2022年浙江省杭州市中考数学试卷解析.docx

2022年浙江省杭州市中考数学试卷
一、仔细选一选〔每题3分，共30分〕
1．〔3分〕〔2022•杭州〕统计显示，2022年底杭州市各类高中在校学生人数大约是11.4万人，将11.4万用科学记数法表示应为〔　　〕

A．
11.4×102
B．
1.14×103
C．
1.14×104
D．
1.14×105
2．〔3分〕〔2022•杭州〕以下计算正确的选项是〔　　〕

A．
23+26=29
B．
23﹣24=2﹣1
C．
23×23=29
D．
24÷22=22
3．〔3分〕〔2022•杭州〕以下列图形是中心对称图形的是〔　　〕

A．

B．

C．

D．

4．〔3分〕〔2022•杭州〕以下各式的变形中，正确的选项是〔　　〕

A．
〔﹣x﹣y〕〔﹣x+y〕=x2﹣y2
B．
﹣x=

C．
x2﹣4x+3=〔x﹣2〕2+1
D．
x÷〔x2+x〕=+1
5．〔3分〕〔2022•杭州〕圆内接四边形ABCD中，∠A=70°，那么∠C=〔　　〕

A．
20°
B．
30°
C．
70°
D．
110°
6．〔3分〕〔2022•杭州〕假设k＜＜k+1〔k是整数〕，那么k=〔　　〕

A．
6
B．
7
C．
8
D．
9
7．〔3分〕〔2022•杭州〕某村原有林地108公顷，旱地54公顷，为保护环境，需把一局部旱地改造为林地，使旱地面积占林地面积的20%．设把x公顷旱地改为林地，那么可列方程〔　　〕

A．
54﹣x=20%×108
B．
54﹣x=20%〔108+x〕

C．
54+x=20%×162
D．
108﹣x=20%〔54+x〕
8．〔3分〕〔2022•杭州〕如图是某地2月18日到23日PM2.5浓度和空气质量指数AQI的统计图〔当AQI不大于100时称空气质量为“优良〞〕．由图可得以下说法：①18日的PM2.5浓度最低；②这六天中PM2.5浓度的中位数是112ug/m3；③这六天中有4天空气质量为“优良〞；④空气质量指数AQI与PM2.5浓度有关．其中正确的选项是〔　　〕

A．
①②③
B．
①②④
C．
①③④
D．
②③④
9．〔3分〕〔2022•杭州〕如图，点A，B，C，D，E，F是边长为1的正六边形的顶点，连接任意两点均可得到一条线段．在连接两点所得的所有线段中任取一条线段，取到长度为的线段的概率为〔　　〕

A．

B．

C．

D．

10．〔3分〕〔2022•杭州〕设二次函数y1=a〔x﹣x1〕〔x﹣x2〕〔a≠0，x1≠x2〕的图象与一次函数y2=dx+e〔d≠0〕的图象交于点〔x1，0〕，假设函数y=y1+y2的图象与x轴仅有一个交点，那么〔　　〕

A．
a〔x1﹣x2〕=d
B．
a〔x2﹣x1〕=d
C．
a〔x1﹣x2〕2=d
D．
a〔x1+x2〕2=d
二、认真填一填〔每题4分，共24分〕
11．〔4分〕〔2022•杭州〕数据1，2，3，5，5的众数是，平均数是．
12．〔4分〕〔2022•杭州〕分解因式：m3n﹣4mn=．
13．〔4分〕〔2022•杭州〕函数y=x2+2x+1，当y=0时，x=；当1＜x＜2时，y随x的增大而〔填写“增大〞或“减小〞〕．
14．〔4分〕〔2022•杭州〕如图，点A，C，F，B在同一直线上，CD平分∠ECB，FG∥CD．假设∠ECA为α度，那么∠GFB为度〔用关于α的代数式表示〕．
15．〔4分〕〔2022•杭州〕在平面直角坐标系中，O为坐标原点，设点P〔1，t〕在反比例函数y=的图象上，过点P作直线l与x轴平行，点Q在直线l上，满足QP=OP．假设反比例函数y=的图象经过点Q，那么k=．
16．〔4分〕〔2022•杭州〕如图，在四边形纸片ABCD中，AB=BC，AD=CD，∠A=∠C=90°，∠B=150°．将纸片先沿直线BD对折，再将对折后的图形沿从一个顶点出发的直线裁剪，剪开后的图形翻开铺平．假设铺平后的图形中有一个是面积为2的平行四边形，那么CD=．
三、全面答一答〔共66分〕
17．〔6分〕〔2022•杭州〕杭州市推行垃圾分类已经多年，但在剩余垃圾中除了厨余类垃圾还混杂着非厨余类垃圾．如图是杭州某一天收到的厨余垃圾的统计图．
〔1〕试求出m的值；
〔2〕杭州市某天收到厨余垃圾约200吨，请计算其中混杂着的玻璃类垃圾的吨数．
18．〔8分〕〔2022•杭州〕如图，在△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC，点M，N分别在AB，AC边上，AM=2MB，AN=2NC．求证：DM=DN．
19．〔8分〕〔2022•杭州〕如图1，⊙O的半径为r〔r＞0〕，假设点P′在射线OP上，满足OP′•OP=r2，那么称点P′是点P关于⊙O的“反演点〞．
如图2，⊙O的半径为4，点B在⊙O上，∠BOA=60°，OA=8，假设点A′，B′分别是点A，B关于⊙O的反演点，求A′B′的长．
20．〔10分〕〔2022•杭州〕设函数y=〔x﹣1〕[〔k﹣1〕x+〔k﹣3〕]〔k是常数〕．
〔1〕当k取1和2时的函数y1和y2的图象如下列图，请你在同一直角坐标系中画出当k取0时的函数的图象；
〔2〕根据图象，写出你发现的一条结论；
〔3〕将函数y2的图象向左平移4个单位，再向下平移2个单位，得到的函数y3的图象，求函数y3的最小值．
21．〔10分〕〔2022•杭州〕“综合与实践〞学习活动准备制作一组三角形，记这些三角形的三边分别为a，b，c，并且这些三角形三边的长度为大于1且小于5的整数个单位长度．
〔1〕用记号〔a，b，c〕〔a≤b≤c〕表示一个满足条件的三角形，如〔2，3，3〕表示边长分别为2，3，3个单位长度的一个三角形．请列举出所有满足条件的三角形．
〔2〕用直尺和圆规作出三边满足a＜b＜c的三角形〔用给定的单位长度，不写作法，保存作图痕迹〕．
22．〔12分〕〔2022•杭州〕如图，在△ABC中〔BC＞AC〕，∠ACB=90°，点D在AB边上，DE⊥AC于点E．
〔1〕假设=，AE=2，求EC的长；
〔2〕设点F在线段EC上，点G在射线CB上，以F，C，G为顶点的三角形与△EDC有一个锐角相等，FG交CD于点P．问：线段CP可能是△CFG的高线还是中线或两者都有可能请说明理由．
23．〔12分〕〔2022•杭州〕方成同学看到一那么材料：甲开汽车，乙骑自行车从M地出发沿一条公路匀速前往N地．设乙行驶的时间为t〔h〕，甲乙两人之间的距离为y〔km〕，y与t的函数关系如图1所示．
方成思考后发现了如图1的局部正确信息：乙先出发1h；甲出发0.5小时与乙相遇；…．
请你帮助方成同学解决以下问题：
〔1〕分别求出线段BC，CD所在直线的函数表达式；
〔2〕当20＜y＜30时，求t的取值范围；
〔3〕分别求出甲，乙行驶的路程S甲，S乙与时间t的函数表达式，并在图2所给的直角坐标系中分别画出它们的图象；
〔4〕丙骑摩托车与乙同时出发，从N地沿同一公路匀速前往M地，假设丙经过h与乙相遇，问丙出发后多少时间与甲相遇
2022年浙江省杭州市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、仔细选一选〔每题3分，共30分〕
1．〔3分〕〔2022•杭州〕统计显示，2022年底杭州市各类高中在校学生人数大约是11.4万人，将11.4万用科学记数法表示应为〔　　〕

A．
11.4×102
B．
1.14×103
C．
1.14×104
D．
1.14×105
考点：
科学记数法—表示较大的数．菁优网版权所有
分析：
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
解答：
解：将11.4万用科学记数法表示为：1.14×105．
应选D．
点评：
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
2．〔3分〕〔2022•杭州〕以下计算正确的选项是〔　　〕

A．
23+26=29
B．
23﹣24=2﹣1
C．
23×23=29
D．
24÷22=22
考点：
同底数幂的除法；合并同类项；同底数幂的乘法；负整数指数幂．菁优网版权所有
分析：
根据同类项、同底数幂的乘法和同底数幂的除法计算即可．
解答：
解：A、23与26不能合并，错误；
B、23与24不能合并，错误；
C、23×23=26，错误；
D、24÷22=22，正确；
应选D．
点评：
此题考查同类项、同底数幂的乘法和同底数幂的除法，关键是根据法那么进行计算．
3．〔3分〕〔2022•杭州〕以下列图形是中心对称图形的是〔　　〕

A．

B．

C．

D．

考点：
中心对称图形．菁优网版权所有
分析：
根据中心对称图形的定义和图形的特点即可求解．
解答：
解：由中心对称的定义知，绕一个点旋转180°后能与原图重合，那么只有选项A是中心对称图形．
应选：A．
点评：
此题考查了中心对称图形的概念：如果一个图形绕某一点旋转180°后能够与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．
4．〔3分〕〔2022•杭州〕以下各式的变形中，正确的选项是〔　　〕

A．
〔﹣x﹣y〕〔﹣x+y〕=x2﹣y2
B．
﹣x=

C．
x2﹣4x+3=〔x﹣2〕2+1
D．
x÷〔x2+x〕=+1
考点：
平方差公式；整式的除法；因式分解-十字相乘法等；分式的加减法．菁优网版权所有
分析：
根据平方差公式和分式的加减以及整式的除法计算即可．
解答：
解：A、〔﹣x﹣y〕〔﹣x+y〕=x2﹣y2，正确；
B、，错误；
C、x2﹣4x+3=〔x﹣2〕2﹣1，错误；
D、x÷〔x2+x〕=，错误；
应选A．
点评：
此题考查平方差公式和分式的加减以及整式的除法，关键是根据法那么计算．
5．〔3分〕〔2022•杭州〕圆内接四边形ABCD中，∠A=70°，那么∠C=〔　　〕

A．
20°
B．
30°
C．
70°
D．
110°
考点：
圆内接四边形的性质．菁优网版权所有
专题：
计算题．
分析：
直接根据圆内接四边形的性质求解．
解答：
解：∵四边形ABCD为圆的内接四边形，
∴∠A+∠C=180°，
∴∠C=180°﹣70°=110°．
应选D．
点评：
此题考查了圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补．
6．〔3分〕〔2022•杭州〕假设k＜＜k+1〔k是整数〕，那么k=〔　　〕

A．
6
B．
7
C．
8
D．
9
考点：
估算无理数的大小．菁优网版权所有
分析：
根据=9，=10，可知9＜＜10，依此即可得到k的值．
解答：
解：∵k＜＜k+1〔k是整数〕，9＜＜10，
∴k=9．
应选：D．
点评：
此题考查了估算无理数的大小，解题关键是估算的取值范围，从而解决问题．
7．〔3分〕〔2022•杭州〕某村原有林地108公顷，旱地54公顷，为保护环境，需把一局部旱地改造为林地，使旱地面积占林地面积的20%．设把x公顷旱地改为林地，那么可列方程〔　　〕

A．
54﹣x=20%×108
B．
54﹣x=20%〔108+x〕

C．
54+x=20%×162
D．
108﹣x=20%〔54+x〕
考点：
由实际问题抽象出一元一次方程．菁优网版权所有
分析：
设把x公顷旱地改为林地，根据旱地面积占林地面积的20%列出方程即可．
解答：
解：设把x公顷旱地改为林地，根据题意可得方程：54﹣x=20%〔108+x〕．
应选B．
点评：
此题考查一元一次方程的应用，关键是设出未知数以以改造后的旱地与林地的关系为等量关系列出方程．
8．〔3分〕〔2022•杭州〕如图是某地2月18日到23日PM2.5浓度和空气质量指数AQI的统计图〔当AQI不大于100时称空气质量为“优良〞〕．由图可得以下说法：①18日的PM2.5浓度最低；②这六天中PM2.5浓度的中位数是112ug/m3；③这六天中有4天空气质量为“优良〞；④空气质量指数AQI与PM2.5浓度有关．其中正确的选项是〔　　〕

A．
①②③
B．
①②④
C．
①③④
D．
②③④
考点：
折线统计图；中位数．菁优网版权所有
分析：
根据折线统计图提供的信息，逐一分析，即可解答．
解答：
解：由图1可知，18日的PM2.5浓度为25ug/m3，浓度最低，故①正确；
这六天中PM2.5浓度的中位数是=79.5ug/m3，故②错误；
∵当AQI不大于100时称空气质量为“优良〞，
∴18日、19日、20日、23日空气质量为优，
故③正确；
空气质量指数AQI与PM2.5浓度有关，故④正确；
应选：C．
点评：
此题考查了折线统计图，解决此题的关键是从折线统计图中获取相关信息，注意中位数确实定，要先把数据进行排序．
9．〔3分〕〔2022•杭州〕如图，点A，B，C，D，E，F是边长为1的正六边形的顶点，连接任意两点均可得到一条线段．在连接两点所得的所有线段中任取一条线段，取到长度为的线段的概率为〔　　〕

A．

B．

C．

D．

考点：
正多边形和圆；勾股定理；概率公式．菁优网版权所有
分析：
利用正六边形的性质以及勾股定理得出AE的长，进而利用概率公式求出即可．
解答：
解：连接AF，EF，AE，过点F作FN⊥AE于点N，
∵点A，B，C，D，E，F是边长为1的正六边形的顶点，
∴AF=EF=1，∠AFE=120°，
∴∠FAE=30°，
∴AN=，
∴AE=，同理可得：AC=，
故从任意一点，连接两点所得的所有线段一共有15种，任取一条线段，取到长度为的线段有6种情况，
那么在连接两点所得的所有线段中任取一条线段，取到长度为的线段的概率为：．
应选：B．

点评：
此题主要考查了正多边形和圆，正确利用正六边形的性质得出AE的长是解题关键．
10．〔3分〕〔2022•杭州〕设二次函数y1=a〔x﹣x1〕〔x﹣x2〕〔a≠0，x1≠x2〕的图象与一次函数y2=dx+e〔d≠0〕的图象交于点〔x1，0〕，假设函数y=y1+y2的图象与x轴仅有一个交点，那么〔　　〕

A．
a〔x1﹣x2〕=d
B．
a〔x2﹣x1〕=d
C．
a〔x1﹣x2〕2=d
D．
a〔x1+x2〕2=d
考点：
抛物线与x轴的交点．菁优网版权所有
分析：
首先根据一次函数y2=dx+e〔d≠0〕的图象经过点〔x1，0〕，可得y2=d〔x﹣x1〕，y=y1+y2=〔x﹣x1〕[a〔x﹣x2〕+d]；然后根据函数y=y1+y2的图象与x轴仅有一个交点，可得函数y=y1+y2是二次函数，且它的顶点在x轴上，即y=y1+y2=a，推得a〔x﹣x2〕+d=a〔x﹣x1〕，令x=x2，即可判断出a〔x2﹣x1〕=d．
解答：
解：∵一次函数y2=dx+e〔d≠0〕的图象经过点〔x1，0〕，
∴dx1+e=0，
∴y2=d〔x﹣x1〕，
∴y=y1+y2=a〔x﹣x1〕〔x﹣x2〕+d〔x﹣x1〕
=〔x﹣x1〕[a〔x﹣x2〕+d]
∵函数y=y1+y2的图象与x轴仅有一个交点，
∴函数y=y1+y2是二次函数，且它的顶点在x轴上，
即y=y1+y2=a，
∴a〔x﹣x2〕+d=a〔x﹣x1〕，
令x=x2，可得
a〔x2﹣x2〕+d=a〔x2﹣x1〕，
∴a〔x2﹣x1〕=d．
应选：B．
点评：
此题主要考查了抛物线与x轴的交点问题，以及曲线上点的坐标与方程的关系，要熟练掌握，解答此题的关键是判断出：函数y=y1+y2是二次函数，且y=y1+y2=a．
二、认真填一填〔每题4分，共24分〕
11．〔4分〕〔2022•杭州〕数据1，2，3，5，5的众数是　5　，平均数是．
考点：
众数；算术平均数．菁优网版权所有
分析：
根据众数、平均数的概念求解．
解答：
解：数据1，2，3，5，5的众数是5；
平均数是〔1+2+3+5+5〕=．
故答案为：5；．
点评：
此题考查了众数和平均数的概念，掌握各知识点的概念是解答此题的关键．
12．〔4分〕〔2022•杭州〕分解因式：m3n﹣4mn=　mn〔m﹣2〕〔m+2〕　．
考点：
提公因式法与公式法的综合运用．菁优网版权所有
分析：
先提取公因式mn，再利用平方差公式分解因式得出即可．
解答：
解：m3n﹣4mn
=mn〔m2﹣4〕
=mn〔m﹣2〕〔m+2〕．
故答案为：mn〔m﹣2〕〔m+2〕．
点评：
此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确运用平方差公式是解题关键．
13．〔4分〕〔2022•杭州〕函数y=x2+2x+1，当y=0时，x=　﹣1　；当1＜x＜2时，y随x的增大而　增大　〔填写“增大〞或“减小〞〕．
考点：
二次函数的性质．菁优网版权所有
分析：
将y=0代入y=x2+2x+1，求得x的值即可，根据函数开口向上，当x＞﹣1时，y随x的增大而增大．
解答：
解：把y=0代入y=x2+2x+1，
得x2+2x+1=0，
解得x=﹣1，
当x＞﹣1时，y随x的增大而增大，
∴当1＜x＜2时，y随x的增大而增大；
故答案为﹣1，增大．
点评：
此题考查了二次函数的性质，重点掌握对称轴两侧的增减性问题，解此题的关键是利用数形结合的思想．
14．〔4分〕〔2022•杭州〕如图，点A，C，F，B在同一直线上，CD平分∠ECB，FG∥CD．假设∠ECA为α度，那么∠GFB为　90﹣度〔用关于α的代数式表示〕．
考点：
平行线的性质．菁优网版权所有
分析：
根据FG∥CD得出∠GFB=∠DCF，再由互补和角平分线得出∠DCF=〔180°﹣α〕，解答即可．
解答：
解：∵点A，C，F，B在同一直线上，∠ECA为α，
∴∠ECB=180°﹣α，
∵CD平分∠ECB，
∴∠DCB=〔180°﹣α〕，
∵FG∥CD，
∴∠GFB=∠DCB=90﹣．
点评：
此题考查平行线的性质，关键是根据平行线得出∠GFB=∠DCF和利用角平分线解答．
15．〔4分〕〔2022•杭州〕在平面直角坐标系中，O为坐标原点，设点P〔1，t〕在反比例函数y=的图象上，过点P作直线l与x轴平行，点Q在直线l上，满足QP=OP．假设反比例函数y=的图象经过点Q，那么k=　2+2或2﹣2．
考点：
反比例函数图象上点的坐标特征；勾股定理．菁优网版权所有
专题：
分类讨论．
分析：
把P点代入y=求得P的坐标，进而求得OP的长，即可求得Q的坐标，从而求得k的值．
解答：
解：∵点P〔1，t〕在反比例函数y=的图象上，
∴t==2，
∴P〔1.2〕，
∴OP==，
∵过点P作直线l与x轴平行，点Q在直线l上，满足QP=OP．
∴Q〔1+，2〕或〔1﹣，2〕
∵反比例函数y=的图象经过点Q，
∴2=或2=，解得k=2+2或2﹣2
故答案为2+2或2﹣2．
点评：
此题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，勾股定理的应用，求得Q点的坐标是解题的关键．
16．〔4分〕〔2022•杭州〕如图，在四边形纸片ABCD中，AB=BC，AD=CD，∠A=∠C=90°，∠B=150°．将纸片先沿直线BD对折，再将对折后的图形沿从一个顶点出发的直线裁剪，剪开后的图形翻开铺平．假设铺平后的图形中有一个是面积为2的平行四边形，那么CD=　2+或4+2．
考点：
剪纸问题．菁优网版权所有
分析：
根据题意结合裁剪的方法得出符合题意的图形有两个，分别利用菱形的判定与性质以及勾股定理得出CD的长．
解答：
解：如图1所示：延长AE交CD于点N，过点B作BT⊥EC于点T，
当四边形ABCE为平行四边形，
∵AB=BC，
∴四边形ABCE是菱形，
∵∠A=∠C=90°，∠B=150°，BC∥AN，
∴∠ADC=30°，∠BAN=∠BCE=30°，
那么∠NAD=60°，
∴∠AND=90°，
∵四边形ABCE面积为2，
∴设BT=x，那么BC=EC=2x，
故2x×x=2，
解得：x=1〔负数舍去〕，
那么AE=EC=2，EN==，
故AN=2+，
那么AD=DC=4+2；
如图2，当四边形BEDF是平行四边形，
∵BE=BF，
∴平行四边形BEDF是菱形，
∵∠A=∠C=90°，∠B=150°，
∴∠ADB=∠BDC=15°，
∵BE=DE，
∴∠AEB=30°，
∴设AB=y，那么BE=2y，AE=y，
∵四边形BEDF面积为2，
∴AB×DE=2y2=1，
解得：y=1，故AE=，DE=2，
那么AD=2+，
综上所述：CD的值为：2+或4+2．
故答案为：2+或4+2．

点评：
此题主要考查了剪纸问题以及勾股定理和平行四边形的性质等知识，根据题意画出正确图形是解题关键．
三、全面答一答〔共66分〕
17．〔6分〕〔2022•杭州〕杭州市推行垃圾分类已经多年，但在剩余垃圾中除了厨余类垃圾还混杂着非厨余类垃圾．如图是杭州某一天收到的厨余垃圾的统计图．
〔1〕试求出m的值；
〔2〕杭州市某天收到厨余垃圾约200吨，请计算其中混杂着的玻璃类垃圾的吨数．
考点：
扇形统计图；用样本估计总体．菁优网版权所有
分析：
〔1〕根据整体单位减去其它类垃圾所占的百分比，可得厨余类所占的百分比；
〔2〕根据总垃圾乘以玻璃类垃圾所占的百分比，可得答案．
解答：
解：〔1〕m%=1﹣22.39%﹣0.9%﹣7.55%﹣0.15%=69.01%，
m=69.01；
〔2〕其中混杂着的玻璃类垃圾的吨数约等于200×0.9%=1.8〔吨〕．
点评：
此题考查了扇形统计图，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．扇形统计图直接反映局部占总体的百分比大小．
18．〔8分〕〔2022•杭州〕如图，在△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC，点M，N分别在AB，AC边上，AM=2MB，AN=2NC．求证：DM=DN．
考点：
全等三角形的判定与性质．菁优网版权所有
专题：
证明题．
分析：
首先根据等腰三角形的性质得到AD是顶角的平分线，再利用全等三角形进行证明即可．
解答：
证明：∵AM=2MB，AN=2NC，AB=AC，
∴AM=AN，
∵AB=AC，AD平分∠BAC，
∴∠MAD=∠NAD，
在△AMD与△AND中，
，
∴△AMD≌△AND〔SAS〕，
∴DM=DN．
点评：
此题考查了全等三角形的判定和性质，关键是根据等腰三角形的性质进行证明．
19．〔8分〕〔2022•杭州〕如图1，⊙O的半径为r〔r＞0〕，假设点P′在射线OP上，满足OP′•OP=r2，那么称点P′是点P关于⊙O的“反演点〞．
如图2，⊙O的半径为4，点B在⊙O上，∠BOA=60°，OA=8，假设点A′，B′分别是点A，B关于⊙O的反演点，求A′B′的长．
考点：
点与圆的位置关系；勾股定理．菁优网版权所有
专题：
新定义．
分析：
设OA交⊙O于C，连结B′C，如图2，根据新定义计算出OA′=2，OB′=4，那么点A′为OC的中点，点B和B′重合，再证明△OBC为等边三角形，那么B′A′⊥OC，然后在Rt△OA′B′中，利用正弦的定义可求A′B′的长．
解答：
解：设OA交⊙O于C，连结B′C，如图2，
∵OA′•OA=42，
而r=4，OA=8，
∴OA′=2，
∵OB′•OB=42，
∴OB′=4，即点B和B′重合，
∵∠BOA=60°，OB=OC，
∴△OBC为等边三角形，
而点A′为OC的中点，
∴B′A′⊥OC，
在Rt△OA′B′中，sin∠A′OB′=，
∴A′B′=4sin60°=2．

点评：
此题考查了点与圆的位置关系：点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．也考查了阅读理解能力．
20．〔10分〕〔2022•杭州〕设函数y=〔x﹣1〕[〔k﹣1〕x+〔k﹣3〕]〔k是常数〕．
〔1〕当k取1和2时的函数y1和y2的图象如下列图，请你在同一直角坐标系中画出当k取0时的函数的图象；
〔2〕根据图象，写出你发现的一条结论；
〔3〕将函数y2的图象向左平移4个单位，再向下平移2个单位，得到的函数y3的图象，求函数y3的最小值．
考点：
二次函数图象与几何变换；二次函数的图象；二次函数的最值．菁优网版权所有
分析：
〔1〕把k=0代入函数解析式即可得到所求的函数解析式，根据函数解析式作出图象；
〔2〕根据函数图象答复以下问题；
〔3〕由“左减右加，上加下减〞的规律写出函数解析式，根据函数图象的增减性来求函数y2的最小值．
解答：
解：〔1〕当k=0时，y=﹣〔x﹣1〕〔x+3〕，所画函数图象如下列图：

〔2〕①根据图象知，图象都经过点〔1，0〕和〔﹣1，4〕．
②图象与x轴的交点是〔1，0〕．
③k取0和2时的函数图象关于点〔0，2〕中心对称．
④函数y=〔x﹣1〕[〔k﹣1〕x+〔k﹣3〕]〔k是常数〕的图象都经过〔1，0〕和〔﹣1，4〕等等．

〔3〕平移后的函数y2的表达式为y2=〔x+3〕2﹣2．
所以当x=﹣3时，函数y2的最小值是﹣2．
点评：
此题考查了抛物线与x轴的交点坐标，二次函数图象，二次函数图象与几何变换以及二次函数的最值．熟练掌握函数图象的性质和学会读图是解题的关键．
21．〔10分〕〔2022•杭州〕“综合与实践〞学习活动准备制作一组三角形，记这些三角形的三边分别为a，b，c，并且这些三角形三边的长度为大于1且小于5的整数个单位长度．
〔1〕用记号〔a，b，c〕〔a≤b≤c〕表示一个满足条件的三角形，如〔2，3，3〕表示边长分别为2，3，3个单位长度的一个三角形．请列举出所有满足条件的三角形．
〔2〕用直尺和圆规作出三边满足a＜b＜c的三角形〔用给定的单位长度，不写作法，保存作图痕迹〕．
考点：
作图—应用与设计作图；三角形三边关系．菁优网版权所有
分析：
〔1〕应用列举法，根据三角形三边关系列举出所有满足条件的三角形．
〔2〕首先判断满足条件的三角形只有一个：a=2，b=3，c=4，再作图：
①作射线AB，且取ABAB=4；
②以点AA为圆心，3为半径画弧；以点BB为圆心，2为半径画弧，两弧交于点C；
③连接AC、BC．那么△ABC即为满足条件的三角形．
解答：
解：〔1〕共9种：〔2，2，2〕，〔2，2，3〕，〔2，3，3〕，〔2，3，4〕，〔2，4，4〕，〔3，3，3〕，〔3，3，4〕，〔3，4，4〕，〔4，4，4〕．

〔2〕由〔1〕可知，只有〔2，3，4〕，即a=2，b=3，c=4时满足a＜b＜c．
如答图的△ABC即为满足条件的三角形．

点评：
此题考查了三角形的三边关系，作图﹣应用与设计作图．首先要理解题意，弄清问题中对所作图形的要求，结合对应几何图形的性质和根本作图的方法作图．
22．〔12分〕〔2022•杭州〕如图，在△ABC中〔BC＞AC〕，∠ACB=90°，点D在AB边上，DE⊥AC于点E．
〔1〕假设=，AE=2，求EC的长；
〔2〕设点F在线段EC上，点G在射线CB上，以F，C，G为顶点的三角形与△EDC有一个锐角相等，FG交CD于点P．问：线段CP可能是△CFG的高线还是中线或两者都有可能请说明理由．
考点：
相似三角形的判定与性质．菁优网版权所有
专题：
分类讨论．
分析：
〔1〕易证DE∥BC，由平行线分线段成比例定理列比例式即可求解；
〔2〕分三种情况讨论：①假设∠CFG=∠ECD，此时线段CP是△CFG的FG边上的中线；②假设∠CFG=∠EDC，此时线段CP为△CFG的FG边上的高线；③当CD为∠ACB的平分线时，CP既是△CFG的FG边上的高线又是中线．
解答：
解：〔1〕∵∠AVB=90°，DE⊥AC，
∴DE∥BC，
∴，
∵，AE=2，
∴EC=6；
〔2〕①如图1，假设∠CFG=∠ECD，此时线段CP是△CFG的FG边上的中线．
证明：∵∠CFG+∠CGF=90°，∠ECD+∠PCG=90°，
又∵∠CFG=∠ECD，
∴∠CGF=∠PCG，
∴CP=PG，
∵∠CFG=∠ECD，
∴CP=FP，
∴PF=PG=CP，
∴线段CP是△CFG的FG边上的中线；
②如图2，假设∠CFG=∠EDC，此时线段CP为△CFG的FG边上的高线．
证明：∵DE⊥AC，
∴∠EDC+∠ECD=90°，
∵∠CFG=∠EDC，
∴∠CFG+∠ECD=90°，
∴∠CPF=90°，
∴线段CP为△CFG的FG边上的高线．
③如图3，当CD为∠ACB的平分线时，CP既是△CFG的FG边上的高线又是中线．

点评：
此题主要考查了平行线分线段成比例定理、等腰三角形的判定、三角形的有关概念，分类讨论，能全面的思考问题是解决问题的关键．
23．〔12分〕〔2022•杭州〕方成同学看到一那么材料：甲开汽车，乙骑自行车从M地出发沿一条公路匀速前往N地．设乙行驶的时间为t〔h〕，甲乙两人之间的距离为y〔km〕，y与t的函数关系如图1所示．
方成思考后发现了如图1的局部正确信息：乙先出发1h；甲出发0.5小时与乙相遇；…．
请你帮助方成同学解决以下问题：
〔1〕分别求出线段BC，CD所在直线的函数表达式；
〔2〕当20＜y＜30时，求t的取值范围；
〔3〕分别求出甲，乙行驶的路程S甲，S乙与时间t的函数表达式，并在图2所给的直角坐标系中分别画出它们的图象；
〔4〕丙骑摩托车与乙同时出发，从N地沿同一公路匀速前往M地，假设丙经过h与乙相遇，问丙出发后多少时间与甲相遇
考点：
一次函数的应用．菁优网版权所有
分析：
〔1〕利用待定系数法求函数解析式，即可解答；
〔2〕先求出甲、乙的速度、所以OA的函数解析式为：y=20t〔0≤t≤1〕，所以点A的纵坐标为20，根据当20＜y＜30时，得到20＜40t﹣60＜30，或20＜﹣20t+80＜30，解不等式组即可；
〔3〕得到S甲=60t﹣60〔〕，S乙=20t〔0≤t≤4〕，画出函数图象即可；
〔4〕确定丙距M地的路程S丙与时间t的函数表达式为：S丙=﹣40t+80〔0≤t≤2〕，根据S丙=﹣40t+80与S甲=60t﹣60的图象交点的横坐标为，所以丙出发h与甲相遇．
解答：
解：〔1〕直线BC的函数解析式为y=kt+b，
把〔1.5，0〕，〔〕代入得：
解得：，
∴直线BC的解析式为：y=40t﹣60；
设直线CD的函数解析式为y1=k1t+b1，
把〔〕，〔4，0〕代入得：，
解得：，
∴直线CD的函数解析式为：y=﹣20t+80．
〔2〕设甲的速度为akm/h，乙的速度为bkm/h，根据题意得；
，
解得：，
∴甲的速度为60km/h，乙的速度为20km/h，
∴OA的函数解析式为：y=20t〔0≤t≤1〕，所以点A的纵坐标为20，
当20＜y＜30时，
即20＜40t﹣60＜30，或20＜﹣20t+80＜30，
解得：或．
〔3〕根据题意得：S甲=60t﹣60〔〕
S乙=20t〔0≤t≤4〕，
所画图象如图2所示：

〔4〕当t=时，，丙距M地的路程S丙与时间t的函数表达式为：
S丙=﹣40t+80〔0≤t≤2〕，
如图3，

S丙=﹣40t+80与S甲=60t﹣60的图象交点的横坐标为，
所以丙出发h与甲相遇．
点评：
此题考查了一次函数的应用，解决此题的关键是根据图象获取相关信息，利用待定系数法求函数解析式．

菁优网
2022年7月14日