高优指导2021高考数学一轮复习考点规范练2命题及其关系充要条件理含解析北师大版.doc

考点规范练2　命题及其关系、充要条件
　考点规范练B册第2页　 
基础巩固组
1.已知a,b,c∈R,命题“若a+b+c=3,则a2+b2+c2≥3”的否命题是(　　)

A.若a+b+c≠3,则a2+b2+c2<3
B.若a+b+c=3,则a2+b2+c2<3
C.若a+b+c≠3,则a2+b2+c2≥3
D.若a2+b2+c2≥3,则a+b+c=3
答案:A
解析:a+b+c=3的否定是a+b+c≠3,a2+b2+c2≥3的否定是a2+b2+c2<3.
2.设原命题:若a+b≥2,则a,b中至少有一个不小于1,则原命题与其逆命题的真假情况是(　　)
A.原命题真,逆命题假
B.原命题假,逆命题真
C.原命题与逆命题均为真命题
D.原命题与逆命题均为假命题
答案:A
解析:可以考虑原命题的逆否命题,即a,b都小于1,则a+b<2,显然为真.
其逆命题,即a,b中至少有一个不小于1,则a+b≥2,为假,如a=1.2,b=0.2,则a+b<2.
3.下列命题中为真命题的是(　　)
A.命题“若x>y,则x>|y|”的逆命题
B.命题“若x>1,则x2>1”的否命题
C.命题“若x=1,则x2+x-2=0”的否命题
D.命题“若x2>0,则x>1”的逆否命题〚导学号92950732〛
答案:A
解析:对于A,其逆命题是:若x>|y|,则x>y,是真命题,这是因为x>|y|≥y,必有x>y;对于B,否命题是:若x≤1,则x2≤1,是假命题,如x=-5,x2=25>1;对于C,其否命题是:若x≠1,则x2+x-2≠0,由于x=-2时,x2+x-2=0,所以是假命题;对于D,若x2>0,则x≠0,不一定有x>1,因此原命题的逆否命题是假命题.
4.(2015安徽,理3)设p:1<x<2,q:2x>1,则p是q成立的(　　)
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
答案:A
解析:由2x>1,得x>0,所以由p:1<x<2可以得到q:x>0成立,而由q:x>0不能得到p:1<x<2成立,因此,p是q成立的充分不必要条件.故选A.
5.“若a2+b2=0,则a=0且b=0”的逆否命题是(　　)
A.若a2+b2≠0,则a≠0且b≠0
B.若a2+b2≠0,则a≠0或b≠0
C.若a=0且b=0,则a2+b2≠0
D.若a≠0或b≠0,则a2+b2≠0
答案:D
解析:“若a2+b2=0,则a=0且b=0”的逆否命题是“若a≠0或b≠0,则a2+b2≠0”,故选D.
6.设x∈R,则“1<x<2”是“|x-2|<1”的(　　)
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
答案:A
解析:由|x-2|<1解得1<x<3.因为“1<x<2”能推出“1<x<3”,“1<x<3”推不出“1<x<2”,所以“1<x<2”是“|x-2|<1”的充分而不必要条件.
7.(2015湖南,理2)设A,B是两个集合,则“A∩B=A”是“A⊆B”的(　　)
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
答案:C
解析:若A∩B=A,则有A⊆B;若A⊆B,则必有A∩B=A.所以“A∩B=A”是“A⊆B”的充要条件.
8.命题“若x2<1,则-1<x<1”的逆否命题是(　　)
A.若x2≥1,则x≥1或x≤-1
B.若-1<x<1,则x2<1
C.若x>1或x<-1,则x2>1
D.若x≥1或x≤-1,则x2≥1
答案:D
解析:“若p,则q”的逆否命题是“若􀱑q,则􀱑p”.从而D项正确.
9.(2015四川,理8)设a,b都是不等于1的正数,则“3a>3b>3”是“loga3<logb3”的(　　)
A.充要条件 B.充分不必要条件
C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件〚导学号92950733〛
答案:B
解析:∵3a>3b>3,∴a>b>1.∴log3a>log3b>0.
∴,即loga3<logb3.
∴“3a>3b>3”是“loga3<logb3”的充分条件.
当0<a<1,b>1时,满足loga3<logb3,
而由3a>3b>3,得a>b>1,所以由loga3<logb3不能推出3a>3b>3,所以“3a>3b>3”不是“loga3<logb3”的必要条件.
所以“3a>3b>3”是“loga3<logb3”的充分不必要条件,故选B.
10.“直线x-y-k=0与圆(x-1)2+y2=2有两个不同的交点”的一个充分不必要条件可以是(　　)
A.-1<k<3 B.-1≤k≤3
C.0<k<3 D.k<-1或k>3
答案:C
解析:“直线x-y-k=0与圆(x-1)2+y2=2有两个不同交点”等价于,解得k∈(-1,3).四个选项中只有(0,3)是(-1,3)的真子集,故充分不必要条件可以是0<k<3.
11.有下列几个命题:
①“若a>b,则a2>b2”的否命题;
②“若x+y=0,则x,y互为相反数”的逆命题;
③“若x2<4,则-2<x<2”的逆否命题.
其中真命题的序号是　　　　　. 
答案:②③
解析:①原命题的否命题为“若a≤b,则a2≤b2”,是假命题;②原命题的逆命题为“若x,y互为相反数,则x+y=0”,是真命题;③原命题的逆否命题为“若x≥2或x≤-2,则x2≥4”,是真命题.
12.(2015山东,理12)若“任意x∈,tan x≤m”是真命题,则实数m的最小值为　　　　　.〚导学号92950734〛 
答案:1
解析:由题意知m≥(tan x)max.∵x∈,∴tan x∈[0,1],
∴m≥1.故m的最小值为1.
能力提升组
13.命题“若△ABC有一内角为,则△ABC的三内角成等差数列”的逆命题(　　)
A.与原命题同为假命题
B.与原命题的否命题同为假命题
C.与原命题的逆否命题同为假命题
D.与原命题同为真命题
答案:D
解析:原命题显然为真,原命题的逆命题为“若△ABC的三内角成等差数列,则△ABC有一内角为”,它是真命题.
14.(2015广州一模)命题“若x>0,则x2>0”的否命题是(　　)
A.若x>0,则x2≤0 B.若x2>0,则x>0
C.若x≤0,则x2≤0 D.若x2≤0,则x≤0
答案:C
解析:命题的条件的否定为x≤0,结论的否定为x2≤0,则该命题的否命题是“若x≤0,则x2≤0”,故选C.
15.下列命题中是真命题的是(　　)
①“若x2+y2≠0,则x,y不全为零”的否命题;
②“正多边形都相似”的逆命题;
③“若m>0,则x2+x-m=0有实根”的逆否命题;
④“若x-是有理数,则x是无理数”的逆否命题.
A.①②③④ B.①③④
C.②③④ D.①④〚导学号92950735〛
答案:B
解析:对于①,其否命题是“若x2+y2=0,则x,y全为零”,这显然是正确的,故①为真命题;对于②,其逆命题是“若两多边形相似,它们一定是正多边形”,这显然是错误的,故②为假命题;对于③,Δ=1+4m,当m>0时,Δ>0,所以原命题是真命题,其逆否命题也是真命题,即③为真命题;对于④,原命题为真,故逆否命题也为真.因此是真命题的是①③④.
16.设U为全集,A,B是集合,则“存在集合C,使得A⊆C,B⊆∁UC”是“A∩B=⌀”的(　　)
A.充分而不必要的条件 B.必要而不充分的条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要的条件
答案:C
解析:依题意,若A⊆C,则∁UC⊆∁UA,当B⊆∁UC,可得A∩B=⌀;若A∩B=⌀,不妨令C=A,显然满足A⊆C,B⊆∁UC,故满足条件的集合C是存在的.
17.(2015湖北,理5)设a1,a2,…,an∈R,n≥3,若p:a1,a2,…,an成等比数列,q:(+…+)(+…+)=(a1a2+a2a3+…+an-1an)2,则(　　)
A.p是q的充分条件,但不是q的必要条件
B.p是q的必要条件,但不是q的充分条件
C.p是q的充分必要条件
D.p既不是q的充分条件,也不是q的必要条件〚导学号92950736〛
答案:A
解析:∵p:a1,a2,…,an成等比数列,设公比为t,
∴(+…+)(+…+)=(1+t2+t4+…+t2n-4)·t2(1+t2+t4+…+t2n-4)=t2(1+t2+t4+…+t2n-4)2,
(a1a2+a2a3+…+an-1an)2=[t(1+t2+t4+…+t2n-4)]2=t2(1+t2+t4+…+t2n-4)2.∴q成立.故p⇒q.
当an=0时,q成立,而p不成立.
∴qp.故p是q的充分不必要条件.
18.已知条件p:x∈A,且A={x|a-1<x<a+1},条件q:x∈B,且B={x|y=}.若p是q的充分条件,则实数a的取值范围是　　　　　　　　　. 
答案:{a|a≤0,或a≥3}
解析:易得B={x|x≤1或x≥2},且A={x|a-1<x<a+1},
∵p是q的充分条件,∴A⊆B,
∴a+1≤1或a-1≥2,∴a≤0或a≥3.
即所求实数a的取值范围是{a|a≤0,或a≥3}.

3