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质点：质点：具有一定质量而大小或形状可以忽略的理想物体。具有一定质量而大小或形状可以忽略的理想物体。1-1 质点运动的描述质点运动的描述地球自转自身大小和形状不能忽略地球自转自身大小和形状不能忽略，不能作质点处理。，不能作质点处理。物体平动时可视为质点物体平动时可视为质点。参考系和坐标系定义参考系和坐标系定义运动方程：运动方程：轨道方程轨道方程：位矢表达式位矢表达式:大小：大小：方向：方向：位移表达式位移表达式:分解到坐分解到坐标系标系平均速率平均速率瞬时速率瞬时速率（1）（2）（3）速度与速率的关系速度与速率的关系速率是标量速率是标量加速度加速度分量表示分量表示:加速度定义加速度定义在直角坐标系中在直角坐标系中大小大小方向方向 t 0时，速度增量的极限方向时，速度增量的极限方向。矢量表示：矢量表示：直线运动直线运动，同向同向加速加速反向反向减速减速方向方向曲线运动，曲线运动，总是指向曲线的凹侧。总是指向曲线的凹侧。求求（1）质点的轨迹；质点的轨迹；（2）t=0s 及及t=2s 时时,质点的位置矢量；质点的位置矢量；（3）t=0s到到t=2s时间内的位移；时间内的位移；（4）t=2s内的平均速度；内的平均速度；（5）t=2s末的速度及速度大小；末的速度及速度大小；（6）t=2s末加速度及加速度大小。末加速度及加速度大小。例题例题 已知：质点的运动方程已知：质点的运动方程 切向加速度改变速度的大小，法向加速度改变速切向加速度改变速度的大小，法向加速度改变速度的方向。度的方向。一、圆周运动切向加速度和法向加速度一、圆周运动切向加速度和法向加速度1-2 圆周运动和一般曲线运动圆周运动和一般曲线运动 例题例题1-4 一飞轮边缘上一点所经过的路程与时间的一飞轮边缘上一点所经过的路程与时间的关系为关系为 ，v0、b都是正的常量。都是正的常量。求该点在时刻求该点在时刻 t 的加速度；的加速度；抛体运动抛体运动：从地面上某点向空中抛出的物体在从地面上某点向空中抛出的物体在空中所做的运动。空中所做的运动。三、抛体运动的矢量描述三、抛体运动的矢量描述则初速度分量分别为则初速度分量分别为故任意时刻的速度为故任意时刻的速度为将上式积分，得运动方程为将上式积分，得运动方程为 物体在空中飞行回落到抛出点高度时所用的时物体在空中飞行回落到抛出点高度时所用的时间为间为 飞行的射程（即回落到与抛出点的高度相同时所飞行的射程（即回落到与抛出点的高度相同时所经过的水平距离）为经过的水平距离）为 运运动动方方程程消消去去时时间间参参数数t，得得到到抛抛体体运运动动的的轨轨迹迹方程为方程为若若 ，则，则 ，此时为平抛运动；此时为平抛运动；若若 ，则，则 ，此时射程最大；，此时射程最大；若若 ，则，则 ，此时为竖直抛体运动。，此时为竖直抛体运动。飞行的射高飞行的射高（即高出抛射点的距离即高出抛射点的距离）为为 OxyzOxyzP速度变换速度变换 表明质点的加速度相对于作匀速运动的各个参考系不变表明质点的加速度相对于作匀速运动的各个参考系不变。加速度变换。加速度变换。伽利略坐标变换式伽利略坐标变换式1-3 1-3 相对性运动相对性运动相对性运动相对性运动 常见力常见力常见力常见力一、牛顿第一定律一、牛顿第一定律一、牛顿第一定律一、牛顿第一定律 任何物体都保持静止的或沿一条直线作匀速运动任何物体都保持静止的或沿一条直线作匀速运动状态状态,除非作用在它上面的力迫使它改变这种状态。除非作用在它上面的力迫使它改变这种状态。1-4 牛顿运动定律牛顿运动定律二、牛顿第二定律二、牛顿第二定律 运动的变化与所加的合动力成正比运动的变化与所加的合动力成正比,并且发生在这并且发生在这合力所沿的直线的方向上。合力所沿的直线的方向上。直角坐标系直角坐标系自然坐标系自然坐标系三、牛顿第三定律三、牛顿第三定律 对于每一个作用对于每一个作用,总有一个相等的反作用与之相反；总有一个相等的反作用与之相反；或者说或者说,两个物体对各自的对方的作用总是相等的两个物体对各自的对方的作用总是相等的,而且指而且指向相反的方向。向相反的方向。牛顿第二定律只适用于牛顿第二定律只适用于质点质点或可看做质点的物体；或可看做质点的物体；牛顿定律只适用于惯性系；牛顿定律只适用于惯性系；四、牛顿定律应用举例四、牛顿定律应用举例隔离物体隔离物体明确研究对象明确研究对象具体分析具体分析研究对象的运动情况和受力情研究对象的运动情况和受力情 况，作出受力图况，作出受力图选定坐标选定坐标参考系、坐标系、正方向参考系、坐标系、正方向建立方程建立方程分量式分量式解题步骤：十六字诀解题步骤：十六字诀两类力学问题两类力学问题：已知力求运动已知力求运动已知运动求力已知运动求力桥梁是加速度桥梁是加速度例例题题1-11 设设电电梯梯中中有有一一质质量量可可以以忽忽略略的的滑滑轮轮，在在滑滑轮轮两两侧侧用用轻轻绳绳悬悬挂挂着着质质量量分分别别为为m1和和m2的的重重物物A和和B，已已知知m1m2。当当电电梯梯(1)匀匀速速上上升升，(2)匀匀加加速速上上升升时时，求绳中的张力和物体求绳中的张力和物体A相对与电梯的加速度。相对与电梯的加速度。m1 1m2 2Oym1 1m2 2解解：以以地地面面为为参参考考系系，物物体体A和和B为为研研究究对对象象，分分别进行受力分析。别进行受力分析。物体在竖直方向运动，建立坐标系物体在竖直方向运动，建立坐标系Oy1.常力作用下的连结体问题常力作用下的连结体问题(1)(1)电电梯梯匀匀速速上上升升，物物体体对对电电梯梯的的加加速速度度等等于于它它们们对对地地面面的的加加速速度度。A的的加加速速度度为为负负，B的的加加速速度度为为正正，根据牛顿第二定律，对根据牛顿第二定律，对A和和B分别有分别有上两式消去上两式消去FT，得到得到将将ar r代入上面任一式代入上面任一式FT，得到，得到(2)(2)电电梯梯以以加加速速度度a上上升升时时，A对对地地的的加加速速度度a-ar，B的的对对地地的的加加速速度度为为a+ar，根根据据牛牛顿顿第第二二定定律律，对对A和和B分别有分别有解此方程组得到解此方程组得到由由(2)(2)的结果，令的结果，令a=0，即得到的结果即得到的结果由由(2)(2)的结果，电梯加速下降时的结果，电梯加速下降时，a外力外力，可近似认为动量守恒。，可近似认为动量守恒。2.若合外力不为若合外力不为 0，但在某个方向上合外力分量，但在某个方向上合外力分量为为 0，则这个方向上的动量守恒，则这个方向上的动量守恒。1.对于一个质点系，若合外力为对于一个质点系，若合外力为 0，系统的总动量，系统的总动量保持不变，但系统内的动量可以相互转移。（所有保持不变，但系统内的动量可以相互转移。（所有质点的动量都必须对同一个参考系）质点的动量都必须对同一个参考系）等于恒力在位移上的投影与位移的乘积。等于恒力在位移上的投影与位移的乘积。（1）功是标量，有正负之分）功是标量，有正负之分（2）作功与参考系有关）作功与参考系有关一、功的概念一、功的概念1.恒力的功恒力的功2-3 功功 动能动能 动能定理动能定理积分形式：积分形式：（1）平均功率平均功率（2）功率功率恒力的功率：恒力的功率：3.合力的功合力的功4.功功 率（力在单位时间内所做的功，表示做功快慢）率（力在单位时间内所做的功，表示做功快慢）三、动能定理三、动能定理根据功的积分形式根据功的积分形式定义质点的动能为定义质点的动能为 功的大小只与物体的始末位置有关，而与所经功的大小只与物体的始末位置有关，而与所经历的路径无关，这类力叫做历的路径无关，这类力叫做保守力。保守力。不具备这种性不具备这种性质的力叫做质的力叫做非保守力。非保守力。1.1.重力作功重力作功一、一、保守力保守力2-4 保守力保守力 成对力的功成对力的功 势能势能在在重重力力场场中中物物体体沿沿任任一一闭闭合合路路径径运运动动一一周周时时，重重力所作的功为零。力所作的功为零。2.2.弹性力的功弹性力的功3.3.万有引力的功万有引力的功 保守力的判据是：保守力的判据是：二、二、成对力的功成对力的功 成成对对作作用用力力与与反反作作用用力力所所作作的的总总功功只只与与作作用用力力 及相对位移及相对位移 有关，而与每个质点各自的运动无关。有关，而与每个质点各自的运动无关。保保守守力力的的普普遍遍定定义义：在在任任意意的的参参考考系系中中，成成对对保保守守力力的的功功只只取取决决于于相相互互作作用用质质点点的的始始末末相相对对位位置置，而与各质点的运动路径无关。而与各质点的运动路径无关。高高处处落落下下重重物物做做功功，说说明明高高处处重重物物具具有有能能量量，能够做功，把这种能量叫做重力势能。能够做功，把这种能量叫做重力势能。三、三、势能势能保守力的功保守力的功 成对保守内力的功等于系统势能的减少（或成对保守内力的功等于系统势能的减少（或势能增量的负值）。势能增量的负值）。几种常见的势能：几种常见的势能：重力势能重力势能弹性势能弹性势能万有引力势能万有引力势能一、质点系的动能定理一、质点系的动能定理2-5 质点系的功能原理质点系的功能原理 机械能守恒定律机械能守恒定律所有外力与所有内力对质点系作功之和等于质点系所有外力与所有内力对质点系作功之和等于质点系总动能的增量。总动能的增量。外外内内二、质点系功能原理二、质点系功能原理当当系系统统从从状状态态1 1变变化化到到状状态态2 2时时，它它的的机机械械能能的的增增量量等等于于外外力力的的功功与与非非保保守守内内力力的的功功的的总总和和，这这个个结结论论叫叫做做系统的功能原理。系统的功能原理。解：解：解法一，根据动能定理，取汽车为研究对象，解法一，根据动能定理，取汽车为研究对象，受力如图所示。受力如图所示。例题例题2-162-16 一汽车的速度一汽车的速度v0=36 km/h,驶至一斜率为驶至一斜率为0.010的斜坡时，关闭油门。设车与路面间的摩擦阻的斜坡时，关闭油门。设车与路面间的摩擦阻力为车重力为车重G的的0.05倍，问汽车能冲上斜坡多远？倍，问汽车能冲上斜坡多远？上式说明，汽车上坡上式说明，汽车上坡时，动能一部分消耗于反时，动能一部分消耗于反抗摩擦力作功，一部分消抗摩擦力作功，一部分消耗于反抗重力作功。因耗于反抗重力作功。因Ff=FN=G1,所以所以（1）（2）sGG1G2FNFf 按题意，按题意，tan =0.010，表示斜坡与水平面的夹角表示斜坡与水平面的夹角很小，所以很小，所以sin tan ，G1 G,并因并因G=mg,上式上式可化成可化成（3）或或代入已知数值得代入已知数值得解法二：根据功能原理，有解法二：根据功能原理，有（4）即即代入已知数值亦得代入已知数值亦得例题例题2-172-17 在图中，一个质量在图中，一个质量m=2kg的物体从静止开始，的物体从静止开始，沿四分之一的圆周从沿四分之一的圆周从A滑到滑到B，已知圆的半径，已知圆的半径R=4m，设，设物体在物体在B处的速度处的速度v=6m/s，求在下滑过程中，摩擦力所，求在下滑过程中，摩擦力所作的功。作的功。FN GFfORABv则则解：解：解法一，根据功的定义，解法一，根据功的定义，以以m为研究对象，受力为研究对象，受力分析分析.解法二，解法二，根据根据动能定理，动能定理，对物体受力分析，只有重力对物体受力分析，只有重力和摩擦力作功，和摩擦力作功，解法三，根据功能原理，解法三，根据功能原理，以物体和地球为研究对象以物体和地球为研究对象代入已知数字得代入已知数字得负号表示摩擦力对物体作负功，即物体反抗摩擦力负号表示摩擦力对物体作负功，即物体反抗摩擦力作功作功42.4 J。机械能守恒定律：机械能守恒定律：如果一个系统内只有保守内力如果一个系统内只有保守内力做功，或者非保守内力与外力的总功为零，则系统内做功，或者非保守内力与外力的总功为零，则系统内各物体的动能和势能可以互相转换，但机械能的总值各物体的动能和势能可以互相转换，但机械能的总值保持不变。这一结论称为机械能守恒定律保持不变。这一结论称为机械能守恒定律。常量常量或或或或条件条件定律定律三、机械能守恒定律三、机械能守恒定律2-6 碰撞碰撞动量守恒动量守恒 ,碰撞后两球以同一速度运动，并不分开，碰撞后两球以同一速度运动，并不分开，称为称为完全非弹性碰撞。完全非弹性碰撞。,机械能有损失的碰撞叫做机械能有损失的碰撞叫做非弹性碰撞。非弹性碰撞。,分离速度等于接近速度，称为分离速度等于接近速度，称为完全弹性碰完全弹性碰撞。撞。恢复系数恢复系数速度：沿碰撞面速度：沿碰撞面法向投影法向投影 令令1.完全弹性碰撞完全弹性碰撞 （2 2）设）设 ，质量为，质量为 的物体在碰撞的物体在碰撞前静止不动，即前静止不动，即如果如果小球碰静小球碰静止的大球止的大球 在完全非弹性碰撞在完全非弹性碰撞中中2.完全非弹性碰撞完全非弹性碰撞 设在两球相碰撞的问题中，碰撞接触时间极短，设在两球相碰撞的问题中，碰撞接触时间极短，用用 表示，把动量定理应用于质量为表示，把动量定理应用于质量为 的小球得的小球得 表明：力的大小和两物体相遇前的接近速度成表明：力的大小和两物体相遇前的接近速度成正比，而和接触时间成反比。力的大小与接触物体正比，而和接触时间成反比。力的大小与接触物体的质量和材料有关。的质量和材料有关。3.碰撞中的力碰撞中的力 系统损失的机械能系统损失的机械能4.碰撞中的能碰撞中的能1完全弹性碰撞完全弹性碰撞 动量和机械能均动量和机械能均守恒守恒2非弹性碰撞非弹性碰撞 动量动量守恒守恒，机械能机械能不守恒不守恒3完全非弹性碰撞完全非弹性碰撞 动量动量守恒守恒，机械能机械能不守恒，不守恒，能量损失最大。能量损失最大。则则 例题例题2-21 在碰撞实验中，常用如图所示的仪器。在碰撞实验中，常用如图所示的仪器。A为为一小球，一小球，B为蹄状物，质量分别为为蹄状物，质量分别为m1和和m2.开始时，将开始时，将A球从张角球从张角 处落下，然后与静止的处落下，然后与静止的B物相碰撞，嵌入物相碰撞，嵌入B中一起运动，求两物到达最高处的张角中一起运动，求两物到达最高处的张角。解：解：(1)(1)小球小球A从开始位置下落从开始位置下落h，而到最低位置，这是小球与蹄，而到最低位置，这是小球与蹄状物状物B碰撞前的过程，此过程机械碰撞前的过程，此过程机械能守恒。能守恒。（1）(2)(2)当小球与蹄状物碰撞时，两物作完全非弹性碰当小球与蹄状物碰撞时，两物作完全非弹性碰撞，动量守恒撞，动量守恒 (3)(3)小球与蹄状物开始运动后，在这过程中机械能小球与蹄状物开始运动后，在这过程中机械能守恒定律，即守恒定律，即从从(1)(1)、(2)(2)和和(3)(3)三式消去三式消去v和和v，可得，可得利用这种碰撞实验，可以验证动量守恒与机械能守利用这种碰撞实验，可以验证动量守恒与机械能守恒定律。恒定律。则则（2）（3）2-7 质点的角动量与角动量守恒定律质点的角动量与角动量守恒定律角动量方向角动量方向角动量大小角动量大小 （面积（面积）大小不大小不大小不大小不变变变变方向不变方向不变方向不变方向不变 （3 3）作圆周运动时，由于）作圆周运动时，由于 ，质点对圆心，质点对圆心的角动量大小为的角动量大小为质点对圆心质点对圆心O的角动量为恒量的角动量为恒量对对t t求导求导 质点的角动量定理：质点的角动量定理：如果作用在质点上的外力对某如果作用在质点上的外力对某给定点给定点 的力矩的力矩 为零，则质点对为零，则质点对 点的角动量在运点的角动量在运动过程中保持不变。这就叫做角动量守恒定律。动过程中保持不变。这就叫做角动量守恒定律。因因所以所以二、二、角动量守恒定律角动量守恒定律例题例题2-24 我国第一颗人造地球卫星绕地球沿椭圆轨我国第一颗人造地球卫星绕地球沿椭圆轨道运动，地球的中心道运动，地球的中心O为该椭圆的一个焦点。已知为该椭圆的一个焦点。已知地球的平均半径地球的平均半径R=6378 km，人造地球卫星距地面，人造地球卫星距地面最近距离最近距离l1=439 km，最远距离，最远距离l2=2384 km。若人造。若人造地球卫星在近地点地球卫星在近地点A1的速度的速度v1=8.10 km/s，求人造地，求人造地球卫星在远地点球卫星在远地点v2的速度。的速度。解：解：因人造地球卫星所受引力因人造地球卫星所受引力指向地球中心，所以指向地球中心，所以 ，人造卫星的角动量守恒。人造卫星的角动量守恒。l2l1A1A2对对对对刚体的自由度刚体的自由度F刚体总自由度刚体总自由度i=6=6：平动自由度平动自由度t=3=3转动自由度转动自由度r=3=3刚体绕刚体绕CA轴转动轴转动AC的方位的方位oxyz p 对对O 点的力矩：点的力矩：一、力矩一、力矩3-2 力矩力矩 转动惯量转动惯量 定轴转动定律定轴转动定律 :力臂 当力不在转动平面内力不在转动平面内 只能引起轴的只能引起轴的变形变形,对转动无贡献对转动无贡献。转动平面60O（2）合力矩等于各分力矩的矢量和 （3）刚体内作用力和反作用力的力矩互相抵消公式对比质点直线运动或刚体平动刚 体 的 定 轴 转 动速度速度角速度角速度加速度加速度角加速度角加速度位移位移角位移角位移匀速直线运动匀速直线运动匀角速定轴转动匀角速定轴转动匀变速直线运动匀变速直线运动匀变角速定轴转动匀变角速定轴转动一质点作圆周运动一质点作圆周运动半径半径 R=0.1 m其运动学方程为其运动学方程为 =2+4 t 3(SI)t=2 s 时，时，质点的质点的切向加速度切向加速度法向加速度法向加速度ana关键是设法求关键是设法求 线速率线速率若由若由ana关键是设法求关键是设法求 角速率角速率若由若由ana本题很易求本题很易求12 tt=248(rads-1)12 t24 tt=248(rads-2)a4.8(m s-2)na230.4(m s-2)三、刚体定轴转动定律三、刚体定轴转动定律刚体定轴刚体定轴刚体定轴刚体定轴转动定律转动定律转动定律转动定律刚体定轴刚体定轴刚体定轴刚体定轴转动定律转动定律转动定律转动定律（4）J 和转轴有关，同一个物体对不同转轴的转和转轴有关，同一个物体对不同转轴的转 动惯量不同。动惯量不同。（3）J 和质量分布有关；和质量分布有关；（2）M 的符号：使刚体向规定的转动正方向加速的符号：使刚体向规定的转动正方向加速 的力矩为正；的力矩为正；惯性大小的量度；惯性大小的量度；转动惯量是转动转动惯量是转动（1）M 一定一定，J讨论：讨论：质元的质量质元的质量质元到转轴的距离质元到转轴的距离 刚体的质量可认为是连续分布的，所以上式可刚体的质量可认为是连续分布的，所以上式可 写成积分形式写成积分形式按转动惯量的定义有按转动惯量的定义有四、四、转动惯量转动惯量区别区别：平动平动：线动量线动量平动定律平动定律 转动：转动：角动量角动量转动定律转动定律 转动惯量是转动中惯性大小的量度转动惯量是转动中惯性大小的量度。质量是平动中惯性大小的量度。质量是平动中惯性大小的量度。例题例题3-13-1 求质量为求质量为m、长为、长为 l 的均匀细棒对下面三的均匀细棒对下面三种转轴的转动惯量：种转轴的转动惯量：（1 1）转轴通过棒的中心并和棒垂直；）转轴通过棒的中心并和棒垂直；（2 2）转轴通过棒的一端并和棒垂直）转轴通过棒的一端并和棒垂直；（3 3）转轴通过棒上距中心为转轴通过棒上距中心为h的一点并和棒垂直。的一点并和棒垂直。解解:(1)建立坐标系，分割质量元建立坐标系，分割质量元hJ 与刚体质量、质量分布、轴的位置有关。与刚体质量、质量分布、轴的位置有关。(2)建立坐标系，分割质量元建立坐标系，分割质量元（3）建立坐标系，分割质量元）建立坐标系，分割质量元平行轴定理平行轴定理平行轴定理平行轴定理定理表述：定理表述：刚体绕平行于质心轴的转动惯量刚体绕平行于质心轴的转动惯量 J，等于，等于绕质心轴的转动惯量绕质心轴的转动惯量 JC 加上刚体质量与两轴间的距加上刚体质量与两轴间的距离平方的乘积：离平方的乘积：刚体绕质心轴的转动惯量最小。刚体绕质心轴的转动惯量最小。如：如：例题例题3-23-2 求圆盘对于通过中心并与盘面垂直的转轴的求圆盘对于通过中心并与盘面垂直的转轴的 转动惯量。设圆盘的半径为转动惯量。设圆盘的半径为R，质量为质量为m，密度均匀。密度均匀。rRdr解：解：设圆盘的质量面密度为设圆盘的质量面密度为，在圆盘上取一半径为在圆盘上取一半径为r、宽度为宽度为d dr的圆环（如图），环的面积为的圆环（如图），环的面积为2 rdr，环的环的 质量质量dm=2 rdr 。可得可得 力矩的功：力矩的功：当刚体在外力矩作用下绕定轴转动当刚体在外力矩作用下绕定轴转动而发生角位移时，就称力矩对刚体作功而发生角位移时，就称力矩对刚体作功。3-3 定轴转动中的功能关系定轴转动中的功能关系一、力矩的功一、力矩的功力矩作功：力矩作功：对于刚体定轴转动情形，因质点间无相对位对于刚体定轴转动情形，因质点间无相对位移，任何一对内力作功为零。移，任何一对内力作功为零。二、二、刚体的转动动能刚体的转动动能 上式中的动能是刚体因转动而具有的动能，因此上式中的动能是刚体因转动而具有的动能，因此叫刚体的转动动能。叫刚体的转动动能。式中式中 是刚体对转轴的转动惯量是刚体对转轴的转动惯量 ，所以，所以上式写为上式写为总外力矩对刚体所作的功为总外力矩对刚体所作的功为 与此对应的动能增量为与此对应的动能增量为 三、定轴转动的动能定理三、定轴转动的动能定理转动的动能定理转动的动能定理即即质心高度为质心高度为 对于一个不太大的质量为对于一个不太大的质量为 的物体，它的重力的物体，它的重力势能应是组成刚体的各个质点的重力势能之和势能应是组成刚体的各个质点的重力势能之和若只有保守力作功若只有保守力作功四、刚体的重力势能四、刚体的重力势能可得可得与质心的与质心的与质心的与质心的势能等同势能等同势能等同势能等同解解：先先对对细细棒棒OA所所受受的的力力作作一一分分析析；重重力力 作作用用在在棒棒的的中中心心点点C，方方向向竖竖直直向向下下；轴轴和和棒棒之之间间没没有有摩摩擦擦力力，轴轴对对棒棒作作用用的的支支承承力力 垂垂直直于于棒棒和和轴轴的的接接触触面面且且通通过过O点点，在在棒棒的的下下摆摆过过程程中中，此此力力的的方方向向和和大大小小是随时改变的。是随时改变的。例例题题3-6 一一根根质质量量为为m、长长为为 l 的的均均匀匀细细棒棒OA（如如图图），可可绕绕通通过过其其一一端端的的光光滑滑轴轴O在在竖竖直直平平面面内内转转动动，今今使使棒棒从从水水平平位位置置开开始始自自由由下下摆摆，求求细细棒棒摆摆到到竖直位置时其中点竖直位置时其中点C和端点和端点A的速度。的速度。GAA O 在在使使棒棒从从水水平平位位置置下下摆摆到到竖竖直直位位置置过过程程中中，重重力力矩所作的功是矩所作的功是应应该该指指出出：重重力力矩矩作作的的功功就就是是重重力力作作的的功功，也也可可用用重重力力势势能能的的差差值值来来表表示示。棒棒在在水水平平位位置置时时的的角角速速度度 00，下下摆摆到到竖竖直直位位置置时时的的角角速速度度为为，按按力矩的功和转动动能增量的关系式得力矩的功和转动动能增量的关系式得 在棒的下摆过程中，对转轴在棒的下摆过程中，对转轴O而言，支撑力而言，支撑力 通过通过O点，所以支撑力点，所以支撑力 的力矩等于零，重力的力矩等于零，重力 的的力矩则是变力矩，大小等于力矩则是变力矩，大小等于mg(l/2)cos ，棒转过棒转过一极小的角位移一极小的角位移d d 时，重力矩所作的元功是时，重力矩所作的元功是由此得由此得代入上式得代入上式得因因所所以以细细棒棒在在竖竖直直位位置置时时，端端点点A和和中中心心点点C的的速速度度分别为分别为一、一、刚体的角动量刚体的角动量对于定点转动而言：对于定点转动而言：3-4 定轴转动刚体的角动量定理定轴转动刚体的角动量定理 和角动量守恒定律和角动量守恒定律 对于绕固定轴对于绕固定轴Oz 转转动的整个刚体而言动的整个刚体而言:对于绕固定轴对于绕固定轴Oz的的转动的质元转动的质元 而言而言:角动量的方向沿轴的正向或负向角动量的方向沿轴的正向或负向,所以所以可用代数量来描述。可用代数量来描述。二、二、定轴转动刚体的角动量定理定轴转动刚体的角动量定理 刚体受到给定轴总外力矩等于刚体对该轴刚体受到给定轴总外力矩等于刚体对该轴的角动量的时间变化率，与牛顿定律微分形式的角动量的时间变化率，与牛顿定律微分形式相似，有时也叫做角动量定理的微分形式。相似，有时也叫做角动量定理的微分形式。当转动惯量改变时，此式不当转动惯量改变时，此式不成立，但上式仍然适用。成立，但上式仍然适用。叫做这段时间内对轴力矩的冲量和或冲量矩之和叫做这段时间内对轴力矩的冲量和或冲量矩之和对轴的角动量增量等于外力对该轴的力矩的冲量之和对轴的角动量增量等于外力对该轴的力矩的冲量之和-对给定轴的角动量定理的积分形式。对给定轴的角动量定理的积分形式。当当 M=0 时时 刚体在定轴转动中，当对转轴的合外力矩为刚体在定轴转动中，当对转轴的合外力矩为零时，刚体对转轴的角动量保持不变，零时，刚体对转轴的角动量保持不变，这一规律这一规律就是就是定轴转动的角动量守恒定律。定轴转动的角动量守恒定律。由定轴转动定理：由定轴转动定理：即即三、三、定轴转动刚体的角动量守恒定律定轴转动刚体的角动量守恒定律a.对于绕固定转轴转动的刚体，因对于绕固定转轴转动的刚体，因J保持不变，保持不变，当合外力矩为零时，其角速度恒定。当合外力矩为零时，其角速度恒定。=常量常量=常量常量b.若系统由若干个刚体构成若系统由若干个刚体构成,当合外力矩为零时当合外力矩为零时,系系 统的角动量依然守恒。统的角动量依然守恒。J 大大 小小,J 小小 大大。讨论：讨论：当当时，时，当当时，时，刚体的平动和定轴转动中的一些重要公式刚体的平动和定轴转动中的一些重要公式刚体的平动刚体的平动刚体的定轴转动刚体的定轴转动例例题题3-73-7 一一匀匀质质细细棒棒长长为为l，质质量量为为m，可可绕绕通通过过其其端端点点O的的水水平平轴轴转转动动，如如图图所所示示。当当棒棒从从水水平平位位置置自自由由释释放放后后，它它在在竖竖直直位位置置上上与与放放在在地地面面上上的的物物体体相相撞撞。该该物物体体的的质质量量也也为为m，它它与与地地面面的的摩摩擦擦因因数数为为。相相撞撞后后物物体体沿沿地地面面滑滑行行一一距距离离s而而停停止止。求求相相撞撞后后棒棒的的质质心心C离离地地面面的的最最大大高高度度h，并并说说明明棒棒在在碰撞后将向左摆或向右摆的条件。碰撞后将向左摆或向右摆的条件。解：解：这个问题可分为三个阶段这个问题可分为三个阶段进行分析。第一阶段是棒自由进行分析。第一阶段是棒自由摆落的过程。这时除重力外，摆落的过程。这时除重力外，其余内力与外力都不作功，所其余内力与外力都不作功，所以机械能守恒。我们把棒在竖以机械能守恒。我们把棒在竖直位置时质心所在处取为势能直位置时质心所在处取为势能CO零点，用零点，用 表示棒这时的角速度表示棒这时的角速度,则则（1 1）第第二二阶阶段段是是碰碰撞撞过过程程。因因碰碰撞撞时时间间极极短短，自自由由的的冲冲力力极极大大，物物体体虽虽然然受受到到地地面面的的摩摩擦擦力力，但但可可以以忽忽略略。这这样样，棒棒与与物物体体相相撞撞时时，它它们们组组成成的的系系统统所所受受的的对对转转轴轴O的的外外力力矩矩为为零零，所所以以，这这个个系系统统的的对对O轴轴的的角角动动量量守守恒恒。我我们们用用v表表示示物物体体碰碰撞撞后后的的速速度度，则则（2 2）式式中中 为为棒棒在在碰碰撞撞后后的的角角速速度度，它它可可正正可可负负。取取正值，表示碰后棒向左摆；反之，表示向右摆。正值，表示碰后棒向左摆；反之，表示向右摆。第第三三阶阶段段是是物物体体在在碰碰撞撞后后的的滑滑行行过过程程。物物体体作作匀匀减速直线运动，加速度由牛顿第二定律求得为减速直线运动，加速度由牛顿第二定律求得为（3 3）由匀减速直线运动的公式得由匀减速直线运动的公式得（4 4）亦即亦即由式（由式（1 1）、（）、（2 2）与（）与（4 4）联合求解，即得）联合求解，即得（5 5）亦即亦即l 6 6 s；当当 取负值，则棒向右摆，其条件为取负值，则棒向右摆，其条件为亦即亦即l 6 s 棒棒的的质质心心C上上升升的的最最大大高高度度，与与第第一一阶阶段段情情况相似，也可由机械能守恒定律求得：况相似，也可由机械能守恒定律求得：把式（把式（5 5）代入上式，所求结果为）代入上式，所求结果为当当 取正值，则棒向左摆，其条件为取正值，则棒向左摆，其条件为(6)(6)例例题题3-83-8 工工程程上上，常常用用摩摩擦擦啮啮合合器器使使两两飞飞轮轮以以相相同同的的转转速速一一起起转转动动。如如图图所所示示，A和和B两两飞飞轮轮的的轴轴杆杆在在同同一一中中心心线线上上，A轮轮的的转转动动惯惯量量为为JA=10kg m2，B的的转转动动惯惯量量为为JB=20kg m2。开开始始时时A轮轮的的转转速速为为600r/min，B轮轮静静止止。C为为摩摩擦擦啮啮合合器器。求求两两轮轮啮啮合合后后的的转转速速；在在啮合过程中，两轮的机械能有何变化？啮合过程中，两轮的机械能有何变化？A ACBACB解：解：以飞轮以飞轮A、B和啮合器和啮合器C作为一系统来考虑，在作为一系统来考虑，在啮合过程中，系统受到轴向的正压力和啮合器间的啮合过程中，系统受到轴向的正压力和啮合器间的切向摩擦力，前者对转轴的力矩为零，后者对转轴切向摩擦力，前者对转轴的力矩为零，后者对转轴有力矩，但为系统的内力矩。系统没有受到其他外有力矩，但为系统的内力矩。系统没有受到其他外力矩，所以系统的角动量守恒。按角动量守恒定律力矩，所以系统的角动量守恒。按角动量守恒定律可得可得 为两轮啮合后共同转动的角速度，于是为两轮啮合后共同转动的角速度，于是以各量的数值代入得以各量的数值代入得或共同转速为或共同转速为 在在啮啮合合过过程程中中，摩摩擦擦力力矩矩作作功功，所所以以机机械械能能不不守守恒恒，部部分分机机械械能能将将转转化化为为热热量量，损损失的机械能为失的机械能为