2020年三维-(江苏版)高考二轮复习数学-专题六-应用题-综合仿真练(六).docx

综合仿真练(六)
1．已知集合 U＝{1,2,3,4,5,6,7}，M＝{x|x －6x＋5≤0，x∈Z}，则∁ M＝________.
2
U
详细分析：集合 U＝{1,2,3,4,5,6,7}，M＝{x|x2－6x＋5≤0，x∈Z}＝{x|1≤x≤5，x∈Z}
＝{1,2,3,4,5}，则∁
M＝{6,7}．
U
答案：{6,7}
2．已知复数 z＝2＋i
2－i(i 为虚数单位)，则 z 的模为________．
2＋i (2＋i)
2 3 4
＝ ＋
5 5
＝
详细分析：法一：z＝
i，
5
2－i
3
è ø
5
4
è ø
5
æ ö æ ö
则|z|＝
＋
2＝1.
2
ï ï
2＋i
|2＋i|
|2－i|
5
ï ï＝
＝ ＝1.
法二：|z|＝
答案：1
2－i
ï ï
5
3．用分层抽样的方法从某高中学生中抽取一个容量为 45 的样本，其中高一年级抽 20
人，高三年级抽 10 人，已知该校高二年级共有学生 300 人，则该校学生总数为________．
45 15
＝
，
详细分析：样本中高二年级抽 45－20－10＝15 人，设该校学生总数为 n 人 ，则
n 300
所以 n＝900.
答案：900
4．根据如图所示的伪代码，输出 S 的值为________．
S←1
I←1
While I≤8
S←S＋I
I←I＋2
End While
Print S
详细分析：模拟执行程序，可得 S＝1，I＝1，满足条件 I≤8；
S＝2，I＝3，满足条件 I≤8；
S＝5，I＝5，满足条件 I≤8；
S＝10，I＝7，满足条件 I≤8；
S＝17，I＝9，不满足条件 I≤8；
1

退出循环，输出 S 的值为 17.
答案：17
5．(2019·天一中学模拟)若过抛物线 x ＝2py(p>0)或 y ＝2px(p>0)的焦点 F 的直线与该抛
2
2
1
1 2
物线交于 A，B 两点，则称线段 AB 为该抛物线的焦点弦，此时有以下性质： ＋ ＝ .已
AF BF p
知抛物线 L：x ＝2py(p>0)的焦点为 F，其准线与 y 轴交于点 A，过点 F 作直线交抛物线 L
2
于 B，C 两点，若以 AC 为直径的圆恰好过点 B，且 CF＝BF＋8，则 p 的值为________ .
详细分析：因为以 AC 为直径的圆恰好过点 B，所以 AB⊥BC，如图，设|BF|＝m(m>0)，
过点 B 作准线的垂线，垂足为 D，易知△ABD∽△FAB，则 AB ＝AF·BD＝pm，又因为 AF ＝
2
2
5－1
1 1 2
＋ ＝ ，所
AF BF p
＋BF ，所以 p ＝m ＋pm，即 m＝
AB2
2
2
2
p，由抛物线的焦点弦性质可得
2
3－ 5
2p
3＋ 5
1
以 ＝
CF
，即 CF＝
p，所以 CF－BF＝2p，又因为 CF＝BF＋8，所以 2p＝8，即
2
p＝4.
答案：4
6．100 张卡片上分别写有 1,2,3，…，100 的数字．从中任取 1 张，则这张卡片上的数
是 6 的倍数的概率是________．
详细分析：从 100 张卡片上分别写有 1,2,3，…，100 中任取 1 张，基本事件总数 n＝100，
所取这张卡片上的数是 6 的倍数包含的基本事件有：1×6,2×6，…，16×6，共有 16 个，
16 4
所以所取这张卡片上的数是 6 的倍数的概率是 P＝
＝
.
100 25
4
25
答案：
7．若一个圆锥的母线长为 2，侧面积是底面积的 2 倍，则该圆锥的体积为________．
1
3
详细分析：由圆锥母线长 2，可求底面半径为 1，故 高 h＝ 3，所以 V＝ ×π×1 × 3＝
2
3π.
3
3π
3
答案：
2

S
19
8
15
8
8．已知等比数列{a }的前 n 项和为 S ，且 6＝－ ，a －a ＝－ ，则 a 的值为________．
S
4
2
3
n
n
3
1－q6
S
19
8
＝
＝1＋q ＝－ ，
详细分析：法一：设等比数列{a }的公比为 q，易知 q≠1，则 6
3
S 1
n
－q3
3
3
2
27a 3a
15
8
＝9
所以 q＝－ ，a
－a ＝a q3－a1q＝－
＋ ＝－ ，所以 a
1
1
＝1，则 a ＝a q
.
2
8
2
4
4
2
1
1
3
1
法二：设等比数列{a }的公比为 q，
n
a ＋a ＋a ＋a ＋a ＋a
S
则 ＝ 1
2
3
4
5
6
6
S
a ＋a ＋a
3
1
2
3
＋a ＋a
a ＋a ＋a ＋a q3
q3
q3
19
8
＝ 1
2
3
1
2
3 ＝1＋q ＝－ ，
3
a ＋a ＋a
1
2
3
3
所以 q＝－ ，
2
a
3a 2a
15
8
9
4
则 a
＝－ ＋ ＝－ ，所以 a
－a ＝a q－ 3
3
3
＝
2
3
4
2
3
q
3
答案：9
4
9．若函数 f(x)为定义在 R 上的奇函数，当 x>0 时，f(x)＝xln x，则不等式 f(x)<－e 的解
集为________．
1
，
详细分析：f′(x)＝ln x＋1(x>0)，令 f′(x)＝0，得 x＝e
1
e
1
e
1
e
æ
ö
æ
ö
æ
ö
当 x∈
时，f′(x)<0，当 x∈ ，＋∞ 时，f′(x)>0，所以 f(x)在
上单调递
0，
0，
è
ø
è
ø
è
ø
1
e
1
è ø
e
1
e
æ
ö
æ ö
减 ，在 ，＋∞ 上单调递增，且 (e)＝e， ＝－ ，因 为 ( )为奇函数，所以 (－e)＝－ (e)
f
f
f x
f
f
è
ø
＝－e，故结合函数图象得 f(x)<－e 的解集为(－∞，－e)．
答案：(－∞，－e)
10．(2019·如皋中学模拟)已知当 x∈[0,1]时，函数 y＝(mx－1) 的图象与 y＝ x＋m 的图
2
象有且只有一个交点，则正实数 m 的取值范围是________．
1
æ
ö
详细分析：在同一直角坐标系中，分别作出函数 f(x)＝(mx－1)2＝m
与 g(x)＝ x
2
èx－ ø
2
m
＋m 的大致图象．分两种情形：
1
(1)当 0＜m≤1 时， ≥1，如图①，当 x∈[0,1]时，f(x)与 g(x)的图象有一个交点，符合
m
题意．
3

1＜1，如图②，要使 f(x)与 g(x)的图象在[0,1]上只有一个交点，只需
(2)当 m＞1 时 ，0＜m
g(1)≤f(1)，即 1＋m≤(m－1)2，解得 m≥3 或 m≤0(舍去)．
综上所述，m∈(0,1]∪[3，＋∞)．
答案：(0,1]∪[3，＋∞)
π
æ
ö
11．已知函数 f(x)＝ 3sin 2x＋cos 2x，若 f(x－φ)的图象关于 y 轴对称 0<φ< ，则 φ＝
è
ø
2
________.
π
π
ø
6
æ
ö
æ
ö
，所以 f(x－φ)＝2sin
详细分析：因为 f(x)＝ 3sin 2x＋cos 2x＝2sin 2x＋
2x－2φ＋ .
è
ø
6
è
π π
6 2
π
3
由 f(x－φ)的图象关于 y 轴对称得，－2φ＋ ＝ ＋kπ(k∈Z)，所以－2φ＝ ＋kπ(k∈Z)．又
π，所以 φ＝
π
3
0<φ<2
.
π
答案：3
12．在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 C：x ＋y ＝2，直线 x＋by－2＝0 与圆 C 相交
2
2
―→
―→
―→
―→
于 A ， B 两 点 ， 且 | OA ＋ OB |≥ 3 | OA － OB | ， 则 b 的 取 值 范 围 为
___________________________．
―→ ―→
＋ OB
详细分析：设 AB 的中点为 M，则| OA
―→ ―→
－ OB
|≥ 3| OA
|⇒2|OM|≥ 3|2AM|⇒
3
2
6，又直线x＋by－2＝0 与圆 C 相交于 A，B 两点，所以
26≤|OM|< 2，而
|OM|≥ |OA|＝
2
2
26≤
2
5
3
15或－
15≤b<－1，即 b 的
，所 以
，解 得 1<b≤
|OM|＝
< 2⇒1<b ≤
2
3
3
1＋b2
1＋b2
é
15
3
ö æ
15ù.
取值范围为 －
，－1 ∪
1，
ë
ø è
û
3
é
答案： －
ë
15
3
ö æ
15ù
3
，－1 ∪ 1，
ø è
û
ìln x，x≥1，
ï
í
13．(2019·泰州中学模拟)已知函数 f(x)＝
若 F(x)＝f[f x ＋1]＋m 有两个
x
2
1－ ，x＜1，
ï
î
4

零点 x ，x ，则 x ·x 的取值范围是________．
1
2
1
2
详细分析：当 x≥1 时，f(x)＝ln x≥0，∴f(x)＋1≥1，∴f[f x ＋1]＝ln[f x ＋1]，当 x＜1
x 1
2 2
3
2
时，f(x)＝1－ ＞ ，f(x)＋1＞ ，∴f[f x ＋1]＝ln[f x ＋1]，综上可知，F(x)＝ln[f x ＋1]＋m＝
，f(x)＝e －1，有两个根 x
0，则 f(x)＋1＝e－m
，x (不妨设 x ＜x )．
－
m
1
2
1
2
x
2
1
2
当 x≥1 时 ，ln x2＝e－m
－1，当x＜1 时 ，1－ ＝e －1，令t＝e －1＞ ，则ln x
1
2＝t，
－
－
m
m
x
2
1
2
1
2
＝t，x
，设 g(t)＝e
t
＝e 1－ 1
＝2－2t，∴x x ＝e (2－2t)，t＞
(2－2t)，t＞ .求得 g′(t)＝－
x2
1
1 2
t,
t
1
2
1
è ø
2
æ
ö
æ ö
，t∈ ，＋∞ ， ′( )＜0，函数 ( )单调递减，∴ ( )＜
g t
g t
g t g
g t
＝ e，∴ ( )的值域为(－∞，
2tet
è
ø
e)，∴x x 取值范围为(－∞， e)．
1 2
答案：(－∞， e)
1
1
4
14．在斜三角形 ABC 中，若
＋
＝
，则 sin C 的最大值为________．
tan A tan B tan C
1
1
4
＋
＝
，
详细分析：由
tan A tan B tan C
sin(A＋B)
cos A cos B 4cos C
sin A sin B sin C
4cos C
得
＋
＝
，即
＝
，
sin Asin B sin C
化简得 sin2C＝4sin Asin Bcos C.
＋b －c
a2
2
2
由正、余弦定理得 c ＝4ab·
＝2(a ＋b －c
2
2
2
2)，
2ab
＋b －c
＋b
a2
2
2 a2
2 2
1
ab
＝ ，当且仅当“a＝b”时等号
≥
即 3c ＝2(a ＋b
＝
2)，所以 cos C＝
2
2
2ab
6ab
6ab 3
成立．
1
3
所以 cos C 的最小值为 ，
2 2.
故 sin C 的最大值为
3
2 2
3
答案：
5

1＜1，如图②，要使 f(x)与 g(x)的图象在[0,1]上只有一个交点，只需
(2)当 m＞1 时 ，0＜m
g(1)≤f(1)，即 1＋m≤(m－1)2，解得 m≥3 或 m≤0(舍去)．
综上所述，m∈(0,1]∪[3，＋∞)．
答案：(0,1]∪[3，＋∞)
π
æ
ö
11．已知函数 f(x)＝ 3sin 2x＋cos 2x，若 f(x－φ)的图象关于 y 轴对称 0<φ< ，则 φ＝
è
ø
2
________.
π
π
ø
6
æ
ö
æ
ö
，所以 f(x－φ)＝2sin
详细分析：因为 f(x)＝ 3sin 2x＋cos 2x＝2sin 2x＋
2x－2φ＋ .
è
ø
6
è
π π
6 2
π
3
由 f(x－φ)的图象关于 y 轴对称得，－2φ＋ ＝ ＋kπ(k∈Z)，所以－2φ＝ ＋kπ(k∈Z)．又
π，所以 φ＝
π
3
0<φ<2
.
π
答案：3
12．在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 C：x ＋y ＝2，直线 x＋by－2＝0 与圆 C 相交
2
2
―→
―→
―→
―→
于 A ， B 两 点 ， 且 | OA ＋ OB |≥ 3 | OA － OB | ， 则 b 的 取 值 范 围 为
___________________________．
―→ ―→
＋ OB
详细分析：设 AB 的中点为 M，则| OA
―→ ―→
－ OB
|≥ 3| OA
|⇒2|OM|≥ 3|2AM|⇒
3
2
6，又直线x＋by－2＝0 与圆 C 相交于 A，B 两点，所以
26≤|OM|< 2，而
|OM|≥ |OA|＝
2
2
26≤
2
5
3
15或－
15≤b<－1，即 b 的
，所 以
，解 得 1<b≤
|OM|＝
< 2⇒1<b ≤
2
3
3
1＋b2
1＋b2
é
15
3
ö æ
15ù.
取值范围为 －
，－1 ∪
1，
ë
ø è
û
3
é
答案： －
ë
15
3
ö æ
15ù
3
，－1 ∪ 1，
ø è
û
ìln x，x≥1，
ï
í
13．(2019·泰州中学模拟)已知函数 f(x)＝
若 F(x)＝f[f x ＋1]＋m 有两个
x
2
1－ ，x＜1，
ï
î
4

零点 x ，x ，则 x ·x 的取值范围是________．
1
2
1
2
详细分析：当 x≥1 时，f(x)＝ln x≥0，∴f(x)＋1≥1，∴f[f x ＋1]＝ln[f x ＋1]，当 x＜1
x 1
2 2
3
2
时，f(x)＝1－ ＞ ，f(x)＋1＞ ，∴f[f x ＋1]＝ln[f x ＋1]，综上可知，F(x)＝ln[f x ＋1]＋m＝
，f(x)＝e －1，有两个根 x
0，则 f(x)＋1＝e－m
，x (不妨设 x ＜x )．
－
m
1
2
1
2
x
2
1
2
当 x≥1 时 ，ln x2＝e－m
－1，当x＜1 时 ，1－ ＝e －1，令t＝e －1＞ ，则ln x
1
2＝t，
－
－
m
m
x
2
1
2
1
2
＝t，x
，设 g(t)＝e
t
＝e 1－ 1
＝2－2t，∴x x ＝e (2－2t)，t＞
(2－2t)，t＞ .求得 g′(t)＝－
x2
1
1 2
t,
t
1
2
1
è ø
2
æ
ö
æ ö
，t∈ ，＋∞ ， ′( )＜0，函数 ( )单调递减，∴ ( )＜
g t
g t
g t g
g t
＝ e，∴ ( )的值域为(－∞，
2tet
è
ø
e)，∴x x 取值范围为(－∞， e)．
1 2
答案：(－∞， e)
1
1
4
14．在斜三角形 ABC 中，若
＋
＝
，则 sin C 的最大值为________．
tan A tan B tan C
1
1
4
＋
＝
，
详细分析：由
tan A tan B tan C
sin(A＋B)
cos A cos B 4cos C
sin A sin B sin C
4cos C
得
＋
＝
，即
＝
，
sin Asin B sin C
化简得 sin2C＝4sin Asin Bcos C.
＋b －c
a2
2
2
由正、余弦定理得 c ＝4ab·
＝2(a ＋b －c
2
2
2
2)，
2ab
＋b －c
＋b
a2
2
2 a2
2 2
1
ab
＝ ，当且仅当“a＝b”时等号
≥
即 3c ＝2(a ＋b
＝
2)，所以 cos C＝
2
2
2ab
6ab
6ab 3
成立．
1
3
所以 cos C 的最小值为 ，
2 2.
故 sin C 的最大值为
3
2 2
3
答案：
5

1＜1，如图②，要使 f(x)与 g(x)的图象在[0,1]上只有一个交点，只需
(2)当 m＞1 时 ，0＜m
g(1)≤f(1)，即 1＋m≤(m－1)2，解得 m≥3 或 m≤0(舍去)．
综上所述，m∈(0,1]∪[3，＋∞)．
答案：(0,1]∪[3，＋∞)
π
æ
ö
11．已知函数 f(x)＝ 3sin 2x＋cos 2x，若 f(x－φ)的图象关于 y 轴对称 0<φ< ，则 φ＝
è
ø
2
________.
π
π
ø
6
æ
ö
æ
ö
，所以 f(x－φ)＝2sin
详细分析：因为 f(x)＝ 3sin 2x＋cos 2x＝2sin 2x＋
2x－2φ＋ .
è
ø
6
è
π π
6 2
π
3
由 f(x－φ)的图象关于 y 轴对称得，－2φ＋ ＝ ＋kπ(k∈Z)，所以－2φ＝ ＋kπ(k∈Z)．又
π，所以 φ＝
π
3
0<φ<2
.
π
答案：3
12．在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 C：x ＋y ＝2，直线 x＋by－2＝0 与圆 C 相交
2
2
―→
―→
―→
―→
于 A ， B 两 点 ， 且 | OA ＋ OB |≥ 3 | OA － OB | ， 则 b 的 取 值 范 围 为
___________________________．
―→ ―→
＋ OB
详细分析：设 AB 的中点为 M，则| OA
―→ ―→
－ OB
|≥ 3| OA
|⇒2|OM|≥ 3|2AM|⇒
3
2
6，又直线x＋by－2＝0 与圆 C 相交于 A，B 两点，所以
26≤|OM|< 2，而
|OM|≥ |OA|＝
2
2
26≤
2
5
3
15或－
15≤b<－1，即 b 的
，所 以
，解 得 1<b≤
|OM|＝
< 2⇒1<b ≤
2
3
3
1＋b2
1＋b2
é
15
3
ö æ
15ù.
取值范围为 －
，－1 ∪
1，
ë
ø è
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3
é
答案： －
ë
15
3
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15ù
3
，－1 ∪ 1，
ø è
û
ìln x，x≥1，
ï
í
13．(2019·泰州中学模拟)已知函数 f(x)＝
若 F(x)＝f[f x ＋1]＋m 有两个
x
2
1－ ，x＜1，
ï
î
4

零点 x ，x ，则 x ·x 的取值范围是________．
1
2
1
2
详细分析：当 x≥1 时，f(x)＝ln x≥0，∴f(x)＋1≥1，∴f[f x ＋1]＝ln[f x ＋1]，当 x＜1
x 1
2 2
3
2
时，f(x)＝1－ ＞ ，f(x)＋1＞ ，∴f[f x ＋1]＝ln[f x ＋1]，综上可知，F(x)＝ln[f x ＋1]＋m＝
，f(x)＝e －1，有两个根 x
0，则 f(x)＋1＝e－m
，x (不妨设 x ＜x )．
－
m
1
2
1
2
x
2
1
2
当 x≥1 时 ，ln x2＝e－m
－1，当x＜1 时 ，1－ ＝e －1，令t＝e －1＞ ，则ln x
1
2＝t，
－
－
m
m
x
2
1
2
1
2
＝t，x
，设 g(t)＝e
t
＝e 1－ 1
＝2－2t，∴x x ＝e (2－2t)，t＞
(2－2t)，t＞ .求得 g′(t)＝－
x2
1
1 2
t,
t
1
2
1
è ø
2
æ
ö
æ ö
，t∈ ，＋∞ ， ′( )＜0，函数 ( )单调递减，∴ ( )＜
g t
g t
g t g
g t
＝ e，∴ ( )的值域为(－∞，
2tet
è
ø
e)，∴x x 取值范围为(－∞， e)．
1 2
答案：(－∞， e)
1
1
4
14．在斜三角形 ABC 中，若
＋
＝
，则 sin C 的最大值为________．
tan A tan B tan C
1
1
4
＋
＝
，
详细分析：由
tan A tan B tan C
sin(A＋B)
cos A cos B 4cos C
sin A sin B sin C
4cos C
得
＋
＝
，即
＝
，
sin Asin B sin C
化简得 sin2C＝4sin Asin Bcos C.
＋b －c
a2
2
2
由正、余弦定理得 c ＝4ab·
＝2(a ＋b －c
2
2
2
2)，
2ab
＋b －c
＋b
a2
2
2 a2
2 2
1
ab
＝ ，当且仅当“a＝b”时等号
≥
即 3c ＝2(a ＋b
＝
2)，所以 cos C＝
2
2
2ab
6ab
6ab 3
成立．
1
3
所以 cos C 的最小值为 ，
2 2.
故 sin C 的最大值为
3
2 2
3
答案：
5