.如图,空间图形中,四边形ABCD与ABEF均为正方形,M,N分别是对角线AC,BF上的一点,且AM=FN,请过MN作一平面平行于BCE.
作法:过M作MO∥BC交AB于点O,连接NO,
因为MO∥BC,
所以=.
又知AM=FN,AC=BF,
所以MC=BN.
则=,
所以=,
所以ON∥AF∥BE.
又BE⊂平面BCE,
NO⊄平面BCE.
所以ON∥平面BCE.
同理可证OM∥平面BCE,
又MO∩ON=O,
所以平面MON∥平面BCE,
则平面MON为所求作平面.
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