初中数学学与例分析.pptx

1初中数学学与教的案例分析初中数学学与教的案例分析通过研究改进教学通过研究改进教学鲍建生鲍建生华东师范大学数学系华东师范大学数学系 一、教师成为研究者20世纪世纪80年代以来，教师教育出现了年代以来，教师教育出现了一种一种“反思性转向反思性转向”。以美国为开端，关于。以美国为开端，关于反思的讨论迅速在教师教育界兴起。这种讨反思的讨论迅速在教师教育界兴起。这种讨论的结果就是形成了论的结果就是形成了“教师即研究者教师即研究者”（Elliott，1990）的理念，也就是说，教师不）的理念，也就是说，教师不应只是别人研究成果的消费者，更应是研究应只是别人研究成果的消费者，更应是研究者。者。教师即技师（教师即技师（Teacher as technician）教师即研究者（教师即研究者（Teacher as researcher）学与教在课堂中的统一学与教在课堂中的统一教教学学教材教法教材教法教学内容的理解教学内容的理解教学经验教学经验焦点：老师如何教？焦点：老师如何教？学习理论学习理论学习过程的理解学习过程的理解理论模型理论模型焦点：学生如何学？焦点：学生如何学？课堂课堂理论与经验的互动理论与经验的互动经验经验理论理论z支持预测支持预测z为研究提供分析框架为研究提供分析框架z具有解释的能力具有解释的能力z能应用于广泛的现象能应用于广泛的现象z有助于对复杂现象的思考有助于对复杂现象的思考z作为资料分析的工具作为资料分析的工具z提供一种深层次交流的语言提供一种深层次交流的语言z源于实践源于实践z实用实用z个人化个人化z嵌于特定的情境之中嵌于特定的情境之中z比较模糊，不易表征、比较模糊，不易表征、把握和传授把握和传授z难以跨领域的交流。难以跨领域的交流。解释解释建构建构5教师培训的焦点：PCK学科教学知识学科教学知识内容知识内容知识学习者知识学习者知识背景知识背景知识一般教学法一般教学法课程知识课程知识教育目标教育目标教学推理教学推理理解理解转化转化教学教学评价评价反思反思新理解新理解PCK的核心成分如如何何做做学学情情调调查查，了了解解不不同同学学生生的的认认知知基基础础、认识方式与差异认识方式与差异呈现方式多样化策略的选择与应用呈现方式多样化策略的选择与应用对呈现效果的检测与反馈对呈现效果的检测与反馈如何将特定的知识如何将特定的知识呈现给不同学生的呈现给不同学生的策略策略 哪哪些些知知识识学学生生易易解解，教教师师可可以以少少讲讲、不不讲讲或或让让学生自学？学生自学？哪些问题是学生容易混淆或难以理解的？哪些问题是学生容易混淆或难以理解的？学生常见的错误是什么？如何辨析和纠正？学生常见的错误是什么？如何辨析和纠正？学生在学习某一知学生在学习某一知识过程中容易误解识过程中容易误解和混淆的问题和混淆的问题 某一知识在整个学科体系中的地位和作用某一知识在整个学科体系中的地位和作用上位知识与下位知识的联系上位知识与下位知识的联系新旧知识间的联系新旧知识间的联系所学知识与儿童生活、经验的联系所学知识与儿童生活、经验的联系知识间的联系知识间的联系 学科本身最核心、最基本的知识学科本身最核心、最基本的知识学科的思想、方法、精神和态度学科的思想、方法、精神和态度对学生今后学习和发展最有价值的知识对学生今后学习和发展最有价值的知识学科最核心、最有学科最核心、最有价值的知识价值的知识 指 标PCK的成分PCK的构建：实践反思内容知识内容知识课程知识课程知识教育目标教育目标一般教学法一般教学法学习者知识学习者知识背景知识背景知识理解理解转化转化教学教学评价评价反思反思新理解新理解研究风格的转变研究风格的转变 三十年前三十年前,教育工作者们很少关注认知科学家的教育工作者们很少关注认知科学家的工作工作,在认知科学研究的初期在认知科学研究的初期,研究者们的工作是远研究者们的工作是远离课堂的离课堂的.今天今天,认知研究者们更多的是与教师合作认知研究者们更多的是与教师合作,在真实的课堂情景中检验和改进他们的理论在真实的课堂情景中检验和改进他们的理论,因为在因为在教室里教室里,他们才能看到不同的课堂情境和不同的课堂他们才能看到不同的课堂情境和不同的课堂交往是如何影响他们的理论在课堂中的应用交往是如何影响他们的理论在课堂中的应用.摘自摘自人是如何学习的人是如何学习的走进课堂，解决学与教中的实际问题！走进课堂，解决学与教中的实际问题！9培训要求v掌握基本的数学教育研究方法；掌握基本的数学教育研究方法；v根据自己的教学实践和研究兴趣，选择若根据自己的教学实践和研究兴趣，选择若干个研究问题，形成初步的研究框架；干个研究问题，形成初步的研究框架；v根据自己的研究框架，查阅和分析相关的根据自己的研究框架，查阅和分析相关的理论和研究；理论和研究；v构建具体的研究方案和工具（如问卷、测构建具体的研究方案和工具（如问卷、测试卷、访谈提纲等）试卷、访谈提纲等）10二、学习理论：有效教学的保障 如果我必须把所有的教育心理学理如果我必须把所有的教育心理学理论化约成一个原则的话，我宁愿这么说：论化约成一个原则的话，我宁愿这么说：影响学习的一个最重要的因素，即是学影响学习的一个最重要的因素，即是学习者已经知道的事，只要确信这一点，习者已经知道的事，只要确信这一点，并且以此作为教学的依据即可。并且以此作为教学的依据即可。D.P.Ausubel的名言的名言新书简介新书简介 本书分上下两篇：上篇重点介绍五个经典的、对数学学习有较高理论价值的研究成果；下篇从微观的角度去探讨学生学习数学的心理基础与过程。本书对近二十年来国际数学教育心理研究领域的主要成果和研究方法进行了梳理和剖析，其目的是：帮助读者拓展眼界，了解当帮助读者拓展眼界，了解当代数学教育的研究前沿；代数学教育的研究前沿；提供研究的观点、框架、方提供研究的观点、框架、方法、案例和问题。法、案例和问题。为教师的数学课堂教学提供为教师的数学课堂教学提供理论支持，帮助他们解释教理论支持，帮助他们解释教学中的疑难与困惑，提高教学中的疑难与困惑，提高教学的效率。学的效率。（一）让学习理论来指导教学实践理论建构的第一条途径：理论建构的第一条途径：理论建构的第二条途径：理论建构的第二条途径：一般学习一般学习理论理论数学教数学教学情境学情境数学学习数学学习中的问题中的问题解决问题解决问题的模型的模型教学经验教学经验数学学习数学学习理论理论特殊化特殊化数学学习数学学习理论理论一般化一般化反思反思1 1、范希尔的几何思维水平、范希尔的几何思维水平在在50年代的荷兰，几何教学所面临的问题是年代的荷兰，几何教学所面临的问题是很普遍的（很普遍的（Freudenthal,1958）。范希尔夫妇）。范希尔夫妇（Pierre Van Hiele&Dina Van Hiele）作为荷兰）作为荷兰一所中学的数学教师，每天都亲身经历着这些问一所中学的数学教师，每天都亲身经历着这些问题。最让他们感到困惑的是教材所呈现的问题或题。最让他们感到困惑的是教材所呈现的问题或作业所需要的语言及专业知识常常超出了学生的作业所需要的语言及专业知识常常超出了学生的思维水平，这使得他们开始关注皮亚杰的工作。思维水平，这使得他们开始关注皮亚杰的工作。经过一段时间的研究，他们提出了几何思维的五经过一段时间的研究，他们提出了几何思维的五个水平。这一成果最初发表在他们夫妇于个水平。这一成果最初发表在他们夫妇于1957年年在乌特勒克大学共同完成的的博士论文上。在乌特勒克大学共同完成的的博士论文上。几何思维水平的划分几何思维水平的划分水平水平描描 述述直观直观v儿童能通过整体轮廓辨认图形，并能操作其几何构儿童能通过整体轮廓辨认图形，并能操作其几何构图元素（如边、角）；图元素（如边、角）；v能画图，使用标准或不标准名称描述几何图形；能画图，使用标准或不标准名称描述几何图形；v能根据对形状的操作解决几何问题，但无法使用图能根据对形状的操作解决几何问题，但无法使用图形之特征或要素名称分析图形，也无法对图形做概形之特征或要素名称分析图形，也无法对图形做概括的论述括的论述.分析分析v儿童能分析图形的组成要素及特征，并依此建立图儿童能分析图形的组成要素及特征，并依此建立图形的特性；形的特性；v利用这些特性解决几何问题，但无法解释性质间的利用这些特性解决几何问题，但无法解释性质间的关系，也无法了解图形的定义；关系，也无法了解图形的定义；v能根据组成要素比较两个形体，利用某一性质做图能根据组成要素比较两个形体，利用某一性质做图形分类，但无法解释图形某些性质之间的关联，也形分类，但无法解释图形某些性质之间的关联，也无法导出公式和使用正式的定义。无法导出公式和使用正式的定义。几何思维水平的划分（续）几何思维水平的划分（续）水平水平描述描述非形非形式的式的演绎演绎v学生能建立图形及图形性质之间的关系，可以提出非形式化的学生能建立图形及图形性质之间的关系，可以提出非形式化的推论，了解建构图形的要素，能进一步探求图形的内在属性推论，了解建构图形的要素，能进一步探求图形的内在属性和其包含关系，使用公式与定义及发现的性质做演绎推论和其包含关系，使用公式与定义及发现的性质做演绎推论v但不能了解证明与定理的重要性，不能由不熟悉的前提去建立但不能了解证明与定理的重要性，不能由不熟悉的前提去建立证明结果的成立，也未能建立定理网络之间的内在关系。证明结果的成立，也未能建立定理网络之间的内在关系。形式形式的演的演绎绎u学生可以了解到证明的重要性和了解学生可以了解到证明的重要性和了解“不定义元素不定义元素”、“定理定理”和和“公理公理”的意义，确信几何定理是需要形式逻辑推演才的意义，确信几何定理是需要形式逻辑推演才能建立的，理解解决几何问题必须具备充分或必要条件；能建立的，理解解决几何问题必须具备充分或必要条件；u能猜测并尝试用演绎方式证实其猜测，能够以逻辑推理解释几能猜测并尝试用演绎方式证实其猜测，能够以逻辑推理解释几何学中的公里、定义、定理等，也能推理出新的定理，建立何学中的公里、定义、定理等，也能推理出新的定理，建立定理间的关系网络，能比较一个定理的不同证明方式；定理间的关系网络，能比较一个定理的不同证明方式；u能理解证明中的必要与充分条件；能写出一定理的逆定理。能理解证明中的必要与充分条件；能写出一定理的逆定理。严密严密v能在不同的公理系统下严谨地建立定理以分析比较不同的几何能在不同的公理系统下严谨地建立定理以分析比较不同的几何系统，如欧氏几何与非欧氏几何系统的比较。系统，如欧氏几何与非欧氏几何系统的比较。范希尔理论的特点范希尔理论的特点 1.次序性次序性：几何思维水平的发展是循序渐进的，要在特定的：几何思维水平的发展是循序渐进的，要在特定的水平顺水平顺发展，必须具有前一水平的各个概发展，必须具有前一水平的各个概和策和策。也就。也就是说，学生在没通过第是说，学生在没通过第n-1层次之前，无法到达第层次之前，无法到达第n层次。层次。2.进阶性进阶性：学生几何思维水平的提升是经由教学，而：学生几何思维水平的提升是经由教学，而是随是随龄成长或心龄成长或心成熟自然而然的。没有一种教学方法能让学成熟自然而然的。没有一种教学方法能让学生跳过某一水平而进入下一水平。生跳过某一水平而进入下一水平。3.内隐性及外显性内隐性及外显性：某一水平的内隐性质成为下一水平的外：某一水平的内隐性质成为下一水平的外显性质，如某一个水平上的个人化的模糊概念在下一水平上显性质，如某一个水平上的个人化的模糊概念在下一水平上通过外显的表征工具通过外显的表征工具(如符号如符号)而得到澄清。而得到澄清。4.语言性语言性：每一层次：每一层次有其专属的阶段性语言符号。有其专属的阶段性语言符号。5.适配性适配性：如果学生的思维处于一个水平：如果学生的思维处于一个水平,而教师的教学处而教师的教学处于另一个水平于另一个水平,那么就不可能取得预期的教学效果那么就不可能取得预期的教学效果.尤其是当尤其是当教师的教材内容、教具选择及语汇使用均属于较高层次时，教师的教材内容、教具选择及语汇使用均属于较高层次时，学生将无法学生将无法解、思考其过程与结果。解、思考其过程与结果。范希尔理论的应用范希尔理论的应用 1.评价方面：编制范希尔几何思维水平测试卷，测评价方面：编制范希尔几何思维水平测试卷，测量我国学生的几何思维水平并进行差异性分析；量我国学生的几何思维水平并进行差异性分析；2.课程方面：按照学生实际的几何思维水平，确定课程方面：按照学生实际的几何思维水平，确定教学目标、内容和顺序；教学目标、内容和顺序；3.教学方面：根据学生所在的几何思维水平的特征教学方面：根据学生所在的几何思维水平的特征进行针对性的教学，帮助学生从较低层次过渡到进行针对性的教学，帮助学生从较低层次过渡到较高层次。较高层次。4.研究方面：确定其他数学教学内容的思维层次，研究方面：确定其他数学教学内容的思维层次，如代数，概率、统计等。如代数，概率、统计等。2 2、中小学生数学能力研究、中小学生数学能力研究 前苏联心理学家克鲁切茨基从前苏联心理学家克鲁切茨基从50年代末开始就年代末开始就对中小学生数学能力进行了长达十二年的研究对中小学生数学能力进行了长达十二年的研究.他运他运用深度访谈、问卷调查、跟踪分析、出声思维等质用深度访谈、问卷调查、跟踪分析、出声思维等质的研究方法，分析了不同能力的学生解题时的心里的研究方法，分析了不同能力的学生解题时的心里特性，以及数学能力组成成分中的类型、年龄、性特性，以及数学能力组成成分中的类型、年龄、性别差异以及数学能力与个性的关系。这些研究成果别差异以及数学能力与个性的关系。这些研究成果集中反映在其著作集中反映在其著作中小学生数学能力心理学中小学生数学能力心理学中。中。这本书的俄文版在这本书的俄文版在1968年出版后，于年出版后，于1976年被基尔年被基尔帕特里克等人翻译成英文版（帕特里克等人翻译成英文版（Krutetskii,1976）。）。分别于分别于1983、1984和和1993年由我国上海教育出版社、年由我国上海教育出版社、教育科学出版社和九章出版社出版的中译本均译自教育科学出版社和九章出版社出版的中译本均译自这本英文版。这本英文版。研究的问题研究的问题1.数学能力特殊性问题数学能力特殊性问题。数学能力本身是作为一种。数学能力本身是作为一种特殊形式存在，与一般智力范畴不同呢，还是数特殊形式存在，与一般智力范畴不同呢，还是数学能力是一般心理过程和人格品质的特殊化呢？学能力是一般心理过程和人格品质的特殊化呢？2.数学能力的结构性问题数学能力的结构性问题。数学禀赋是单一性的。数学禀赋是单一性的（单独的、不可再分的）还是综合性的（复杂的）（单独的、不可再分的）还是综合性的（复杂的）？如果是综合性的，人们就可追问关于数学能力？如果是综合性的，人们就可追问关于数学能力的结构问题，也就是复杂心理形式的组成成分问的结构问题，也就是复杂心理形式的组成成分问题。题。3.数学能力的类型差异问题数学能力的类型差异问题。是否存在着不同类型。是否存在着不同类型的数学秉赋或者有一个主要成分而只是在对某些的数学秉赋或者有一个主要成分而只是在对某些数学分支的兴趣和倾向上出现差别？数学分支的兴趣和倾向上出现差别？中小学生数学能力结构中小学生数学能力结构 1.获得数学信息获得数学信息 A.对于数学材料形式化感知的能力；对问题形式结构的掌握能力。对于数学材料形式化感知的能力；对问题形式结构的掌握能力。2.数学信息加工数学信息加工A.在数量和空间关系，数字和字母符号方面的逻辑思维能力；对在数量和空间关系，数字和字母符号方面的逻辑思维能力；对数学符号进行思维的能力。数学符号进行思维的能力。B.迅速而广泛地概括数学对象、关系和运算的能力。迅速而广泛地概括数学对象、关系和运算的能力。C.缩短数学推理过程和相应的运算系统的能力；以简短的结构进行缩短数学推理过程和相应的运算系统的能力；以简短的结构进行思维的能力。思维的能力。D.在数学活动中心理过程的灵活性。在数学活动中心理过程的灵活性。E.力求解答的清晰、简明、经济与合理。力求解答的清晰、简明、经济与合理。F.迅速而自如地重建心理过程的方向、从一个思路转向另一个相反迅速而自如地重建心理过程的方向、从一个思路转向另一个相反思路的能力（数学推理中心理过程的可逆性）。思路的能力（数学推理中心理过程的可逆性）。3.数学信息保持数学信息保持A.数学的记忆（关于数学关系，类型特征，论据和证明的图式，解数学的记忆（关于数学关系，类型特征，论据和证明的图式，解题方法及探讨原则的概括性记忆）。题方法及探讨原则的概括性记忆）。4.一般综合性组成成分一般综合性组成成分 A.数学气质。数学气质。21如何测量学生的数学能力？如何测量学生的数学能力？普通测验普通测验：考查学生知道什么和会什么。考查学生知道什么和会什么。能力测验能力测验：考查学生解题的容易程度和迅速程度考查学生解题的容易程度和迅速程度研究中小学生数学能力的实验题体系研究中小学生数学能力的实验题体系系列系列1：没有提出问题的题目：没有提出问题的题目系列系列2：信息不完全的题目：信息不完全的题目系列系列3：有多余信息的题目：有多余信息的题目系列系列4：具有互相渗透因素的题目：具有互相渗透因素的题目系列系列5：单一类型的题目体系：单一类型的题目体系系列系列6：不同类型的题目体系：不同类型的题目体系系列系列7：从具体到抽象逐渐过渡的题目体系：从具体到抽象逐渐过渡的题目体系系列系列8：按照特定的类型编题：按照特定的类型编题系列系列9：证明题：证明题系列系列10：运用题目的各种条件列方程式：运用题目的各种条件列方程式研究中小学生数学能力的实验题体系研究中小学生数学能力的实验题体系系列系列11：不现实的题目：不现实的题目系列系列12：形成人工概念：形成人工概念系列系列13：有几种解法的题目：有几种解法的题目系列系列14：变化内容的题目：变化内容的题目系列系列15：重建一种运算的题目：重建一种运算的题目系列系列16：暗示：暗示“自我限制自我限制”的题目的题目系列系列17：正向和反向的题目：正向和反向的题目系列系列18：启发（探索）性课题：启发（探索）性课题系列系列19：关于理解和逻辑推理的题目：关于理解和逻辑推理的题目系列系列20：系列题目：系列题目研究中小学生数学能力的实验题体系研究中小学生数学能力的实验题体系系列系列21：数学诡辩题：数学诡辩题系列系列22：项目难记的题目：项目难记的题目系列系列23：在解答中具有不同程度直观性的题目：在解答中具有不同程度直观性的题目系列系列24：既有语言又有直观表达的题目：既有语言又有直观表达的题目系列系列25：有关空间概念的题目：有关空间概念的题目系列系列26：揭露非智力活动方面的直观形象与语言逻辑：揭露非智力活动方面的直观形象与语言逻辑 成分之间关系的题目成分之间关系的题目能力差异方面的研究能力问题也就是个别差异问题。如果每个人在各方面能力问题也就是个别差异问题。如果每个人在各方面的发展和在从事任何活动上都有同样的能力，那么讨论能力的发展和在从事任何活动上都有同样的能力，那么讨论能力问题也就没有意义了。我们谈论能力问题，就等于预先假定问题也就没有意义了。我们谈论能力问题，就等于预先假定了人们之间有某些个别差异。没有一个人在任何事情上都是了人们之间有某些个别差异。没有一个人在任何事情上都是无能的，每个人都有最适宜从事某种活动的能力，不过，同无能的，每个人都有最适宜从事某种活动的能力，不过，同是从事一样的工作，也有能力水平上的差异。是从事一样的工作，也有能力水平上的差异。（克鲁切茨基，（克鲁切茨基，1984）1.数学资优生的个案研究；数学资优生的个案研究；2.好、中、差学生的能力特征好、中、差学生的能力特征263、数学思维数学思维研究斯根普（RICHARD SKEMP）（March 10,1919 June 22,1995）“他走进的是一片空地，留下的却是伟大的建筑。他走进的是一片空地，留下的却是伟大的建筑。”（Sfard,2002）28工具性理解与关系性理解 前者是指“只管公式，不管理由”，而后者则“不仅知道要做什么，而且知道理由”。工具性数学的优点 1.工具性数学一般比较容易理解工具性数学一般比较容易理解。有些课题，如两个有些课题，如两个负数相乘，或分数相除，很难从关系上去理解。负数相乘，或分数相除，很难从关系上去理解。“负负得正负负得正”以及以及“除以分数等于乘以这个分数的倒除以分数等于乘以这个分数的倒数数”是很容易记住的规则，但不易解释其原因。是很容易记住的规则，但不易解释其原因。2.教学的效果立竿见影，而且更明显。教学的效果立竿见影，而且更明显。首先，学生如首先，学生如果能够迅速地得出正确的答案，当然是一件好事；果能够迅速地得出正确的答案，当然是一件好事；其次，我们不能低估学生从中得到成功感受的重要其次，我们不能低估学生从中得到成功感受的重要性。对这些学生来说，最重要的是需要成功的体验性。对这些学生来说，最重要的是需要成功的体验来恢复自信心，而在工具性数学上，将比在关系性来恢复自信心，而在工具性数学上，将比在关系性数学上更容易获得成功。数学上更容易获得成功。3.比起关系性数学来牵涉的知识较少，因此，比起关系性数学来牵涉的知识较少，因此，用工具用工具性数学思考，可以更快速而且可靠的得到正确答案。性数学思考，可以更快速而且可靠的得到正确答案。以至于一些数学家也常运用机械式数学思考。以至于一些数学家也常运用机械式数学思考。关系性数学的优点 1.比较适应新的任务比较适应新的任务。关系性理解不仅会知道那种方法关系性理解不仅会知道那种方法有用而且知道为什么有用，能够把方法和问题加以关有用而且知道为什么有用，能够把方法和问题加以关联，而且还可以调整方法来处理新问题。而工具性理联，而且还可以调整方法来处理新问题。而工具性理解则需要学生记住哪些问题可以用哪种方法来解而哪解则需要学生记住哪些问题可以用哪种方法来解而哪些问题不行，并且对不同的问题要学不同的方法。些问题不行，并且对不同的问题要学不同的方法。2.比较容易记住。比较容易记住。理解概念间的相互关系让人能记得它理解概念间的相互关系让人能记得它们是整体的关联部份，就变得比较容易，而且能减少们是整体的关联部份，就变得比较容易，而且能减少重新学习的时间。重新学习的时间。3.关系性知识本身可以成为有效的目标。关系性知识本身可以成为有效的目标。这可以增加学这可以增加学生的学习动机，而减低对外界奖惩的需要水平。生的学习动机，而减低对外界奖惩的需要水平。4.关系性图式是一个高质量的有机体。关系性图式是一个高质量的有机体。关系性理解使人关系性理解使人们不满足于对已有材料的理解，还会主动去找寻新的们不满足于对已有材料的理解，还会主动去找寻新的材料并探索新的领域。材料并探索新的领域。31David Dall的工作http:/www.warwick.ac.uk/staff/David.Tall/32（1）数学思维发展的一个基本框架（2）认知根源认知根源（Cognitive Root）的概念最初是David Tall在一篇谈论“概念表象”、“一般组织者”及计算机辅助教学的文章中提出的，当时的定义是“一个学习者容易理解、又可以作为整个理论基础的抛锚式概念”。上述说法后来经过了几次修改，特别是在提出“认知单元”的概念之后，David Tall开始把认知根源作为认知单元的一个特别类型，其基本特征是：对某个学习序列的初学者来说是一个意义丰富的核心知对某个学习序列的初学者来说是一个意义丰富的核心知识的认知单元；识的认知单元；可以在这个认知单元的基础上通过一些认知扩充策略得可以在这个认知单元的基础上通过一些认知扩充策略得到初步的发展而不必进行认知的重构；到初步的发展而不必进行认知的重构；在后继的发展中具有长期的意义；在后继的发展中具有长期的意义；在发展更复杂的理解时仍具有重要的作用。在发展更复杂的理解时仍具有重要的作用。34数学认知根源的一个典型的例子函数虽然对多数学生而言，函数并不是一个虽然对多数学生而言，函数并不是一个“容易理解容易理解”的概念，但韬尔之所以仍的概念，但韬尔之所以仍把它作为一个认知根源的主要原因在于函数概念在两个维度上具有把它作为一个认知根源的主要原因在于函数概念在两个维度上具有“丰富的联丰富的联系系”：其一是：其一是“面（面（facets）”上（表示方式），其二是上（表示方式），其二是“层（层（layers）”上上（水平）。（水平）。（3）过程与概念 过程（process）与概念（concept）是学习理论中的两个基本概念，但在数学中，人们发现，同一个数学符号常常具有双重的意义：既可以作为过程，也可以作为概念（Gray&Tall,1991;1994;Sfard,1989;1991）。例如，符号“32”就可以同时看作为一个（加法）过程，与一个（和）的概念。为了把这种概念与其它概念区别开来，格雷（Eddie Gray）与韬尔各取了“process”（过程）和“concept”（概念）的一部分而造出了一个新词“procept”。36具有过程与概念两重性的数学符号 37（4）数学证明的三个水平 先看一个例子：证法一证法一证法二证法二证法三：数学归纳法证法三：数学归纳法38(5)数学的三个世界 4、APOS理论理论 活动活动（Action）程序程序（Process）图式图式（Schema）对象对象（Object）内化内化压缩压缩同化或顺应同化或顺应APOS研究的三个基本环节1.对某个特定数学概念运用对某个特定数学概念运用APOS理论进行任务理论进行任务分析；分析；2.在理论分析的基础上发展和应用一系列的教学在理论分析的基础上发展和应用一系列的教学设计（其中包括一些非标准的教学策略如合作设计（其中包括一些非标准的教学策略如合作学习、计算机辅助教学等）；学习、计算机辅助教学等）；3.收集和分析测试的数据以便修改原先的理论分收集和分析测试的数据以便修改原先的理论分析和教学设计。析和教学设计。41APOS理论的应用APOS理论有两个方面的作用：理论有两个方面的作用：1.提供有效的教学设计。提供有效的教学设计。例如，例如，Asiala et al.(1997)和和 Repo(1996)都发现，利用都发现，利用APOS理论设计的微积理论设计的微积分课程显著优于传统的课程。分课程显著优于传统的课程。2.用于分析学生的理解。用于分析学生的理解。例如，例如，Santos and Thomas(2003)构建了一个微积分知识的表征框架，构建了一个微积分知识的表征框架，在这个框架中，他们把符号表征、图像表征和数表征在这个框架中，他们把符号表征、图像表征和数表征进一步划分为以下几个类型：程序定向的进一步划分为以下几个类型：程序定向的（procedure-oriented）、过程定向的（）、过程定向的（process-oriented）、对象定向的（）、对象定向的（object-oriented）和概念）和概念定向的（定向的（concept-oriented）。）。42（二）聚集数学学习的核心问题环境、先前知识、评价问题解决技能训练概念理解数数与与运运算算测测量量几几何何代代数数概概率率与与统统计计微微积积分分元认知、情感与态度431、概念理解当我理解了当我理解了u我就感到愉快；我就感到愉快；u我就自信；我就自信；u我可以忘掉所有细节，而在需要的时候重我可以忘掉所有细节，而在需要的时候重新构造；新构造；u我觉得它已经属于我；我觉得它已经属于我；u我可以把它解释给别人听。我可以把它解释给别人听。(Duffin&Simpson,1994)数学概念理解研究的一般假设 数学教学的根本目的是学生的理解；数学教学的根本目的是学生的理解；数学概念有自身的特点；数学概念有自身的特点；学生对数学概念的理解存在于他自己的头脑学生对数学概念的理解存在于他自己的头脑中；中；可以通过一些外部的行为特征去诊断学生头可以通过一些外部的行为特征去诊断学生头脑中的理解；脑中的理解；学生对数学概念的内部理解无论在质量上还学生对数学概念的内部理解无论在质量上还是在数量上都超过其外部的行为特征；是在数量上都超过其外部的行为特征；学生的理解是按水平发展的，不同学生的理学生的理解是按水平发展的，不同学生的理解有不同的水平；解有不同的水平；适当的教学可以改进学生的理解水平。适当的教学可以改进学生的理解水平。45数学概念理解的主要目标数学概念理解的主要目标 1.确认学生在各种数学概念和程序上的初始概念确认学生在各种数学概念和程序上的初始概念的形成过程；的形成过程；2.促使某一概念从一种理解水平向另一水平转化促使某一概念从一种理解水平向另一水平转化或产生转化的因素和过程；或产生转化的因素和过程；3.研究学生头脑中这些概念联结而成的概念结构研究学生头脑中这些概念联结而成的概念结构和正规数学概念结构之间的异同；和正规数学概念结构之间的异同；4.描述这些概念化过程怎样逐步演变直至成熟；描述这些概念化过程怎样逐步演变直至成熟；5.辨别影响发展过程的种种因素。辨别影响发展过程的种种因素。46（1）数学概念的基本特征 数学概念发展的抽象性数学概念发展的抽象性数学概念发展的抽象性数学概念发展的抽象性数学概念表征的多元性数学概念表征的多元性数学概念表征的多元性数学概念表征的多元性数学概念理解的层次性数学概念理解的层次性数学概念理解的层次性数学概念理解的层次性数学概念联结的系统性数学概念联结的系统性数学概念联结的系统性数学概念联结的系统性数学概念的二重性数学概念的二重性47（2）数学概念学习的心理过程 概念的形成概念的形成概念的同化概念的同化48（3）数学概念学习的认知障碍 认知冲突认知冲突概念误解概念误解概念转变概念转变49（4 4）促进数学概念理解的教学途径）促进数学概念理解的教学途径 变式教学：变式教学：变式教学：变式教学：通过直观或具体的变式引入概念通过直观或具体的变式引入概念 通过非标准变式突出概念的本质属性通过非标准变式突出概念的本质属性 通过非概念变式明确概念的外延通过非概念变式明确概念的外延脚手架：脚手架：通过搭建脚手架降低任务的难度；通过搭建脚手架降低任务的难度；在没有完成低层次任务的情况下也可以从事在没有完成低层次任务的情况下也可以从事高层次的任务高层次的任务（5 5）概念理解的评价）概念理解的评价1.感知感知指学生对这个概念的认识与信念；指学生对这个概念的认识与信念；2.表征表征指学生对概念的描述和表示，其中包括书指学生对概念的描述和表示，其中包括书面的，图形的，表格的和口头的；面的，图形的，表格的和口头的；3.联结联结指学生在概念的各种表征之间建立联系，指学生在概念的各种表征之间建立联系，理解的程度就取决于联结的数量与强度，虽然理解的程度就取决于联结的数量与强度，虽然这里的联结指的是内部的联结，但他们同时指这里的联结指的是内部的联结，但他们同时指出，这些内部的联结多少可以通过外部的行为出，这些内部的联结多少可以通过外部的行为特征找到证据；特征找到证据；4.应用应用指学生运用这个概念去解决问题。指学生运用这个概念去解决问题。512、技能习得虽然练习不一定会达成技能的精通，但练习虽然练习不一定会达成技能的精通，但练习是技能精通的必要条件。成为优秀的游泳选手、音是技能精通的必要条件。成为优秀的游泳选手、音乐家，没有在明确的指导及教学之下投入大量时间乐家，没有在明确的指导及教学之下投入大量时间的练习是不可能的。令人诧异的是，在运动中基本的练习是不可能的。令人诧异的是，在运动中基本技能的广泛练习是公认的事，但却在数学教育中很技能的广泛练习是公认的事，但却在数学教育中很少被接纳。少被接纳。我不断地练习，直到困难的变成简单，简单我不断地练习，直到困难的变成简单，简单的变成习惯，习惯变成一种美。的变成习惯，习惯变成一种美。（Brown,1998）数学技能的基本特征数学技能的基本特征1.数学心智技能的直接对象是抽象的数学概念、命题与表数学心智技能的直接对象是抽象的数学概念、命题与表象，而不是具有物质形态的客观对象。象，而不是具有物质形态的客观对象。2.数学心智技能的动作是借助内部言语完成的，其动作的数学心智技能的动作是借助内部言语完成的，其动作的执行是在头脑内部进行的，主体的变化具有很强的内隐执行是在头脑内部进行的，主体的变化具有很强的内隐性，很难从外部直接观测到。性，很难从外部直接观测到。3.心智活动的简缩性，数学心智技能中的动作成分是可以心智活动的简缩性，数学心智技能中的动作成分是可以合并、省略和简化的。合并、省略和简化的。4.在涉及比较复杂的推理过程或运算程序时，数学心智技在涉及比较复杂的推理过程或运算程序时，数学心智技能的完成需要借助于外部的表征。能的完成需要借助于外部的表征。5.数学技能通常都依附于一定的数学概念、原理与法则。数学技能通常都依附于一定的数学概念、原理与法则。6.在某些高层次数学技能中，已不再像低层次的技能那样在某些高层次数学技能中，已不再像低层次的技能那样需要一定的程序和规则，从而极大地提高了技能实施的需要一定的程序和规则，从而极大地提高了技能实施的速度与效率。速度与效率。作为“双基”之一的数学基本技能 1.数值运算技能数值运算技能 2.符号操作技能符号操作技能 3.图形处理技能图形处理技能 4.数据分析技能数据分析技能 5.推理论证技能推理论证技能，使学生认识到推理和证明是数学的一个必，使学生认识到推理和证明是数学的一个必需的、有效的成分；作出和研究数学猜想；建立和评价数需的、有效的成分；作出和研究数学猜想；建立和评价数学论断与证明；选择和运用各种恰当的推理和论证方法学论断与证明；选择和运用各种恰当的推理和论证方法6.数学交流技能数学交流技能，能掌握数学语言及符号的意义与书写形式，能掌握数学语言及符号的意义与书写形式和格式和格式;能熟练进行数学语言与自然语言（母语）之间的翻能熟练进行数学语言与自然语言（母语）之间的翻译转换译转换;能够用多种方式表述数学知识、问题和想法；能运能够用多种方式表述数学知识、问题和想法；能运用数学语言正确、迅速、规范地将解用数学语言正确、迅速、规范地将解(证证)题过程表述出来题过程表述出来;能用数学概念原理及思想方法去解释一些自然和社会现象；能用数学概念原理及思想方法去解释一些自然和社会现象；等等。等等。高层次数学思维技能 1.高层次的思维是非算法性的，即活动的思路不是事先完全给定的（课程高层次的思维是非算法性的，即活动的思路不是事先完全给定的（课程中大部分的内容仍是算法，强调让学生掌握各种不同的算法）中大部分的内容仍是算法，强调让学生掌握各种不同的算法）2.高层次的思维常常是复杂的，从任何一个单一的观点来看，整个思路不是高层次的思维常常是复杂的，从任何一个单一的观点来看，整个思路不是“可见的可见的”（标准的例题有着可见的思路）（标准的例题有着可见的思路）3.高层次的思维经常会产生多种解题方法，而不是唯一的，对每个解都要下高层次的思维经常会产生多种解题方法，而不是唯一的，对每个解都要下一定的功夫，并且有着体验和收获（几乎都是简单的唯一的解）一定的功夫，并且有着体验和收获（几乎都是简单的唯一的解）4.高层次的思维包括了对细微差异的判断和解释说明（既不要求判断，也高层次的思维包括了对细微差异的判断和解释说明（既不要求判断，也无须解释）无须解释）5.高层次的思维涉及了多种标准的比较和应用，甚至各标准之间有时会有抵高层次的思维涉及了多种标准的比较和应用，甚至各标准之间有时会有抵触（简化为在内容上严格定义的一个标准，强调单一的因素和问题的清触（简化为在内容上严格定义的一个标准，强调单一的因素和问题的清晰性）晰性）6.高层次的思维常常包含不确定性，并不是与手边任务有关的每一件事都是高层次的思维常常包含不确定性，并不是与手边任务有关的每一件事都是知道的（确定的知道的（确定的所需要的所有信息都给定了）所需要的所有信息都给定了）7.高层次的思维包含思维过程的自我调节（外部的调节）高层次的思维包含思维过程的自我调节（外部的调节）8.高层次的思维包含自己给出含义，要在明显的无