初中数学学习实用方法介绍.pptx

初中数学学习实用方法介绍梁双凤数学新课程与数学学习方式v学习方式的变革是数学新课改的核心v标准理念下的数学学习与学习方式v转变学生的学习方式v数学学习与学生发展v数学学习的方法论基础 第一章 学习方式的变革是新课改的核心 改变学生的学习方式，是本次课程改革的一大目标和重点。应该说，与每一位一线教师直接相关的是学生学习方式的变革与教师教学行为的重建。学生学习方式的变革，是教师教学行为变革、评价方式变革的出发点与依据。那么，为什么要强调学生学习方式的变革呢？一时代发展的要求 当今时代的工作环境以变化快、技术新、系统由计算机控制、办事采用新方式为特点。而且，随着知识增长与知识更新速度的加快，知识的学习越来越成为一个终身的过程。人们从来没有像在今天这样清晰地感受到科学技术的确在“飞速”地发展。在学校教育阶段获得的知识再多，也无法追赶上知识巨增和知识更新的速度。学会学习，学会思维，善于推理，擅长合作，能谋善断，乐于不断获取新知识和主动探究，善于搜集、辨别和加工各种信息，能根据社会需要和自己的个性设计发展方向和计划等，已成为越来越重要的现代社会的“顶尖级”素质这一点，在中国社会今一二十年尤其是近几年的发展中，已经表现得越来越明显了。了解探究，亲历并体验探究中的种种自主学习与合作的过程，是获得这些“顶尖级”素质的一种基本途径。素质教育在21世纪必须把创新能力的培养凸现出来。基础教育应有助于学生以后创新能力的发展。为了给思维习惯的养成、兴趣和个性的培养多一些空间，宁愿比现在少学一点，但学得更扎实一点，更透彻一点，实践经验更丰富一点，根据各自个性的选择选修机会更多一点。而且，从学生的长远发展来看，如果他在某些具体知识点上有所欠缺，将来是容易通过各自途径得到补偿的。但是，如果学生在学校教育阶段里没有培养起对知识的渴望，激发出不断探索和创新的欲望，形成一种科学思维的习惯和能力；那么，他的这一欠缺在今后的生活和工作中将是难以补偿的。因此，学校教育最重要的任务是：通过知识的学习，使学生形成对学习内容的浓厚兴趣和进一步吸取新知识的持续发展的愿望，并习得一些思维方法，形成一些思维的习惯。学习方式 思维方式 生活方式二世界各国共同的关注 强调自主、合作、探究正日益成为世界范围普遍关注的焦点问题之一。在较早推出的英国国家科学课程标准中，把数学探究列为课程目标的第一项。美国国家数学教育目标中更是强调“以探究作为课程与教学的核心。”从具有国际影响的课程改革实践中可以明显看到的共同焦点之一就是对探究的强调：强调给学生提供感受数学探究过程和方法的机会，强调数学探究能力（包括数学交流能力、自主学习能力与合作能力）的培养。（一）强调学数学是学生主动积极地参与的能动过程 学数学是要学生们自己实践的活动。“动手”是实践活动必不可少的；但光“动手”是不够的，学生们还必须有“动脑”的理性体验。数学并非仅仅是一堆知识，他更是一门活生生的学科。应把学数学作为一种过程，作为培养学生学习诸如观察、推理和实验诸种能力的过程。（二）强调数学探究是数学学习的核心 数学探究，是指学生用以获取知识、领悟数学的思想方法、领悟数学家们研究自然界所用的方法而进行的各种活动。通过数学探究活动，学生们对数学探究的手段、使用证据的规则、形成问题的方式、提出解释的方法等一系列问题有了亲身的体验，而不仅仅是听到或记住有关的知识或结论。通过数学探究活动，学生们对数学与科学的关系、数学与生活的关系、数学的性质、数学与文化等一系列问题有了切身的认识和体验。（三）“学什么”和“怎么学”每一位家长都非常关心自己的孩子在学校里？（？）影响学生学习效果的因素很多，但最终的、核心的因素有两个：一个是“学什么（what to learn)”,另一个是“怎么学(how to learn)”。“学什么”即学生的学习内容，而“怎么学”即学生学习的方式。它们也是整个教育领域中最核心的两个问题。从理论上看，“学习”是由经验或练习（而非生理成熟引起）的个体在能力或倾向方面的能够相对持久地保持（而非短暂保持）的变化。而“学习过程”就是指个体获得这种变化的过程。从学习活动的构成上看，每一个学习活动都包含三个基本要素：一是 学习目标；二是 学习过程；三是 学习结果。学习过程可分为学习内容和学习方式两大要素。学习内容的类型 从学习的内容来看，主要包括认知、情感、技能三大类。义务教育阶段课程中包括的基本学习活动，从内容上看，主要又以下八大类：1。符号或表征；2。信息知识；3。规则；4。问题解决；5。阅读理解与鉴赏；6。创作；7。动作技能；8。态度与价值观。近来又有一类学习内容日益受到研究者和实践者的关注，即认知策略（或称元认知）的学习。认知策略（认知学习策略）是个人调控自己的认知活动以提高认知操作水平的能力；包括对自己的信息表征、组织、贮存、提取的方式的控制，对思维过程本身（如推理方法）的控制，对自己选择和使用某种学习或记忆方法的控制。这类学习其实并不是一种独立的学习活动，而是存在于各类认知活动中。根据认知学习过程的信息加工模型，将认知学习过程中所涉及的学习策略分类如下：（1）促进选择性注意的策略；（2）促进短时记忆的策略；（3）促进新信息内在联系的策略（4）促进新旧知识联系的策略（5）促进新知识长期保存的策略。三.学习方式及其类型 学生方式（Learning style，又译为学习风格），由 美国学者哈伯特塞伦（Herbert Thelen）于1954年首次提出。然而，至今还没有一个广泛认同的定义。不同的定义在本质上有许多共同点：第一，学习方式的实质是学习者喜欢的或经常使用的学习策略，反映了学习者对不同教学方式的偏爱以及学习倾向。第二，稳定而独特是学习方式的本质属性（本质特征）。稳定是指学习方式在长期学习过程中逐步形成，很少因学习内容、学习环境等因素的改变而变化；独特指学习方式在学习者生理结构及其机能基础上，受到特定的家庭、教育和社会文化等因素的影响，通过个体自身长期的学习活动而形成，具有鲜明的个性特征，因人而异。第三，学习方式受到社会、家庭、学校教育方式的影响。1。根据学习过程中信息是否由外部指导者直接提供或呈现，学生的学习方式可以分为授受式和探究式两种。授受式学习，主要表现为教师讲，学生听，因此也可以称为听讲式。探究式学习是学习者围绕一定的问题或材料，自主寻求或自主建构答案、意义、理解或获得信息的一种学习方式。探究式又可以分为接受式探究和发现式探究两种。学习方式是学习者持续一贯表现出来的学习策略和学习倾向的总和。学习策略指学习者完成学习任务或实现学习目标而采用的一系列步骤，其中某一特定步骤称为学习方法。学习倾向包括学习情绪、态度、动机、坚持性以及对学习环境、学习内容等方面的偏爱。简单地说，学习方式就是人们在学习时所具有或偏爱的方式，即学习者在研究解决其学习任务时所表现出来的具有个人特色的方式。典型的学习方式包括整体型与系列型、场 独立型与场依赖型、沉思型与冲动型等不同类型。2。根据学习过程中是否包含尝试错误的环节，可以分为试误式学习和顿捂式学习。3。从学习过程是否包含理解，又可以分为机械学习和有意义学习两种方式。有意义学习根据学习过程中是否包含发现的环节，又可以分为接受式学习和发现式学习两种。在接受式学习中，学习内容以与定论的形式直接呈现出来，学生是知识的接受者。在发现 式学习中，学习的内容不是以现成信息的形式存在，而只存在有关的线索或例证，学习者必须经历一个发现过程，自己得出结论，获得意义和理解，或找到解决问题的答案。接受与发现两种学习方式都有存在的价值，彼此相辅相成。4。根据学习过程中学习者受到外部指导的情况，可以分为自主学习和他主学习两种学习方式。学生方式的分类还可以有其他多种维度。第二章标准理念下的数学学习方式 标准明确提出：“有效的数学学习活动不能单纯地依赖模仿与记忆，动手实践、自主探究与合作交流是学生学习数学的重要方式。”标准理念下的数学学习将大量采用操作实验、自主探索、大胆猜测、合作交流、积极思考等活动方式；因此，学生数学学习的内容应根据学生的数学学习的心理规律，尽可能地选择他们乐于接触的有数学价值的题材，如现实生活中的问题、有趣的数学史、富有挑战性的问题作为学生数学学习的素材。这些素材为学生进行主动观察、实验、猜测、验证、推理、交流与问题解决等活动创设机会与情景。同时，要倡导有意义的数学学习方式，强调学生学习数学是一个现实的体检、理解和反思的过程，着力于学生学习方式的转变，提倡学生数学学习方式的多样化，研究性学习、探究性学习、合作性学习、自主性学习、发现性学习将成为标准理念下学生数学学习的重要形式。针对基础教育过于强调接受学习、死记硬背、机械训练的现状，新课程倡导具有“主动参与、乐于探究、交流与合作”为特征的学习方式。通常，学习方式本身并无优劣之分，任何一种学习方式都有其长处与优势，同时又存在劣势和不足。现状分析1.我们的优势：知识；技能；解题能力；勤奋与刻苦。2.我们的问题：实践能力；创造性；情感体验与自尊自信；人生观与价值观。3.总结：*优势与问题同样突出；*我们的优势正是西方教育力图解决的问题，我们的问题也正是西方教育的优势，它们与文化背景血脉相连。*从发展的角度看，我们面临更严峻的挑战。东方西方听讲与接受记忆与模仿书本知识间接经验自主探究与合作交流理解与创造实践活动直接经验东西方教学与学习方式比较新的学习方式涉及学生学习的三个方面：动机与态度 被动 主动 自主教学方式偏爱 接受 探究社会环境偏爱 个人（独立）同伴（合作）中国美国狭窄的专业广泛兴趣训练面窄、扎实训练面宽、无规则递进式跳跃式沉静、腼腆活跃、大胆缺少自信充分自信恭顺傲慢被动主动中美教育的区别第一节.探究式学习 在汉语中，“探究”就是“探索、研究”，而“探索”的解释是“多方寻求答案，解决疑问”。“研究”的解释是“探求事物的性质、发展规律等；考虑或商讨”。美国国家科学教育标准中的定义：“科学探究指的是科学家们用来研究自然界并根据研究所获事实证据做出解释的各种方式。科学探究也指学生构建知识、形成科学观念、领悟科学研究方法的各种活动。”把“学校课程中的探究式学习”界定为：学生围绕一定的问题、文本或资料，在教师的帮助和支持下，自主寻求或自主建构答案、意义、信息或理解的活动或过程。探究式学习把目标指向学生的创新能力、问题意识、动手能力和做数学的能力，以及关注现实，关注人类发展的意识和责任感的培养，它强调“作中学”，让学生感受数学的魅力。例1.分母有理化*创设问题情景 计算 的近似值。*学生探究*感受到问题 教师要引导学生自我建构，即找规律，找模式，形成表达式，使学生享受成功的喜悦。*进一步探究 化简#交流与总结例2.有一张圆形的纸片，试找出这个圆的圆心，并说明理由。例3 “相交弦定理”和“切割线定理”1）问题是思维的起点：弦AB和CD相交于o内一点P，则PA，PB，PC与PD有何关系？为什么？ABDCPPACDPABPACBDABCDEFPABPCDEF由反映了什么规律呢？割线AB的位置不论如何变化，但PAPB的值不变,即PAPB为定值.A设OP=d半径为RDPBOABCDOCPAPB=PAPB=教师指导下的探究活动应该把重点放在以下四个方面：1）通过探究满足学生的求知欲；2）通过探究获得对身边世界的理解；3）通过探究培养数学思维能力，锻炼问题解决能力、合作与交流能力，培养科学精神与态度，初步习得科学方法；4）逐步获得对数学探究本身及数学本质的理解。在探究学习中，应该注意引导学生主动参与探究过程，并且通过自己的反省与思考，从亲身体验中获得对探究特征的深刻认识。一般的探究过程包括：提出问题，作出预测，观察，实验，猜测或假设，设计研究方案，搜集数据，对获得的数据进行处理，分析与解释（解读数据），验证假设，得出初步结论，考虑可能的其他解释及提出有待进一步探究的问题，将上述探究过程与结果以一定的方式陈述或表达出来。数学探究认识科学探究思考与结论表达与交流提出问题猜想与假设制定计划过程与方法观察、实验搜集整理信息例4.学习圆周角时，教师让学生准备好直尺、量角器等工具，给每个学生发一张印有局部航海图的练习纸。问题：如图A、B是两座灯塔，在弓形AmB内有暗礁，游艇C在附近海面游戈，问游艇上的导航员如何通过观测才能知道游艇有没有触礁的危险？ABOC探究性学习的五个要素：1.提出一个问题，但不是学生一目了然的问题；2.搜集证据，如收集数据、动手实验或进行社会调查；3.处理信息，提出解释；4.交流与求证过程；5.获得认识并发表探究结果。探究学习的特征：*问题性；*实践性；*参与性；*过程性；*开放性；*创造性；*深层次的兴趣；*深层次的思维。研究性学习 指教师不把现成的结论告诉学生，而是学生自己在教师的指导下自主地发现问题、探究问题、获得结论的过程。在研究过程中“获得理智能力发展和深层次的情感体验，建构知识，掌握解决问题的方法”，这是研究性学习要达到的三个目标。关于“研究”和“探究”的关系1）目前在我国，就像一个人的“大名”和“小名”的关系；可以互换；2）然而，在新课改纲要中又有“研究性学习”和“研究性学习”的不同提法。我们可以理解二者的区别，“研究”指“用科学的方法探求事物的本质和规律”，“探究”则指“深入探讨，反复研究”。“研究”比“探究”更严谨些、学术性和理性成分更强些。“探究”则更有生气和动感，感性成分多一些。在强调动作时多用“探究”，当名词讲时，多用“研究”来表述。第二节.合作式学习 合作学习（Cooperative Leaaarning）是20世纪70年代兴起于美国，并于20世纪70年代至80年代中期取得实质性进展的一种教学理论与策略体系。由于合作学习创意独特，理论科学；对于弥补班级教学和个别学习的不足，有效提高学生的学业成绩，促进学生良好非智力品质的发展等方面成果显著，很快引起世界各国的广泛关注，被公认为是一种比较有效的 教学模式，誉为近十几年来最重要和最成功的教学改革，并成为当代主流教学理论与策略之一。一.合作学习的理论基础（一）建构主义学习理论 建构主义是学习理论中行为主义发展到认知主义的产物，代表着当今教育心理学领域发展的主流方向。建构主义学习理论是合作学习的重要理论基础。建构主义学习理论认为：学习过程不是学习者被动地接受知识，而是积极地建构知识的过程；学习不单是知识由外向内的转移和传递，更是学习者主动地建构自己的知识经验的过程，即通过新经验与原有知识经验的相互作用，来充实、丰富和改造自己的知识经验。也就是说，学习的结果不是学生接受了知识，而是学生个体知识经验得到了改组。学生在教学情景中并不是被动地接受或服从，而是在已有经验基础上，对来自外部的教学影响的主动建构。（二）.维果茨基的“最近发展区”理论 维果茨基（18961934）是苏联“文化历史学派”的重要创始人和著名心理学家。他在“文化历史心理理论”的基础上提出了著名的“最近发展区”理论假设。他认为教学应当与儿童发展水平取得某种程度的一致，这是不容置的。但是，儿童的心理发展存在两个水平：第一个水平是实际发展水平，这是儿童在独立解决问题的过程中所表现出来的心理发展水平；第二个水平是潜在发展水平，这是儿童在别人的帮助或同伴合作的情况下解决问题所表现出来的心理发展水平。儿童的实际发展水平与潜在发展水平之间的这个区域被称为最近发展区。“教学不仅应当以儿童的昨天，而应当以儿童发展的明天作为方向”。“只有当教育走在发展前面的时候，这才是好的教育”。儿童通过成人指导或与能力更强的伙伴合作，会表现出潜在的发展水平，能够促使最近发展区更好地转化到现有发展水平的范围之中。不同程度的学生可以在合作种取长补短，加深对问题的理解，促进学习质量的提高。（三）马斯洛的“需要”理论 美国心理学家马斯洛在分析人类的需要时指出，人人都有对生理、安全、归属和爱、尊重以及自我实现的需要，如果这些较底层次的需要不能得到满足，就会影响到较高层次需要的满足。马斯洛认为，人的行为的内驱力来自人自身的需要，他归纳的人的多种需要中，与合作学习有直接关系的至少有四种，即交往的需要、表现的需要、求援的需要、游戏的需要。合作学习的代表人物、美国著名教育家威 廉格拉塞在马斯洛需要理论的基础上，创立了自控论和合作学习理论。他说：“人的一生都在寻找种种方式，去满足自己对爱的需要、归属的需要、与别人分享的需要和合作需要。”合作学习在很大程度上满足了学生的这些需要，能够促进学生情感的发展，使学生产生学习的内驱力，产生学习的积极性，因而保证了学生能够自觉地从事学习活动。（四）“群体动力”理论 格式塔学派的创始人之一考夫卡指出：群体是成员之间的互赖性可以变化的动力整体。我国学者常常将群体动力理论解释为集体动力理论。认为集体动力是指来自集体内部的一种“能源”。在一个合作性的集体中，具有不同智慧水平、不同知识结构、不同思维方式的成员可以互相启发、互相补充，在交流的撞击中，产生新的认识，创造新的方法，用集体的智慧和力量共同完成学习任务。合作学习正是在充分借鉴集体动力理论的前提下，形成和发展自己的理论思想。在合作学习中，学生不必畏惧教师的权威，也不必担心个人学习的失败和紧张，学员之间是互相依赖的，教师又是以总体表现为奖励依据，从而使小组成员形成一个密不可分的整体，这对那些动机、毅力、责任心相对较弱的学生会产生积极的群体压力，从而产生学习的动力，提高学习的效果和发展的重要动力。二.合作学习的内涵和特征合作学习的基本涵义：在教学过程中，以学习小组为教学基本组织形式，教师与学生之间、学生与学习之间，彼此通过协调的活动，共同完成学习任务，并以小组总体表现为主要奖励依据的一种教学策略。合作学习的基本特征：1.组内异质，组间同质；2.目标依赖，利益一致；3.责任明确，义务感强；4.参与度大，沟通面广；5.集体奖励，共享成功；6.公平竞争，合理比较；7.角色轮换，分享领导；8.过程评议，注重实效；9.学生自主，教师促进；10.既有“帮助”，又有“协同”。三.合作学习的主要优势 合作是人类相互作用的基本形式之一，合作与竞争是人类社会不可缺少的重要组成部分，是人类社会赖以存在和发展的重要条件和重要动力。学会合作不仅是学习的需要，更是未来生活和工作的需要。时代的发展特别需要人们具有合作的意识和能力，具有关心公众利益的责任感和解决复杂问题的自信心和能力。现代教学理论研究表明，学生的学习通常有三种模式和情景：1）竞争模式，其核心特征是消极的目标依赖性，即个体对目标的达成在很大程度上依赖于同伴的失败。在这种学习情景中，学生们会意识到个人的目标于同伴的目标是相互排斥的，即别人的成功意味着自己的失败。2）个别化模式，其核心特征是独立的目标依赖性，个体在相互独立甚至相互隔绝的情景中进行学习。学生的成功取决于自身行为表现于预定的目标之间的吻合程度。3）合作模式，其核心特征是积极的目标依赖性，“荣辱与共”。三种学习模式学习目标结构的界定：1.合作的目标结构：个人达成目标的努力可以帮助他人达成目标。2.竞争的目标结构：个人达成目标的努力会妨碍他人达成目标。3.个人的目标结构：个人达成目标的努力与他人达成目标无关。美国学者波塞特（Bossert）认为，合作学习的主要优势表现在以下几点：1）推理策略合作小组能刺激更高级的思维；2）整合争论异质性合作小组迫使各种成员的意见彼此统一；3）认知加工合作方法增加了学生口头复述消息及整合它的机会；4）学习中同伴的鼓励和卷入积极的相互影响增加了友谊、接受性及认知信息加工。四.国内关于合作学习的主要模式1.“分层次目标教学、分小组合作学习”的课堂模式2.“分层次分组竞争合作学习教学法”3.异质合作、同质选学的教学模式4.协同接受型合作学习策略5.调查研究式6.自学交流式7.导学讨论式第三节 自主学习方式一.自主学习的涵义 所谓“自主学习”是就学习的内在品质而言的，与其相对的是“被动学习”“机械学习”和“他主学习”。根据国内外学者研究成果，归纳出自主学习的基本特征：第一，参与和确定学习目标的提出、自己制定学习进度、参与设 计评价指标。第二，发展各种思考策略和学习策略，在解决问题中 学习。第三，有感情的投入，有内在动力的支持，能从学习中获得积极 的情感体验。第四，对认知活动能够进行自我监控，并作出相应的调适。自主学习包括三个子过程（行为主义心理学家认为）：自我监控，自我指导，自我强化。自我监控自我监控指学生针对自己的学习过程所进行的一种观察、审视和评价。自我指导自我指导指学生采取那些致使学习趋向学习结果的行为，包括制定学习计划、选择适当的学习方法、组织学习环境等。自我强化自我强化指学生根据学习结果对自己作出奖赏或惩罚，以使积极的学习得以维持或促进的过程。认知心理学派认为：自主学习实际上是元认知监控的学习，是学习者根据自己的学习能力、学习任务，积极主动地调整自己的学习策略和努力的过程。自主学习要求学习者对：为什么学习，能否学习，学习什么，如何学习 等问题有自觉的意识和反映。建立在自我意识发展基础之上的“能学”；建立在学生具有内在学习动机基础之上的“想学”；建立在学习掌握了一定的学习策略基础之上的“会学”；建立在意志努力基础之上的“坚持学”。高质量的数学自主学习不完全等同于学生自学：自主选择接受信息的方式，自主选择分析问题的角度，自主学习的课堂，必须 尊重学生的独立思考，尊重学生的习惯或经历，接纳学生的差异甚至错误；必须保证学生质问、提问的随机性和充分性，思维活动的发散性与求异性，思维结果的独特性与多样性，语言表达的自主与畅通；要让学生体验到平等、自由、民主、信任、友善、宽容；.让学生得到激励、鞭策、鼓舞、指导、建议，.达成师生共享经验、知识、智慧、意义、价值、成功，.第四节.自主探究合作的关系 “自主学习”是就学习的内在品质而言的，是相对于“被动学习”、“机械学习”而言的，是指教学条件下学生的高品质、高质量的学习。“合作学习”是针对教学条件下学生学习的组织形式而言的，相对的是“个体学习”。“探究学习”是相对于“接受式学习”而言的。三者的关系是：所有能有效促进学生发展的学习一定是自主学习。其中当然包括合作学习与探究学习，也就是说，真正的合作学习与探究学习一定是自主学习；但是，并非所有的学习领域和学习主题都需要用合作学习的组织形式，也不是所有的学习领域和学习主题都需要用探究学习的方式来进行。对一些学习内容来说，不仅个别学习的组织形式是必不可少的，接受学习有时也是十分必要的。新课程强调学生积极主动地学习，进而能够自主学习。鼓励学生独立而富有个性的学习，更倡导主动参与与合作学习，在学习中学会学习。倡导学生在探究中学习，亲历并体验探究过程，在深入思考和交流讨论中获得感悟与深入理解。学习方式的三个方面并不是相互独立、互不相容的：探究学习活动可以由小组合作完成，也可以是个人的行为。合作学习并不必然是探究学习。在合作探究小组里，也会有被动学习。接受学习以可能是主动理解的过程，甚至可能是自主学习，如自主选择收听、收看广播电视教育节目进行学习。第三章 转变学生的数学学习方式 一.给学生提供与现实生活联系密切的数学问题 数学来源于生活，又应用于生活，因此学校中的数学与现实中的数学密切相联，同时学生所学的数学应该是在他们熟悉的现实生活中逐步发现从而得出结论的。数学教育的目标之一，就是要通过解决问题使学生获得适应社会生活所必须的数学基础知识和基本技能，获得应用数学方法解决问题的习惯和能力；要实现这些目标必须有懒于数学问题与生活情景的结合。事实上，强调与现实生活的联系是数学新课程的一个重要特征。标准对数学的认识，处处着眼于数学与人的发展和现实生活的密切联系；学生学习的数学内容一定要充分考虑数学发展进程中人类的活动轨迹，贴近学生熟悉的现实生活，使生活与熟悉融为一体。例1 请你仔细察看中国地图，找出我国主要的大城市在哪里。精确地量出这些城市在地图上的直线距离，再根据地图上给出的比例尺计算出实际距离，然后列一个统计表，把这些距离都体现出来。（看谁的统计表列得巧妙；对城市的密集程度进行分析；一些主要的大城市不能遗漏。如果你的数据很多，可以借助电脑来分析。）例2 降水量是指水平地面单位面积上所降雨水的深度。现用上口径为32cm，底面直径为24cm，深为35cm的圆台形水桶来测量降水量。如果在一次降雨过程中，此桶中的雨水深为桶深的四分之一，则此降雨量为多少mm？（53cm）例3 纳税问题 我国税法规定，公民全月工资、薪金所得不超过929元的部分不必纳税；超过929元的部分为全月应该纳税所得额，此项税款按下表累加计算：全月应纳税所得额税率不超过500元部分5%超过500元至2000元部分10%超过2000元至5000元部分15%.某人本月纳税150.1元，问他本月的收入为多少？二 给学生提供富有挑战性的开放性问题 学生学习数学是从认识到有问题开始的。在遇到问题时学生总爱把自己当成探索者、研究者、发现者，而富有挑战性的开放式问题能使学生的这些角色得到充分表现。例 寻找共同的特征 给出下面两组图表，A组包括一张图象和一个数字表格。B组包括表征某些函数的代数表达式。要求学生检验A组中的图象（1）和表格（2），从B组中选择与（1）和（2）有共同特征的函数，并且解释选择的理由，找出尽可能多的共同特征。A组42xyX -3 2 1 0 1 2 3 Y 1 0 -1 -2 -3 -4 -5（1）（2）B组 （a）（b）y=x （c）y=2x+1(d)(e)(f)y=x+2 (g)例2 三个学生甲、乙、丙各扔了5个弹子，结果如图所示。在这个游戏中谁的弹子离散程度最小，谁就获胜。请设计尽可能多的方法从数学角度测量离散的程度。学生可能发现如下测量方法：1）直接用眼睛判断；2）测量多边形的面积：3）测量多边形的周长；4）测量两点间最长的线段的长度；5）所有两点间线段长度的和；6）测量包括所有点的最小圆的半径，.三给学生提供丰富有趣的数学史实 标准中建议“介绍有关的数学背景知识”，同时具指出“介绍勾股定理的几个著名证法（比如欧几里得证法，赵爽证法等）及其有关的一些著名问题，使学生感受数学证明的灵活、优美与精巧，感受勾股定理的丰富文化内涵。”以及“教材要重视有关内容的几何背景，应用几何直观帮助学生理解、解决有关代数问题。利用图形理解完全平方公式、平方差公式等。将有趣的数学史实作为学生数学学习的素材之一，有利于学生主动观察、实验、猜测、验证、推理、交流与问题解决。勾股定理：画图，测量，计算，猜测，证明。倡导有意义的学习方式 学生方式（Learning style，又译为学习风格），是人们在学习时所具有或偏爱的方式，即学习者在研究解决其学习任务时所表现出来的具有个人特色的方式。学习方式是学习者持续一贯表现出来的学习策略和学习倾向的总和。学习策略指学习者完成学习任务或实现学习目标而采用的一系列步骤，其中某一特定步骤称为学习方法。学习倾向包括学习情绪、态度、动机、坚持性以及对学习环境、学习内容等方面的偏爱。学生的学习方式一般有接受和发现两种。在接受式学习中，学习内容与定论的形式直接呈现出来，学生是知识的接受者。在发现式学习中，学习是知识的发现者。两种学习方式都有存在的价值，彼此相辅相成。