2022届高考数学一轮复习第四章三角函数解三角形课时跟踪训练20三角恒等变换文.doc

课时跟踪训练(二十) 三角恒等变换
[根底稳固]
一、选择题
1．α为第二象限角，sinα＋cosα＝，那么cos2α＝(　　)
A．－ B．－
C. D.
[解析]　由(sinα＋cosα)2＝得2sinαcosα＝－，
∵α在第二象限，
∴cosα－sinα＝－
＝－，
故cos2α＝cos2α－sin2α＝(cosα＋sinα)(cosα－sinα)＝×＝－，选A.
[答案]　A
2．sin2α＝，那么cos2＝(　　)
A. B.
C. D.
[解析]　cos2＝＝
＝＝.
[答案]　C
3．tan＝，tan＝，那么tan(α＋β)的值为(　　)
A. B.
C. D．1
[解析]　tan(α＋β)＝tan
＝
＝＝1，应选D.
[答案]　D
4.等于(　　)
A．－ B．－
C. D.
[解析]　原式＝
＝
＝＝sin30°＝.
[答案]　C
5．cos－sinα＝，那么sin 的值是(　　)
A．－ B．－
C. D.
[解析]　cos－sinα＝⇒cosα－sinα＝⇒＝⇒sin＝，
∴sin＝sin＝sin
＝－sin＝－.
[答案]　B
6．cos·cos·cos＝(　　)
A．－ B．－
C. D.
[解析]　cos·cos·cos＝cos20°·cos40°·cos100°＝－cos20°·cos40°·cos80°
＝－
＝－
＝－
＝－＝－＝－.
[答案]　A
二、填空题
7.＝__________.
[解析]　原式＝
＝＝2.
[答案]　2
8.＝________.
[解析]　原式＝
＝
＝
＝＝＝－4.
[答案]　－4
9．方程x2＋3ax＋3a＋1＝0(a>1)的两根分别为tanα，tanβ，且α，β∈，那么α＋β＝________.
[解析]　由得tanα＋tanβ＝－3a，
tanαtanβ＝3a＋1，∴tan(α＋β)＝1.
又∵α，β∈，tanα＋tanβ＝－3a<0，tanαtanβ＝3a＋1>0，∴tanα<0，tanβ<0，∴α，β∈.
∴α＋β∈(－π，0)，∴α＋β＝－.
[答案]　－
三、解答题
10．(2022·北京西城区5月模拟)函数f(x)＝tan.
(1)求f(x)的定义域；
(2)设β∈(0，π)，且f(β)＝2cos，求β的值．
[解]　(1)由x＋≠kπ＋，得x≠kπ＋，k∈Z.
所以函数f(x)的定义域是{x|x≠kπ＋，k∈Z}．
(2)依题意，得tan＝2cos，
所以＝2sin，整理得sin·＝0，
所以sin＝0，或cos＝.
因为β∈(0，π)，所以β＋∈.
由sin＝0，得β＋＝π，即β＝；
由cos＝，得β＋＝，即β＝.
所以β＝，或β＝.
[能力提升]
11．设α∈，β∈，且tanα＝，那么(　　)
A．3α－β＝ B．3α＋β＝
C．2α－β＝ D．2α＋β＝
[解析]　由，得＝，
∴sinαcosβ＝cosα＋cosαsinβ.
∴sinαcosβ－cosαsinβ＝cosα.
∴sin(α－β)＝cosα，∴sin(α－β)＝sin.
∵α∈，β∈，
∴－<α－β<，0<－α<，
∴α－β＝－α，∴2α－β＝.应选C.
[答案]　C
12．(2022·河南百校联盟4月联考)α为第二象限角，且tanα＋tan＝2tanαtan－2，那么sin等于(　　)
A．－ B.
C．－ D.
[解析]　tanα＋tan＝2tanαtan－2⇒＝－2⇒tan＝－2<0，
∵α为第二象限角，∴sin＝，cos＝－，那么sin＝－sin＝－sin＝cossin－sincos＝－.
[答案]　C
13．(2022·湖南长沙一模)化简：＝________.
[解析]　
＝＝＝4sinα.
[答案]　4sinα
14．(2022·河南统考)tanα，tanβ是lg(6x2－5x＋2)＝0的两个实根，那么tan(α＋β)＝________.
[解析]　由lg(6x2－5x＋2)＝0，得6x2－5x＋1＝0，由题意知tanα＋tanβ＝，tanα·tanβ＝，∴tan(α＋β)＝＝＝1.
[答案]　1
15．sin(2α＋β)＝2sinβ，求证：tan(α＋β)＝3tanα.
[证明]　∵sin(2α＋β)＝2sinβ，
∴sin[(α＋β)＋α]＝2sin[(α＋β)－α]．
∴sin(α＋β)cosα＋cos(α＋β)sinα
＝2sin(α＋β)cosα－2cos(α＋β)sinα.
∴3cos(α＋β)sinα＝sin(α＋β)cosα.
∴tan(α＋β)＝3tanα.
16．cos·cos＝－，α∈.
(1)求sin2α的值；
(2)求tanα－的值．
[解]　(1)cos·cos＝cos·sin＝sin＝－，
即sin＝－，
因为α∈，所以2α＋∈，所以cos＝－.
所以sin2α＝sin＝sincos－cossin＝.
(2)由(1)知tanα－＝－＝＝＝＝2.
[延伸拓展]
　(2022·安徽皖江名校联考)在锐角△ABC中，角α＋的终边过点P(sinB－cosA，cosB－sinA)，且cos＝，那么cos2α的值为(　　)
A. B．－－
C.－ D．－－
[解析]　∵△ABC是锐角三角形，∴A＋B>，A、B<，∴>B>－A>0，那么sinB>sin＝cosA，cosB<cos＝sinA，∴sinB－cosA>0，cosB－sinA<0，∴角α＋为第四象限角，∴sin＝－，∴cosα＝cos＝coscos＋sin·sin＝－，∴cos2α＝2cos2α－1＝－－，应选D.
[答案]　D